选修11椭圆中定值定点问题教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长(分钟)2课时知识点对称问题 定点、定值、最值等问题教学目标1掌握圆锥曲线中的定点、定值、最值问题的求法2掌握有关圆锥曲线中对称问题的处理方法教学重点圆锥曲线中定点、定值、最值等问题的求解方法教学难点数形结合思想的应用【教学建议】本节课采用创设问题情景学生自主探究师生共同辨析研讨归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】1定点、定值、探索性问题是椭圆中的综合题，一直是高考考查的重点和热点问

2、题2本部分在高考试题中多为解答题，是中高档题二、知识讲解考点1 椭圆中的定点定值问题考点1 单调函数的定义胞由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：(1)与椭圆有关的直线过定点：yy0k(xx0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20交点的直线的方程(2)与椭圆有关的圆过定点：x2y2DxEyF(A1xB1yC1)0表示的是过直线A1xB1yC10和圆x2y2DxEyF0交点的圆的方程(3)与椭圆有关的参数的定值问题考点

3、2 椭圆中的最值问题(1)参数的取值范围：由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解(2)长度和面积的最值：由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化此类问题主要是建立关于参数(如k或(x，y)的函数，运用函数或基本不等式求最值三 、例题精析例题1例题1类型一 定点问题如图，椭圆1(a>b>0)过点P，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，M，N是直线上的两个动点，且·0(1)求椭圆的方程； (2)求MN的最小值；(3)求以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论【

4、解】(1)因为e，且过点P，所以解得所以椭圆方程为1(2)由题可设点M(4，y1)，N(4，y2)又知F1(1，0)，F2(1，0)，则(5，y1)，(3，y2)所以·15y1y20，y1y215，y2又因为MN|y2y1|y1|2，当且仅当|y1|y2|时取等号，所以MN的最小值为2(3)设点M(4，y1)，N(4，y2)，所以以MN为直径的圆的圆心C的坐标为，半径r，所以圆C的方程为(x4)22，整理得x2y28x(y1y2)y16y1y20由(2)得y1y215，所以x2y28x(y1y2)y10，令y0得x28x10，所以x4±，所以圆C过定点(4±，0)

5、【总结与反思】定点问题常见的2种解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意例题1类型二 定值问题已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2y23相切(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k，求证：k·k为定值【解】(1

6、)因为EFF1的周长为8，所以4a8，所以a24，又椭圆C与圆x2y23相切，故b23，所以椭圆C的方程为1(2)由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为yk(x1)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程yk(x1)代入椭圆C的方程1，整理，得(4k23)x28k2x4k2120，64k44(4k23)(4k212)0恒成立，且x1x2，x1x2直线AE的方程为y(x2)，令x4，得点M，直线AF的方程为y(x2)，令x4，得点N，所以点P的坐标为所以直线PF2的斜率为k··，将x1x2，x1x2代入上式得k·，所以k·k为定值1【由题

7、悟法】定值问题常见的2种求法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例题1类型三 存在性问题已知椭圆E：1(ab0)以为顶点，且离心率为(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆E相交于A，B两点，与直线x4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得·为定值？若存在，求出点T的坐标及·的值；若不存在，请说明理由【解】(1)已知为椭圆E的顶点，即a2又， 故c1，b所以椭圆E的方程为1(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得(4k23)x

8、28kmx4m2120由根与系数的关系，得x1x2， y1y2k(x1x2)2m将P代入椭圆E的方程，得1，即4m24k23设T(t，0)，Q(4，m4k)所以(4t，m4k)，即·因为4k234m2，所以·要使·为定值，只需2为定值，则1t0，所以t1，所以在x轴上存在一点T(1，0)，使得·为定值【由题悟法】存在性问题求解的3个注意点：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常

9、规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 四 、课堂运用1已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得·0若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由2已知椭圆1(ab0)的左焦点F1(1，0)，长轴长与短轴长的比是2(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：为定值3如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭

10、圆C交于A，B两点当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为(1)求椭圆C的方程(2)若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，过点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求PAB的面积(3)是否存在点E，使得为定值？若存在，请求出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由1【解】(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1(2)由消去y，得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2设P(xp，yp)，则xp， ypkxpmm，即P因为M(t，0)，Q(4，4km)，所以，(4t，4km)，所以·&#

11、183;(4t)·(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1所以存在点M(1，0)符合题意2【解】(1)由已知，得解得a2，b故所求椭圆方程为1(2)由已知F1(1，0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为yk(x1)(k0)由得(34k2)x28k2x4k2120由于0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1，2，|AB|·|x1x2|同理|CD|所以当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|3，|CD|4；或|AB|4，|CD|3，所以综上，为定值3【解】(1)由，设a3k(k>0)，则ck，b23k2，所以椭圆C的方程为1因为当直线l垂直于x轴且

12、点E为椭圆C的右焦点时，AB，即xAxBk，代入椭圆方程，解得yAk，yBk或yAk，yBk，于是2k，即k，所以椭圆C的方程为1(2)将x代入1，解得y±1因为点A在第一象限，所以A(，1)又点E的坐标为，所以kAE，直线EA的方程为yx1，由得B又PA过原点O，所以P(，1)，PA4，直线PA的方程为xy0，所以点B到直线PA的距离h， SPABPA·h×4×(3)假设存在点E，使得为定值，设E(x0，0)(x0±)，当直线AB与x轴重合时， ，当直线AB与x轴垂直时，由，得x0±，2，所以若存在点E，此时E(±，0)，

13、为定值2根据对称性，只需考虑直线l过点E(，0)的情况，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy，由得(m23)y22my30，所以y1y2， y1y2又，所以2，综上所述，存在点E(±，0)，使得为定值2五、课堂小结1定值问题的求解策略：(1)可以从一般的情形进行论证，即用类似方程axb0恒有解的思路来解决问题；(2)也可以运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对一般情形也成立2最值问题的求解策略：(1)如果建立的函数是关于斜率k的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；(2)如果建立的函数是关于点(x，y)的

14、函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题六、课后作业基础1对任意实数a，直线yax3a2所经过的定点是_2若直线mxny4和圆O：x2y24没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为_3已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C，D的坐标分别是(，0)，(，0)，则PC·PD的最大值为_4已知椭圆1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为

15、_答案与解析1【解析】直线方程即为y2a(x3)，因此当x30且y20时，这个方程恒成立，故直线系恒过定点(3，2)【答案】(3，2)2【解析】 因直线与圆没有公共点，所以圆心到直线的距离>2，则m2n2<4，可以判断出点(m，n)在椭圆的内部，故过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为2 【答案】23【解析】设椭圆方程为1(a>b>0)，半焦距为c，则由条件，得bc，b2c24，解得bc，于是a2，从而C、D就是椭圆的焦点，于是PCPD2a4，由基本不等式得PC·PD24，即PC·PD的最大值为4【答案】44【解析】 设M(x0，y0)，A(x1，y

16、1)，则B(x1，y1)，从而k1·k2·，又两式相减得，故k1·k2，又e，所以，故k1·k2【答案】巩固1如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：1(a>b>0)的四个顶点，A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M(1)求椭圆C及圆M的方程；(2)若点D是圆M劣弧上一动点(点D异于端点A1，B2)，直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F求的最大值；试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由2已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，且过点P，

17、记椭圆的左顶点为A(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k22，求证：直线DE恒过一个定点3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率e，直线l：xmy10(mR)过椭圆C的右焦点F交椭圆C于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程(2)已知点D，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由4如图，已知椭圆C

18、：y21，A，B是四条直线x±2，y±1所围成的两个顶点(1)设P是椭圆C上任意一点，若mn，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M，N是椭圆C上两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由答案与解析1【解】(1)由题意知B2(0，1)，A1(，0)，所以b1，a，所以椭圆C的方程为y21易得圆心M，A1M，所以圆M的方程为2y2(2)设直线B1D的方程为ykx1，与直线A1B2的方程yx1联立，解得点E联立消去y并整理，得(13k2)x26kx0，解得点G111，当且仅当k时等号成立所以

19、的最大值为易得直线B2G的方程为yx1x1，与直线A1B1的方程yx1联立，解得点F，所以E，F两点的横坐标之和为2故E，F两点的横坐标之和为定值，该定值为22【解】(1)由题意得解得所以椭圆的方程为x22y21(2)设B(m，n)，C(m，n)，则SABC·2|m|·|n|mn|又1m22n222|mn|，所以|mn|，当且仅当|m|n|时取等号，从而SABC所以ABC面积的最大值为(3)因为A(1，0)，所以直线AD：yk1(x1)，直线AE：yk2(x1)联立消去y，得(12k)x24kx2k10，解得x1或x，故点D同理，E又k1k22，故E故直线DE的方程为y&#

20、183; ，即y·，即yx所以2yk(3x5)k14y0则令得直线DE恒过定点3【解】(1)在xmy10中，令y0，则x1，所以F(1，0)由题设，得解得从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1(2)令m0，则A，B或A，B当A，B时，P；当A，B时，P所以满足题意的定直线l2只能是x4下面证明点P恒在直线x4上设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P(4，y1)在直线BD上由消去x，得(43m2)y26my90因为144(1m2)>0，所以y1y2，y1y2因为kDBkDP将式代入上式，得kDBkDP0，所以kDBkDP所以点P(4，y1)在直线BD上，从而直线l1、直线BD与直线l2：x4三线恒过同一点P，所以存在一条定直线l2：x4，使得点P恒在直线l2上4【解】(1)易求A(2，1)，B(2，1)设P(x0，y0)，则y1由mn，得所以(mn)21，即m2n2故点Q(m，n)在定圆x2y2上(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则平方得xx16yy(4x)(4x)，即xx4因为直线MN的方程为(x2x1)y(y2y1)xx1y2x2y10，所以