运用微元思维方法解物理竞赛试题

1、运用微元思维方法解物理竞赛试题吕贤年 袁孝金所谓微元思维方法是指从整体中取某个特定的微小部分作为研究对象，从而达到解决事物整体问题的一种思维方式。这种思维方法是基于宏观事物的普遍性（即共性）不仅存在于事物发展的全过程中，而且也包含在每微元的特殊性（即个性）之中这一基本属性的基础上，而产生的一种创造性思维方式。因此，我们在研究物理问题时，对于某一具体的研究对象，当从整体或宏观上无法求解时，运用微元思维方法，往往会收到化难为易，化繁为简的意想不到的效果。本文试通过近年来的有关全国中学生物理竞赛试题为例，导析微元思维方法解题的一般思路，供同学们参考。一、长度微元l对长度进行微小分割，称为线分割，分割

2、出来的长度单元，称之为长度微元，用l表示。例1 一根无限长的均匀带电细线，弯成图1所示的平面图形。其中AB是半径为R的半圆弧，AABB。试求圆心O处的电场强度。（1988年全国中学生物理竞赛试题）A B A b a a b a O l B 图 1 解析 因为电荷均匀布在整条曲线上，所以不能把它当作点电荷处理。因此，无法直接应用初等方法求出它在O点所形成的电场强度。如果将曲线分成无数小线元，可看作点电荷，则弯曲的带电细线在O处所产生的电场，就是各小段线元在O处的电场强度，就能按矢量合成法求得曲线整体在O处的电场强度。在半圆弧AB上取任一小段线元abl，则线元ab对应的圆心角为，对应于直导线线元为

3、a b。当0时，a逼近于b，a逼近于b。此时，我们可以认为ab所带电荷Q集中于一点（如b点），a b 所带的电荷集中于对应的另一点（如b点）。这样，对于张角所包含的区域在O点所形成的场强，我们认为是由两个点电荷形成的。设细线上单位长度所带的正电荷为，则ab线元所带的电荷为qR,q在O点所形成的场强为：Ek，其中E的方向指向O b。a b 线元所带电荷为qa b，距离圆心O的距离用r表示（越小，以上考虑越准确），作aa垂直于Ob，则aabbOB + 。因而a b aa/cos aar/R，又因为aa r，故得：a b r2/R.。因此，点电荷在O点产生的电场强度的大小为：E´kkE，方

4、向与E方向相反。因此，ab与a b 在O点产生的场强之和为零。根据同样的分析可知，AB上各小段电荷与细线直线部分各小段电荷对应地在O点产和的场强相消，故整个细线电荷在O点的电场强度为零。二、面积微元S对面积进行微小分割，称为面积分割，分割出来的面积单元称为面积微元，用S表示。一个面积元通常需用两个参量表示。例2在水平放置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状（侧面向外凸起），过圆饼轴线的竖直截面如图2所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算，已知水银的密度13.6×103 kg/m3，水银的表面张力系数0.49N/m，当圆弧

5、饼的半径很大时，试估算其厚度h的数值大约是多少？取1位有效数字即可。（1988年全国中学生物理竞赛试题）图2 h 解析 洁净的玻璃平板上的水银呈现圆饼形状。此时，由于水银所受重力的作用而产生对水银圆饼侧壁的压力，方向向外，与指向圆饼内水银的表面张力相平衡，若以整个圆饼为研究对象，很难列出对应的方程求解。F 图 3 F´ F3 h x F2 F1 F4 在侧面任一处取宽为x，高为h的面积元S，则由于重力而产生的水银对S的侧压力为： F·S·h·x·x式中为水银对侧壁的平均压强，由于压力F使圆饼侧面向外凸出，因而使侧面的面积增大，如图3所示，但是在

6、水银与空气接触的表面层中，由于表面张力作用，又使水银面有收缩到最小的趋势，上下两层的表面张力的合力的水平分力F´指向水银内部，与F的方向相反。设上表面处的表面张力F1的方向与水平方向成角，则的大小为：F´F1cos + F2 x·cos +·x ·x（1+ cos）当水银面的形状稳定时，F´ F。由于圆饼半径很大，面积元S两侧的表面张力F3、F4可认为大小相等，方向相反而抵消，因而由得：x（1+cos）gh2x/2由可得： h 因为的取值范围是0，所以有：1将和的数值代入式可得：h0.027即上的取值范围是2.7×

7、10-3h3.78×10-3m，所以水银层的厚度的估算数值可取为3×10-3或4×10-3m。三、体积微元V对体积进行微小分割称为体积分割，分割出来的体积单元，称为体积微元，用V表示。实际问题中，所分割的体积元可以有多种形式，其中最常见的是正交体积分割，分割出来的体积元在三维正交坐标中，可表示为Vx·y·。例3 空间某一体积为V的区域内平均电场强度（）定义为： （）上式中的Vi为体积为B内第i个体积元。为第i个体积元内的场强(只要体积元足够小，可以认为其中各个点场强的大小和方向都相同)，为累加号，例如V1+V2+V。今有一半径为a，原来不带电的

8、金属球，现使它处在电量为q的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外与球心的距离为R ，试计算金属球表面感应电荷所产生的电场在球内的平均电场强度。（1987年全国中学生物理竞赛试题）解析 根据静电平衡的条件，导体内部的电场强度处处为零，根据场强叠加原理，可以通过求点电荷q的场强的办法得出感应电荷的场强。设表示金属球表面上所有感应电荷单独产生的电场强度，表示点电荷q单独产生的电场强度，根据导体静电平衡条件，在金属球内会一点之处有：所以（）（）设想在金属球内密度为的体电荷均匀分布，则总电量Qa3·因为均匀带电球体对球外电荷作用力，与球体的电荷全部集中在球心的点电荷对球外电荷的作用力相同。因此，

9、Q对点电荷的作用力可用库仑定律求得：图 4 r1 R V1 · O k·。上式中表示方向的单位矢量。把带电球体分割成无数个体积为Vi的体积元。如图4所示，每个体积元所带电量为V，点电荷对这一带电体积元的作用力为：Vi。点电荷q对整个带电体作用力为各体积元所受作用力的和，即+。根据牛顿第三定律有：因此 k·k··a3·即（） k·。由此可得：（） k·。四、时间微元t对运动时间进行微小分割，称为时间分割，分割出来的时间单元，称之为时间微元，用t表示。图 5 1 2 · S N M L1 L2 P Q U C

10、 × × × × × × C r r L1 L2 i i1 i2 例4 如图5所示，电源的电动势为E，电容器的电容为C，S是单刀双掷开关，MN、PQ是两根位于同一水平面的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L，导轨处在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里，L1和L2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m1和m2，且m1m2。它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在导轨上。现将开关S先合向1，然后合向2。求：（1）两根小棒最

11、终速度的大小。（2）在整个过程中的焦耳热损耗。（当回路中有电流时，该电流所产生磁场可忽略不计）（1997年全国中学生物理竞赛试题）解析 当开关S先合上1时，电源给电容器充电，当开关S再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大。（1）设两小棒最终的速度的大小为v，则分别以L1、L2为研究对象得： Fitim iv1´m iv1m1v 同理得：m2v 由+得：+ m1v + m2v又因为 Fi1B l i1 t i 1 t i 2 Fi2 B l i2 i1+i2 i所以 t i 1 + t i 2 B

12、L+BL BL(Qq) （m 1 + m 2）v而Q CE q CU ´ CBLv所以解得小棒的最终速度 v （2）因为总能量守恒，所以CE2+（m1+m2）v2+Q热即产生的热量Q热CE2(m1+F2)v2CU2(CBLv)2(m1+F2)v2CU2CB2L2 +（m1+m2） 2五、质量微元mO· R 图 6 对物体的质量进行微小分割，称为质量分割，被分割出来的质量单元，称之为质量微元，用m表示。例5 半径为R的光滑固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状弹性绳圈，原长为R，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图6

13、所示。若平衡时弹性绳圈长为R，求弹性绳圈的劲度系数k 。（1987年全国中学生物理竞赛试题）解析 由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F。在弹性绳圈上任取一小段质量为m作为研究对象，进行受力分析。但是m受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察，选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系。从下面和上面观察，分别画出正视图和俯视图。先看俯视图7，设在弹性绳圈的平面上，m所对应的角度是，则每一小段的质量m F F T 图 7 m在该平面上受拉力F的作用，合力为 T2Fcos()2Fsin因为当很小时，sin，所以T2F F再看正视图8，m受重力mg，支持力N，二力的合力与T平衡：Tmg·tan图8 N O T mg 现在弹性绳圈的半径为rR所以sin 45° tan 1因此Tmg Mg联立，解得弹性绳圈的张力为：F设弹性绳圈的伸长量为x则xRR R（1）R所以绳圈的劲度系数为：k综上所述，应用微元思维方法解题主要步骤如下：（1）将所研究的对象进行无限分割，或假设研究对象发生了微小的变化，例如可以是发生了一小段位移，经历了一小段时间