计算二重极限的几种方法00

1、第 18 卷第 6 期上饶师专学报V o l. 18, N o. 6 1998 年 12 月 JOU RN A L O F SHA N GRA O T EA CH ER S COL L E GE D ec. 1998 计算二重极限的几种方法高炳宋(上饶师专数学系, 上饶, 334001)摘要利用函数连续性和极限的运算法则, 归纳了二重极限的几种计算方法。关键词二重极限; 累次极限; 无穷小分类号O 1741利用函数连续性定理 1设二元函数 z = f (x , y ) 于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 连续, 则 lim f (x , y ) = f (x 0 , y 0 )。x x 0

2、y y 0y )例 1求lim ln (x + l, ( l 0)。x 1y 0x 2 + y 2解由于 ln (x + ly ) 及x 2 + y 2 于点(1, 0) 连续, 且12 + 02 = 1y故limx 1y 02利用极限的四则运算ln (x + l ) = ln ( 1 + 1) = ln 2x 2 + y 2 1定理 2若lim(x , y ) (x 0, y 0)f (x , y ) = A ,lim(x , y ) (x 0, y 0 )g (x , y ) = B则lim(x , y ) (x 0, y 0)lim(x , y ) (x 0, y 0)lim f (x

3、, y ) g (x , y ) = A Bf (x , y ) g (x , y ) = A Bf (x , y ) = A (B 0)(x , y ) (x 0, y 0) g (x , y )B例 2求lim (x 2 + y 2 ) e- (x + y )x y 2 2 2 2解(x 2 + y 2 ) e- (x + y ) = x + y = x + y e (x + y )22ex eyex ey而lim x = limx lim 1 = 0e ex x y y x ex2y ey同理lim y = 0e ex x y y 收稿日期: 1997- 10- 14故lim (x 2

4、+ y 2 ) e- (x + y ) = 0x y x y例 3求lim e co sy y 0x 0 1+ x + y解lim ex y co sy = lim ex y lim co sy = 1x 0y 0x 0y 0y 0而lim (1 + x + y ) = 1x 0y 0y 0由定理 2 得lim e x y co sy = 13利用两边夹法则x 0 1 + x + y定理 3若于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h (x , y ) f (x , y ) g (x , y ) , 且lim h (x , y ) = lim g (x , y ) = Ax x 0

5、y y 0x x 0y y 0则lim f (x , y ) = Ax x 0y y 02 2例 4求lim x y (x , y ) (0, 0) x 2 + y 2(x 122 2 + y2 ) 2解由于0 x y 4 = 1 (x 2 + y 2 ) 0由此可知x 2 + y 2x 2 + y 2 42 2lim x y = 0(x , y ) (0, 0) x 2 + y 24利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量定理 4若lim(x , y ) (x 0, y 0)f (x , y ) = 0, 而 g (x , y ) 于(x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则lim(x , y

6、) (x 0, y 0)例 5求lim (x + y ) sin 1 f (x , y ) g (x , y ) = 0x 0y 0x 2 + y 2解由于 sin 1 M 且lim (x + y ) = lim x + lim y = 0x 2 + y 2x 0y 0x 0y 0故lim (x + y ) sin 1 = 05利用复合函数x 0y 0x 2 + y 2定理 5若函数 u = (x , y ) , v = (x , y ) 于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 存在极限, 并且函数 f (u , v ) 于点( u 0 , v 0 ) 连续, 其中 u 0 =lim(x ,

7、y ) (x 0, y 0)y ) 于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 存在极限, 且(x , y ) , v 0 =lim(x , y ) (x 0, y 0)(x , y ) , , 则复合函数 f (x , y ) , (x ,lim(x , y ) (x 0, y 0)f (x , y ) , (x , y ) = f lim(x , y ) (x 0, y 0)(x , y ) ,lim(x , y ) (x 0, y 0)(x , y ) 2 2例 6求lim (x 2 + y 2 ) x + y 。x 0y 0解令 u = x 2 + y 2 , 求lim u = 0x 0y

8、 02 2故lim (x 2 + y 2 ) x + y= lim u u = exp lim u ln u = e0 = 1x 0y 0u 0u 0定理 6lim f (x , y ) (使 x = x 0 + rco s, y = y 0 + r sin )x x 0y y 0 lim f (x 0 + rco s, y 0 + r sin ) = A ( 0, 2)。r0+这个定理的结论是显然的, 我们把证明留给读者。例 7求lim (x + y ) ln (x 2 + y 2 )。x 0y 0解设 x = rco s, y = r sin , 则(x + y ) ln (x 2 + y

9、 2 ) = (co s+ sin ) r ln r2 = 2 (co s+ sin ) r ln r由于limr ln r = limln r = lim ( ln r) =lim(-r) = 0r0+r0+ 1rr0+( 1 ) rr0+而 2 (co s+ sin ) 为有界量, 则 2 (co s+ sin ) r ln r 为无穷小量。 0, 2, 有 lim 2 (co s+r0+sin ) r ln r= 0, 因此得到6利用累次极限lim (x + y ) ln (x 2 + y 2 ) = 0x 0y 0定理 7设二重极限lim f (x , y ) = A 存在, 且lim

10、 f (x , y ) = (y ) 也存在 (y 看作常数) , 则累次极限limx 0y 0lim f (x , y ) 必定存在, 且等于A , 即rx 0y y 0 x x 0limlim f (x , y ) = lim f (x , y )y y 0 x x 0x x 0y y 0此定理的证明在一般教本上都有, 我们就不多述了。推论 1如果下面三个极限都存在,lim f (x , y ) = A , lim f (x , y ) = (y ) , lim f (x , y ) = (x )x x 0y y 0则必两个累次极限limx x 0lim f (x , y ) , limy

11、 y 0lim f (x , y ) 都存在, 且等于A 。y y 0 x x 0推论 2 若累次极限 limx x 0 y y 0lim f ( x , y ) 与 limlim f ( x , y ) 都存在, 但不相等, 则二重极限lim f (x , y ) 一定不存在。x x 0y y 0x x 0 y y 0y y 0 x x 02 2 3 3例 8求lim x - y + x + y 。x 0y 0x 2 + y 2解由于 y 0 时恒有lim f (x , y ) = y - 1= (y ) , 故x 0limlim f (x , y ) = - 1y 0 x 0同理limli

12、m f (x , y ) = 12 2 3 3x 0 y 0由推论 2, lim x - y + x + y 不存在。x 0y 0x 2 + y 27利用特殊的曲线对于一元函数, 我们定义了单侧极限, 并说明函数在某点极限存在的充要案件是在该点两 个单侧极限存在且相等。 在平面上点 P ( x , y ) 可以有更多的方式趋向点 P ( x 0 , y 0 ) , 如果lim(x , y ) (x 0, y 0)f (x , y ) = A , 那么点 P (x , y ) 以任何方式趋向于点 P (x 0 , y 0 ) 时, f (x , y ) 都必须趋向于 A 。这样, 如果当 P (

13、x , y ) 以不同方式趋向 P (x 0 , y 0 ) 时, f (x , y ) 有不同极限或无极限, 那么lim f (x , y ) 不存在。x 0y 0例 9f (x , y ) =1当 0 y x 2 时0其它点讨论当(x , y ) (0, 0) 时 f (x , y ) 的极限。 显然, 当 (x , y )沿 x 轴趋于点(0, 0) 时, f (x , y ) 0; 又可证当(x , y ) 沿任 一射线趋于(0, 0) 时, 都有 f (x , y ) 0 (如附图)。以上半平面的射线 y = a x , y 0 来说, 由于 y = a x 与 y = x 2 除

14、点 (0, 0) 外还交于另一点, 此两交点间, f (x , y ) 0, 故沿此射线所得极限为零。 但当 (x , y ) 沿曲线 y = 1 x 2 趋于2( 0, 0) 时, 因为 f (x , y ) 1, 故 f (x , y ) 1, 因此 f (M ) 在点(0, 0) 的极限不存在。参考文献1菲赫金哥尔茨 . M . 微积分学教程. 第 1 卷, 第 2 分册. 叶彦谦等译. 北京: 人民教育出版社, 19592吉米多维奇 . . 数学分析习题集. 李荣冻译. 北京: 人民教育出版社, 19783武汉大学数学系编. 数学分析. 下册. 北京: 人民教育出版社, 19784刘玉莲, 傅沛仁. 数学分析. 下册, 第 3 版. 北京: 高等教育出版社, 1992Som e M e thod s f or Com put in g D ouble L im itGao B in so ng(D ep a r tm en t o f M a th em a t ic s Sh ang rao T each e rs Co llege, Sh ang rao , 334001)A bstrac tIn th e p