罗尔定理的研究及推广论文

1、本科毕业论文（设计）题 目 罗尔定理应用和推广研究学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2009级学 号 222009314012019 姓 名 郑世凤 指 导 教 师 杜文久 成 绩 中 2013年 5月 12日目录1 罗尔定理的基本性质及应用21.1 罗尔(Rolle)中值定理21.2几何意义21.3 罗尔定理证明31.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件41.5 利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理51.6 利用罗尔定理解决零点问题72 关于罗尔定理的进一步讨论112.1 多元函数的的罗尔中值定理112.2 任意区间和端点值上的罗尔定理122.4 广义罗尔

2、在高中数学中的应用16结语18参考文献：19致谢19罗尔定理应用和推广研究郑世凤数学与统计学院，重庆 400715摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理；Rolle theorem and its application researchShifengZhengSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaA

3、bstract:This paper discusses the basic properties of Rolles theorem,then use Rolles theorem to solve practical problems and applications. Rolles theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of R

4、olles theorem to solve the problem.Keywords:Rolles theorem; Properties; Applications; Generalized rolles theorem;引言微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整

5、体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。尔定理是微分中值定理中的基础定理，以罗尔定理为基础可推导拉格朗日中值定理及柯西中值定理。罗尔定理本身不仅仅局限于讨论有限区间，在给出其他更弱条件下，我们将罗尔定理推广到更广泛的适应范围，帮助我们在中学微分学教学中理解和解决函数与导数的相关问题。1 罗尔定理的基本性质及应用1.1罗尔(Rolle)中值定理若函数满足如下条件:在闭区间上连续;在开区间内可导;,则内至少存在一点,使得.1.2几何意义在上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的;在开区间内可导表明曲线在每一点处有切线存在;表明曲线的割线直线平行

6、于轴.罗尔定理的结论的直观意义是:在内至少能找到一点,.表明曲线上至少有一点的切线斜率为,也就平行于轴符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线.图11.3罗尔定理证明方法一:根据是闭区间上连续函数的性质,由极值定理得在上有最大值和最小值.如果,此时在上恒为常数,结论显然成立.如果,由条件知,两个数中至少有一个不等于端点的函数值，不妨设,证法类似,那么必定在开区间内有一点使.因此,有,由费马引理可知.方法二:由于在处最大,故不论是正或负,总有,因此，当时,故由极限的保号性有而当时，.故.综上所述及存在知，必有 证明完毕.1.4在简单函数中讨论罗尔定理条件了解了罗尔中值定理，我们便可以合理利用它的

7、判定条件快速的判别一些中学遇到的简单函数导数的零点问题。但是要满足罗尔定理，罗尔定理的三个条件缺一不可。例1.1 解:由题知:在上不连续;在内可导;不存在，使得.中不满足罗尔定理在闭区间连续的条件，其结果也不服从罗尔定理。例1.2 解:由题知:(1);(2)在上不可导;(3),则不存在,使得.题中不满足罗尔定理的条件(2),其结果也不服从罗尔定理.例1.3 .解:由题知:(1);(2);(3),则不存在,使得.为此题中不满足罗尔定理的条件(3),其结果也不服从罗尔定理.面的例子说明如果函数要满足罗尔定理,那么它们需要满足罗尔中值定理的三个条件,但在一些特殊情况下,罗尔定理的条件之一不满足其结论

8、仍然成立.(1)在x=0处不可导.(2)在端点处的函数值不相等.(3)在闭区间上不连续.虽然三个函数都不完全满足罗尔定理的三个条件，但其结果满足罗尔定理的结果1.5利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理中值定理:若函数满足如下条件:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;则在内至少存在一点,使得.证明:做辅助函数.显然,且在上满足罗尔定理的另两个条件.故存在,使 证毕完毕.柯西中值定理:设函数和满足在上连续;在内都可导;和不同时为零;,则存在,使得.证明:作辅助函数,易见在上满足罗尔定理条件,故存在,使得,因为,所以,证明完毕.1.6利用罗尔定理解决零点问题零点问题就是指零

9、点的存在性、唯一性和零点的个数问题，这一问题可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理以及罗尔定理，不同的方法有不同的解题思路，现在我们着重讨论罗尔定理。罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛，它能够很好地解决函数零点的存在性、唯一性和零点个数等问题。下面我们举例看一看怎样运用罗尔定理解决零点问题。例1.4 不求导数,判断函数的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解: 因为,所以在闭区间、上满足罗尔定理的三个条件，从而，在内至少存在一点,使,即是的一个零点；又在内至少存在一点,使,即也是的一个零点,又因为为二次多项式,最多只能有两个零点,故恰好有两个零分别在区间和内.例1.5 求

10、证:方程的根不超过三个(不记根的重数).证明:令在连续可导;至少有四个不等的根,不妨设,则分别在上.用罗尔定理得在内至少有三个不等根,而在,上连续可导,分别在,上用罗尔定理,得至少有两个不等根,与题设矛盾,故的根不超过三个,即原方程的根不超过三个.证明完毕.例1.6设在上连续,在可导,且,求证在内至少存在一点,使.证明:令,则在上连续,在可导,且因为,所以,即在上满足罗尔定理的条件,则至少存在使.而即在内至少存在一点,使.例1.7讨论方程讨论方程的零点个数.解: 设函数,显然在定义域内是连续函数.分别令得,所以在区间内个至少有一个零点,即方程至少有三个实根.令,这个函数在区间上连续且单调递增.

11、又，,所以在有唯一的零点,所以有罗尔定理可知在至多有两个零点.同理可知在至多三个零点.综上所述,原方程在恰好有三个零点.例1.8 已知函数在上二阶可微,则在内只有一个实根.证明: 首先证明存在性.过定点做曲线的切线：,则切线与轴的交点,由，显然有.若存在使得,则由罗定理可知，存在使得这与矛盾,所以只有一个点,使得.证明完毕.由上面这些例子可以看出,罗尔定理在讨论一般方程和导数方程上都是很有用的,合理运用罗尔定理的条件进行判定筛选,即可判断或证明方程根的存在性，即零点的存在性,个数和唯一性。2关于罗尔定理的进一步讨论罗尔定理是微分学中的重要定理,它不仅沟通函数与导函数的关系,还是微积分学中许多定

12、理的基础,对罗尔定理进行深入系统的探讨和研究,在多元函数中的性质和给出在更弱条件下的各种区间类型（包括有限区间和无限区间）的罗尔定理的推广形式2.1多元函数的的罗尔中值定理二元函数的罗尔中值定理:设二元函数(1)在有界闭区域连续;(2)在的每一点存在偏导;(3)当时，,则至少存在一点,使,其中,分别表示的内部和边界,常数.证明:根据有界闭区域上连续函数的性质知，在区域上必有最大值和最小值.(1)若则当时,于是，对内任意一点,都有,及结论成立.(2)若,则最大值与最小值至少有一个不在上取到，即与有一个与不相等.不妨设,则内必有一点,使.下证,在该点处,函数的两个偏导数为零.因,故一元函数在内点取

13、得最大值,据费马定理知,同理可证,.于是，定理得证.证明完毕.二元函数的罗尔定理的几何意义是:如果曲线在平面上，则在曲面上必有一点,使在该点的切平面平行于平面.其中.2.2任意区间和端点值上的罗尔定理在函数中是用罗尔定理，其必须满足的条件是相当苛刻的，我们希望能够得到一个更为宽泛的结论，因此有必要对其条件进行放宽，放宽条件后的罗尔定理不妨将其称之为广义罗尔定理。定理2.1 设函数满足条件:(1)在开区间内可导;(2)则至少存在一点,使得.证明:不妨设,做辅助函数.则在区间上连续,在内可导,且,故由罗尔中值定理知,在内至少存在一点,使得.证明完毕.定理2.2设函数满足条件:(1)在开区间内可导;

14、(2)则至少存在一点,使得.证明:在内任取一点,使.令显然,当时,;时,且函数在内可导所以复合函数在可导.又因为,由条件(2),有,所以,函数在内,满足2.2.1的条件.于是,存在,使得,即.由于,当时,所以,必有,令,即此.证明完毕.定理2.3函数满足条件:在开区间内可导;,则至少存在一点,使得.证明类似定理2.2,固从略.定理2.4设函数满足条件:在开区间内科导;,则至少存在一点,使得.证明:令,显然,当时,;当时,且函数在内可导,又由于函数在内可导，固有复合函数在内可导.且有,.由条件(2)得,则函数在上满足2.2.1的条件.所以,至少存在一点,使得.即，,因为当时,所以.令,即得.证明

15、完毕.2.4 广义罗尔在高中数学中的应用例2.1求证函数在内至少存在一点,使得.证明:由于在内可导,且,由定理2.2.2得,在内至少存在一点,使得,.事实上，.证明完毕.例2.2 求证函数在内至少存在一点,使得.证明:由于在内可导,且,由定理2.3得，在内至少存在一点,使得.事实上，.证明完毕.例2.3求证函数在内至少存在一点,使得.证明:因为在内可导,且,由定理2.1得,内至少存在一点,使得.事实上,.证明完毕.结语罗尔定理是一个基于费马定理的微分学基本定理。由罗尔定理可导出著名的拉格朗日中值定理、柯西中值定理.本文将罗尔定理推广到任意区间及端值上 ,并利用罗尔定理的推广形式解决我们在高中数

16、学中遇到的导数难题。罗尔定理作为数学分析基本理论中的重要内容，它起着奠基、核心的作用。理解罗尔定理的条件，结论和几何意义，结合对罗尔定理的具体应用，反复体会其在大学以及高中微积分课程中的重要地位和作用，从而达到准确理解并应用的目的。在掌握这一定理的条件和结论的基础上，提出一系列更具拓展和创新的问题，从而达到深化理解、积极思考的创新的目的。参考文献：1 北京大学.数学分析M.北京：人民教育出版社，1961.2 复旦大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，1983.3 菲赫金哥尔茨.微积分学教程M.北京：人民教育出版社，1956.4 广西民族学院学报（自然科学版），Dec.2002:23-2

17、55 郭玉立.微分中值定理的几种新证明6 盛云秋 上海工程技术大学学报 1992 第4期 - 维普资讯网 7 吴从炘 高等数学研究 2004 第5期 - 维普资讯网8 王子兴.数学方法论-问题解决的理论M.长沙：中南大学出版社，2002.9 吴炯圻，林培荣.数学思想方法M. 北京：高等教育出版社，2005.致谢：衷心感谢带本次毕业设计的周老师，这次的毕业设计是在杜老师的悉心指导下完成的，从论文的选题、开题报告，论文初稿到最终论文的完成，各方面都离不开杜老师的热情耐心的帮助和指导。在这几个月的学习中，周老师认真严谨的工作态度和诚信宽厚的处事态度，都给我留下了难以磨灭的印象，也为今后走向工作岗位树立了榜样。大学的学习生涯即将结束了，回顾这过去的几年，充满了欢笑与艰辛，这段记忆也将在我的人生中留下重重的一笔。在这短短的几年