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1、高中公式三角函数公式高等数学3.柯西收敛准则：数列x收敛的充要条件是：对于任意给定的正数，都存在正整数N，使得当m，n>N 时，有|x-x|<。1.3 函数的极限性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则：1.夹逼法则：若limf(x)=limh(x)=A，且存在x的某一去心邻域和差角公式和差化积公式sin(a±b)=sinacosb±cosasinbsina+sinb=2sina+bcosa-bsin a sincos(a±b)=cosacosbb22a+ba-bU(x,d)，使得"xÎU(x,d)，均有f(x)g(x)h

2、(x)，则limg(x)=A。tga tg btg(a±b)=tga±tgbsina-sinb=2cossin222.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。1×a+ba-b3. 柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是：>0,>0,x,x,U(x,d)ctg(a±b)=ctga×ctgbcosa+cosb=2coscos221ctgb±ctgacosa-cosb=-2sina+bsina-b22有|f(x)-f(x)|<。4.海涅(Heine)归结原则：limf(x)=A的充要条件是：对于任何满足积化和差公式倍角公式s

3、in2a=2sinacosa=2tana1+tanalimx=x的数列x，都有limf(x)=A。sinacosb=1sin(a+b)+sin(a-b)2cos2a=2cosa-1=1-2sina1-tana归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个cosasinb=1sin(a+b)-sin(a-b)2=cosa-sina=1+tana收敛于该点的自变量x的数列x，而相应的函数值数列f(x)却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列x,x，而相应的函数值数列f(x),f(x) 却具有不同的极限。cosa cosb=1cos(a+b)+cos(a-b) tg2a=22tga1-

4、tgactg2a=ctga-12ctga1.4 无穷小与无穷大1sin3a=3sina-4sinasinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)ì=02cos3a=4cosa-3cosa若lima(x)=l ，当ï时，则称xx时称(x)是(x)的tg3a=3tga-tga1-3tgab(x)lí¹0îï=1半角公式sina=±1-cosacosa=±1+cosaì高阶无穷小，记作a(x)=o(b(x)ïîí同阶无穷小，记作a(x)=O(b(x)2222ï等阶

5、无穷小，记作a(x)b(x)tga=±1-cosa=1-cosa=sina常用等价无穷小21+cosasina1+cosasinx tanx arcsinx arctanx e-1 ln(1+x)xctga=±1+cosa=1+cosa=sina121-cosasina1-cosa1-cosxx (1+x)-1ax a-1xlna1 f (0) x22V =SHV =1SHV =1 H(S+SS¢+S¢)33若f(x=0),f(0)0,则òf(t)dt¢ 球的表面积：4R球的体积：43第1章极限与连续1.1 集合、映射、函数pR椭圆面

6、积：ab 椭球的体积：43pabc确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式1.5 连续函数极限存在左右极限存在且相等。连续左右极限存在且相等，且等于该点函数值。简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.左右极限至少有一个不存在。空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数1.2 数列的极限性质：1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。2.（有界性）收

7、敛数列必为有界数列。3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a。注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。1.6 常见题型求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；7.放缩法；求极限limxn,就要将数列xn放大与缩小成：zxy.n®¥8.求递归数列的极限注2. 若数列x有两个子列x,x均收敛于a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于a。注3. 性质3 提供了证明了某数列发散的

8、方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。4.（对有限变动的不变性）若数列x收敛于a，则改变x中的有限项所得到的新数列仍收敛于a。(1)先证递归数列a收敛（常用单调收敛原理），然后设limxnn®¥归方程a=f(a)取极限得A=f(A), 最后解出A即可。=A, 再对递5.（保序性）若limx =a,limy =b，且a<b，则存在N，当n>N时，有(2)先设limxn =A，对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明x<y。判别法则：n®¥liman =A。n®¥1.夹逼法则：

9、若N,当n>N时，xyz，且lim x=limz=a, 则lim y=a。第2章导数与微分2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。2.1 求导法则和求导公式求导法则：1.四则运算法则u(x)+v(x)=u(x)+v(x)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)u(x)¢=u¢(x)v(x)-u(x)v¢(x)第3章中值定理和泰勒公式3.1 中值定理v(x)2.复合函数求导v(x)费马定理：若是x是f(x)的一个极值点，且f(x)存在，则必有f(x)=0(可微函数的极值点必为驻点)，1.罗尔定理：若函数f(x)满

10、足以下条件；(i)在闭区间a,b上连续；(ii)在开区间(fj(x)¢=f¢j(x)j¢(x)关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点，使得f()=0.2.拉格朗日定理：若函数f(x)满足以下条件；(i)在闭区间a,b上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得3.反函数求导4.隐函数求导5.参数式求导f(y)¢=1f¢(x)f (b)-f (a)=f¢(x).b-a3.柯西定理：若函数f(x)和g(x)满足以下条件；(i)在闭

11、区间a,b上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii)x(a,b),g(x)0，则在(a,b)内至少存在一点，使得ìx=x(t) dyy¢(t)dyy¢¢(t)x¢(t)-y¢(t)x¢¢(t)f (b)-f (a)=f¢(x)í ,= ,=îy=y(t) dxx¢(t)6.对数求导法7.分段函数求导dxx¢(t)3.2 泰勒公式g(b)-g(a)g¢(x)(1)按求导法则求连接点处的左右导数设ìg(x),x-d<x£xf

12、(x)= ,若g¢(x )=h¢(x )=A,则f ¢(x )=A.求泰勒公式的方法：1.泰勒公式（拉格朗日余项）：f(x)=f(x)(x-x)+f(x)(x-x)íh(x),x<x£x+d åk!(n+1)!î 2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）(2) 按定义求连接点处的左右导数x x+ x +n!+ (-1)ne=1+xe设ìg(x), x-d<x<xg(x)与f(x)在点x处无定义，1! 2!(n+1)!f(x)=ïA, x=x, x=x-x +x+x+-xqxí 可

13、按定义求g¢(x )与h¢(x )sin3! 5!(2n-1)!( 1)cos(2n+1)!ïh(x), x<x£x+d î + (-1)ncosx=1-x +x +x+(-1)xcosqx(3)对于(1)f¢(x)很复杂，按定义求,f¢(x)=limf(x)-f(x)2! 4!(2n)!(2n+2)!ìg(x),x¹xx-xxxxxf(x)=íîA, x =x, (2)否则，先求出f¢(x)，再求limf¢(x)ln(1+x)=x-+ (-1)n23+(-1

14、)n(n+1)(1+qx)8.变限积分求导(1+x)=æaö+æaöx+æaöx+æaöx(1+qx)y=òdy f(t)dt,=f(j(x)j¢(x)-f(y(x)y¢(x)ç÷ç÷ç÷ç÷æa ö+ ç ÷ x n012n + 1èøèøèøèøèødx1求导公式：

15、1+x1=1-x+x +.+(-1) x +(-1)x (1+qx)(C)¢=0(x)¢=mx(sinx)¢=cosx(cosx)¢=-sinx(arcsinx)¢=11-x1-x=1+x+x+.+x+x(1+qx)(a)¢=alna(tanx)¢=secx(ctgx)¢=-cscx(arccosx)¢=-11-x1+x=1+1x+2å(-1)(2k -3)!x+(-1)(2n-1)!x(1+qx)(2k)!(2n+2)!(logx)¢=1xlna(secx)¢=secx&#

16、215;tanx(cscx)¢=-cscx×ctgx(arctgx)¢=11+x13.逐项求导或逐项积分x若f(x)=j¢(x)或f(x)=òj(t)dt，(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，(arcctgx)¢=-1+xx然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。2.2 高阶导数和高阶微分x例如：arctanx=1 dt=11(1-t+t)dt+o(x)=x-x+x+o(x)求高阶导数的方法：1.莱布尼茨（Leibniz）公式：(u(x)v(x)=ånCu(x)v(x)ò1+tò353.

17、3 函数的极值、最值2.常用公式(e)=ae(sin(ax+b)=asin(ax+b+n p)2(cos(ax+b)=acos(ax+b+np)驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。极值判别法则：1.设点x为函数f(x)的极值可疑点，f(x)在点x的邻域内连续，去心邻域内可微，如果在(x-,x)内f(x)0，在(x,x+)内f(x)0，则x必为f(x)的极大值点。反之必为极小值点。2.若点x是f(x)的驻点且f(x)存在，则当f(x)>0(<0)时，x必为f(x)的极小(大)值点。0003.设函数f(x)在点x处有n阶导数，且f¢(x)

18、=f¢(x)=.=f(x)=0，2但f (x)¹0，则(i)当n 为偶数时，f(x)在点x处取极值，当f(x)>0时(ax+b)b)(n)=anb(b-1).(b-n+1)(ax+b)b-n取极小值，当( 1ax+b)=a(-1)n! (ax+b)3.4 函数作图定理：设函数f (x)<0时取极大值；(ii)当n 为奇数时f(x)不是极值。(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则f(x)在a,b(ln(ax+b)=a(-1)(n-1)!3.分解法分解为上述初等函数之和1(ax+b)f上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f(x)在开区间(a,b)内单

19、调递减（增）。2.f(x)+(1-)x)<(>)f(x)+(1-)f(x),(0,1).3.f(x)()0.若函数f(x)在点x处凹凸性相反，则点x称为f(x)的拐点。拐点的必要条件：f(x)=0 或f(x)不存在。拐点的充要条件：f(x)经过时变号。渐近线：1.垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线lim =¥或lim =¥.2.斜渐近线：f(x)=ax+b,a=limf(x),b=lim(f (x)-ax) 或ò（3）Mx+N dxx2+px+q2；（4）nMx+Ndxxò(x +px+q)a=limf(x)=lim(f (x)-ax) （水平

20、渐近线为其特例）。òI =dx=1×x+2n-3 I,bòx(x +a)2a(n-1) (x +a)2a(n-1)函数作图的步骤：1.确定函数的定义域；2.观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；3.判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；4.确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；5.适当确定一些特殊点的函数值；三角函数有理式的积分一般用万能代换形式可以采用更灵活的代换：tanx2=t，对于如下6.根据上面提供的数据，作图。第4章积分4.1 不定积分对于积分òR(sinx,cosx)dx，可令tanx=t；对于积分òR(sinx)co

21、sxdx，可令sinx=t；对于积分R(cosx)sinxdx，可令cosx=t，等等。某些可化为有理函数的积分4.1.1.基本积分表1.òR(x,ax+b)dx型积分，其中n>1，其中adbc。cx+dòxdx=1m+11m +1ò ò xx +C dx =ln|x|+C adx=x1 a+Clna这里的关键问题是消去根号，可令ax+b=t。òsinxdx =-cosx+C òcosxdx =sinx+Còtanxdx =-ln|cosx|+C òcotxdx=ln|sinx|+Còsecxdx

22、=ln|secx+tanx|+C2.òR(x, ax2cx+d+bx+cdx型积分,其中b-4ac¹0，a 0。由于xòcscxdx =-ln|cscx+cotx |+C =ln|cscx-cotx |+C =ln|tan2 |+Còsecxdx = tanx+C òcscxdx =-cotx+Cax+bx+c=a(x+4ac - b2b)+ ，故此类型积分可以化为以下三种类型：2a4aR(u,k2-u2)dxu=ksintòtanxsecxdx =secx+C òcscxcotxdx =-cscx+Cò，可用三角

23、替换；1ò1-xdx =arcsinx+C或-arccosx+CòR(u,òR(u,u2-k2)dx，可用三角替换u=ksect；u2+k2)dx，可用三角替换u=ktant。1ò1+xdx =arctanx+C或-arccotx+CI=òtanxdx=1n-1tanx-I1òa+xdx=1arctanx+C òaa1a-xdx=arcsinx+Ca倒代换：1+x，1-x42，由此还可以求出1，xò1 dx=1ln|a+x|+C ò1dx=ln|x+x-a|+Cò1+xdxò1+xdx

24、ò1+x dxò1+xdxa-x2aa-xx-aasinx+bcosxdx,(a+b¹0)ò1 dx=1ln|x-a|+C ò1dx=ln(x+x+a)+Còasinx+bcosxx-a2ax+ax+a解：设asinx+bcosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)，为此应有òa-xdx=xa-x+a arcsinx+C22aìaA-bB=aaa +bbab -ba，解得，故òx-adx=xx-a-a lnx+x-a+CíbA+aB=bA=a+b,B=a+b2ò

25、x+adx=x22x+a+a ln(x+x+a)+Cîasinx +bcosxdx=Aòdx+Bò(asinx +bcosx)¢dx22òasinx +bcosxasinx+bcosxòecosbxdx=ea+b(acosbx+bsinbx)+Caa+bbab-baòesinbxdx=e(asinbx-bcosbx)+C=a+bx+ ln|asinx+bcosx|+Ca+ba+b2e1 sinxcosxsinxcosx4.2 定积分4.2.1.可积条件不可积的几个初等函数：lnxxx可积的必要条件：若函数f(x)在闭区间a,

26、b上可积，则f(x)在a,b上有界。可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法：1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。2.第二类换元积分法，拆分。4.2.2.定积分的计算b b1.换元积分法òf(x)dx=òf(j(t)j¢(t)dx分部积分法：òu(x)v¢(x)dx=u(x)v(x)-òu¢(x)v(x)dx4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。a a有理函数R(x)=P

27、(x)的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：2.分部积分法òu(x)v¢(x)dx=u(x)v(x)|-òu¢(x)v(x)dx常见的积分和式Q(x)òf(x)dx =limåf(a+i(b-a)(b-a)（1）A dx；（2）A；nn(i- 1)(b-a) (b-a)òx-aò(x-a)ndxòf(x)dx =limåf(a+ )nnnlimå1 f(i)=òf(x)dx- xedx=pnnòò òf(sin x)dx=f(cosx)dx&#

28、242;f(sin x)dx=2òf(sin x)dx第5章无穷级数常数项级数敛散性的判定1.若limu¹0，级数发散，等于零，需进一步判定。pòxf(sin x)dx= òf(sin x)dx=pòf(sin x)dx2 2.若uå为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法：I=sinxdx=òcosxdx,Iò=n-1In一般项中含有n!或n的乘积形式，采用比值判别法；一般项中含有以n 为指数幂的因子，采用根值判别法；使用分部积分法的常见题型：一般项中含有形如n（不一定是整数）的因子，采用比较判别法；利用已知敛

29、散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；采用定义，部分和数列S有上界。被积函数的形式所用方法P (x)ex , P (x) sin x, P (x) cos x进行 n 次 分 部 积 分 ， 每 次 均 取ea x , sin a x, cosa x 为 v¢( x)Pn (x) ln x, Pn (x)arc sin x, Pn (x) arctan x取 Pn (x) 为 v¢( x)ea x sin b x, ea x cos b x取 ea x 为 v¢( x) ，进行两次分部积分nnn3. 若uå为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别

30、法，若不为交错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根值判别法。求函数项级数的收敛域：（1）比值法lim|u(x) 1；（2）根值法lim( ) 1。4.2.3.定积分的应用|<u(x)ux <求幂级数的收敛域：（1）比值法lim|a|=或lim| u(x) 1；(1)平面图形的面积r|<dS=f(x)dx=j(y)dy=1r(q)dqau(x)+¥2（2）根值法lim|a |=r或limu (x)<1。(2)旋转体的体积dV=pf(x)dx=pj(y)dy=2pxf(x)dx(3)弧长、曲率弧微分公式：ds=(dx)+(dy)=1+f

31、¢(x)dx=1+j¢(y)dy常数项级数的求和：1.直接计算部分和S，然后求极限；2.利用相应的幂级数。=x¢(t)+y¢(t)dt=r(q)+r¢(q)dq幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求曲率：K=|da|=|y¢(t)x¢(t)-y¢(t)x¢(t)|=|y¢|和形式（即前面的麦克劳林公式）。ds(4)静矩、转动惯量mr, mrx¢(t)+y¢(t)(1+y¢)求函数的幂级数展开式：就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）

32、。f(x)=a0 +傅立叶级数2ì 1 ò，ïa=pf(x) cosnxdx(5) 引力 F=Gmmr¥å(ancosnx+bnsinnx)íïb =1f(x)sinnxdx均匀细杆质量为M，长度为l，在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m的质点，则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a(a+l).均匀圆环质量为M，半径为r，在圆心的正上方距离为b处有一质量为mn=1ìîïpò的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为F=kMmb .狄利克雷充分条件ïïíS(x)

33、=ïf (x)，续点2f (x-0)+f(x+0)，间断点(r+b)ï 2均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。4.3 广义积分广义积分审敛法几个重要的级数1f (-p+0)+f(p-0)，x=±pïî21.比较法f(x)kg(x),k01.几何级数ì当|q|<1时收敛2.p-级数åaqå1 ì当p>1时收敛í|q|³1í £12.比较法的极限形式limf(x) =kî当时发散nî当p时发散g(x)3.åî当1

34、6;当p> 1时收敛4.12=e5.å1 =p3.柯西收敛准则 ò|f(x)dx|<eånlnníp£ 1时发散=n!n6几个常见的广义积分第6章微分方程dxì收敛,p >1dxì收敛,p<11.ò,a>0í； 2.ò,a>0í1. 可分离变量方程dy =g(x)h(y)xî发散,p£1(x-a)î发散,p³1dxdxì收敛,p >1ì收敛,l>03.ò,a>1&

35、#237;； 4.òxedx,k³0íì齐次方程 dy=f(x,y)=j(y) xlnxî发散,p£1î发散,l£02.可化为可分离变ïídxxI=ò1x=1 pdxtI=量方程的方程ï可化为齐次方程的方程 dy=f(ax+by+c)ïî dxax+by+c(1+x)(1+x)4®3.一阶线性方程dydx+P(x)y=Q(y) y=eò(C+òQ(x)eòdx)4.伯努利方程dy+P(x)y=Q(x)y 令y=z&#

36、222;dz+(1-a)P(x)z=(1-a)Q(x)两平面夹角üýcosq=|AA+BB+CC|=sinj(平面与直线的夹角)dxdx两直线夹角þA+B+CA+B+C5.全微分方程特殊路径法，凑微分法ìdp点到直线的距离d=| Ax+By+Cz|A+B+C点到直线的距离´d=|pps|s|6.可降阶的ï不含y y¢¢=f(x,y¢) 令p=y¢,y¢¢=dxabíì柱面：椭圆柱面x +z=1 双曲柱面x-z=1 抛物柱面x=2pz 高阶方程ï不

37、含x y¢¢=f(y,y¢) 令p=y¢,y¢¢=ydp ïïabdyïxyz球面x+y+z=R 椎面+-=0 abcïï7.ïììïïx=x(t)ïïx=x(t)+y(t)cosqïïìï二阶齐次ì(1)已知y ïíy=y(t)¾¾¾¾®íy=ïïx(t)+y(t)s

38、inq ïï 212线í(2)令y =u(x)y，代入求出y 常ïï性ï 见y¢¢+p(x)y¢+q(x)y= 0ïî(3)y=cy+cy ïz=z(t)ïîz=z(t)îïìx+yz微ï ì(1)求出对应齐次方程的y,y 二ïï旋转椭园面+=1ï分í ï ïï í旋转面1 2次ì¢+¢= 

39、9;ïab í方ï 二阶非齐次(2)令y=u(x)y(x)+u(x)y(x),求出u,u ïuyuy0曲ïìf(x,z)ï旋转双x+y-z=1(单叶)ííï+¢¢=ïí¾¾¾¾®f(±x+y,z)=0ï程ïy¢¢+p(x)y¢+q(x)y=f(x)ïuyuyf(x)线ïabîy=0&

40、#239;ï(3)y =cy+cy +y ïïxy+zî î ï曲面 -ïïab=1(双叶)8.常系数线性微分方程ïï旋转抛物面x+y=2pzï二阶齐次特征方程的根微分方程的微分方程的ïìxyïxyzæ单öïa+b=±z(椭圆)y¢¢+p(x)y¢+线性无关解通解ï椭球面x +y +z=1 双曲面+-=±1ç÷ 抛物面íïabc

41、abcè双øïxyq(x)y=0互异实根r1,r2二重实根e,ee,xey=ce+ce1212(c+cx)eïî第8章多元函数微分学-=±z(双曲)ab复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量r1=r2=rì¶y-Fx共轭复根eaxcosbx,eaxsinbxe(ccosbx+csinbx)ï由方程确定的隐函数 F(x,x,.,x)Þ¶x = Fr1,2=±iï隐ïììïìdu=-1¶(F,

42、G)二阶非齐次（1）求对应齐次方程的y,yïïï函ïïïF(x,u,v)=0ÞïdxJ¶(x,v) 数ïïíG(x,u,v)=0ídv1¶(F,G)ïïïï =-y¢¢+p(x)y¢+（2）令y*=Q(x)e=x(A+Ax+.+Ax )e微由方程组确îîdxJ¶(u,x)q(x)y=f(x)mQ¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)

43、+(l+pl+q)Q(x)=p(x)íïïïïïï分ï定的隐函数íìì¶u1¶(F,G) du1¶(F,G)（3）法ïïïF(x,y,u,v)=0ï=-¶xJ¶(x,v),=-¶yJ¶(y,v)y=cy+cy+yïïïÞïïííïïïG(x,y,u,v)=0ï

44、¶v=-1¶(F,G),¶v=-1¶(F,G)9.欧拉方程xy+pxy+.+p xy¢+p y=f(x)îïîïî¶xJ¶(u,x)¶yJ ¶(u,y)(x¢(t),y¢(t),z¢(t)(F(P),F(P),F(P)令x=e,D=d,则xy=D(D-1).(D-k+1)y曲线的切线(1,y¢(x),z¢(x) 曲面的切平面(f(x,y),f(x,y),-1)dt1 n-1D(D-1).(D-n+1)+pD

45、(D-1).(D-n+2)+.+p Dy=f(e)和法平面(¶(F,G),¶(F,G),¶(F,G)¶(y,z) ¶(z,x) ¶(x,y)和法线(¶(y,z),¶(z,x),¶(x,y)¶(u,v) ¶(u,v) ¶(u,v)第7章向量代数与空间解析几何二元函数泰勒公式(h¶+l¶)(h¶+l¶)ijkaaaf(x+h,y+l)=å¶x¶yk!f(x,y)+¶x¶yn!f(x+qh,y

46、+ql)a´b=aaa (a,b, c)=(a´b)·c= bbbbbbccc多元函数取极值的必要条件：f(x,y)=0,f(x,y)=0ììx=x+mt多元函数ì1.f¢(x,y) =0,f¢(x,y)=0 ïï2.(1)AC-B>0,A>0,正定,有极小值;A<0,负定,有极大值ì点法式 A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0ïïy ynt取极值的í ï三点式 混合积为零 ï参数式 íï=

47、+ 充分条件ï(2)AC-B<0,A>0,不定,无极值 平面ï直ïîz =z+pt(3)AC-B=0,不能确定 方程í截距式 x+y+z=1 线ïx-xy-yz-zïa b cï对称式 =求条件极值，用拉格朗日数乘法方ïïímnpïî一般式 Ax+By+Cz+D=0 程ïìAx+By+Cz+D=0或=ìF=0ï一般式íìmin( max)zf(x,y)ï,令F (x,y)=f(x,y)

48、 +lj(x,y),有F =0ïîAx+By+Cz+D=0íîj(x,y)=0 í ï平面束方程ïîl(Ax+By+Cz+D)+m(Ax+By+Cz+D)=0îj(x,y)=0方向导数：偏导数是函数在平行于坐标轴方向上的变化率，有时需要考虑函数沿某一指定方向的变化率，这种变化率就是方向导数。方向导数¶u=¶ucosa+¶ucosb+¶ucosg梯度(¶u,¶u,¶u)9.6 格林公式¶l¶x¶y¶

49、z¶x ¶y ¶zìì¶Qïïòò¶dxdy=òPdx + Qdy =Lï¶Q-¶PÜïx 第9章多元函数积分学ïòòò(¶x)dxdy¶yí¶P9.1 二重积分ïïòòïî¶yPdx + Qdy =Lïïdxdy=-òQdyLPdxL¶Q

50、 ¶Pí(i)ò0Þ(ii)与路径无关Þ(iii)du=Pdx+QdyÞ(iv)=Þ(i)¶x¶yì1.x-型区域I=òdxòf(x,y)dy ïïïïì(1)不定积分法 ï2.y-型区域I=òdyòf(x,y)dx ïïﶶï求Pdx+Qdy的原函数ï(2)若Q=P,特殊路径法 二重积分ïìx=x(u,v

51、)ï3.换元法 令íïïÞI=òòf(x(u,v),y(u,v)|J |dudv ïí¶x¶yI=òòf(x,y)dsíîy=y(u,v)ïî(3)凑微分法 ïìx=u+aï(1)平移变换 令íÞI=òòf(u+a,v+b)dudv 9.7 高斯公式ïîy=v+bïïìx=rcosqï(2)极坐标变

52、换 令íÞI=òòf(rcosq,rsinq)rdrdqì ¶Pïòòò dv=òòîy=rsinqï¶x9.2 三重积分òò òòò òòò òòï¶Rdv=ì1.二套一，一套二 ïòòò¶zòòPdx = ¶P dL S ¶z

53、ïïìx=x(u,v,w)í元ï2.换 令ïy=y(u,v,w)ÞI=òòòf(x(u,v,w),y(.),z(.)|J|dudvdw9.8 斯托克公式îïï法ïz=z(u,v,w)ïìx=u+aìï平移ïïï(1)变 令íy=v+bÞI=òòòf(.)dudvdw ïìzdx-¶Pdydx)î&#

54、239;ï三重积分ï换ïz=w+cìx=rcosqïdydz dzdx dxdyïïïòòò¶yïïI=òòòf(x,y,z)dví柱坐(2)标ï 令íy=rsinqÞI=òòòf(.)rdrdqdz ïòòòòïï变换ïz=zïPQRï¶R

55、9;îíïòòòydz-dxdz)ï¶xRdz = ¶R dL S ¶yïìx=rsinjcosqïï球坐标ïï变换ïï(3) 令íy=rsinjsinqÞI=òòòf(.)rsinjdrdjdq ïîïz=rcosjïï(i)Pdx + Qdy +LòïRdz =0Þ(ii)与路径无关&

56、#222;(iii)du=Pdx+Qdy+RdzÞï椭球ìx=arsinjcosqﶶ¶ï(4)坐标令ïy=brsinjsinqÞI=ïf(.)abcrsinjdrdjdq(iv)¶R=¶Q,¶P=R, Q=PÞ(i)ïïî9.3 重积分的应用íï变换îz=crcosjòòòïî9.9 如何简化计算¶y¶z 

57、2;z¶x ¶x¶yïì(1)曲面面积 面积元素：dxdyxy, 1+f(x,y)+f(x,y)dxdy,EG-Fdudv 1.选择积分顺序（二重积分，三重积分）2.选择投影方向（第II类曲面积分）3.利用对称性与奇偶性ïcos(n,z)ïïòòòxr(x,y,z)dv4.换元5.曲线和曲面积分，利用已有方程6.利用几何或物理意义7.利用三个公式í(2)物体重心 x= ïòòòr(x,y,z)dvï线性代数xyï(3

58、)转动惯量(mr) 对z轴dJïïî=(x+y)r(x,y,z)dv 对xy平面dJ=zr(x,y,z)dv第1章行列式9.4 曲线积分ì第一类(òf(x,y,z)ds) 代入弧微分公式 aa*a0= = a11a22 .aïíï第二类( òPdx+Qdy+Rdz)¾¾¾¾¾®òP(.)x¢(t)+Q(.)y¢(t)+R(.)z¢(t)dt0a*aa9.5 曲面积分*a0aì第一类(ò&

59、#242;f(x,y, z)dS ) 代入面积元素 aa.an n( -= = (-1) 2ï aaí ¶z¶za第二类(òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy)=±òòP(- )+Q(- )+Rdxdy0a*ï îï ¶x¶yì A *A 0两种特殊的ïí拉普拉斯(ï=AB00 B* BLaplace)展开式ï*A0 AB=(-1)ABPdx + Qdy + Rdz = ¶ ¶

60、82; Ü ïï Qdx = ¶Q dxdy - ¶Q dzdy)íL ¶x¶y¶zï L S ¶x¶zPdxdySPdydz + Qdzdx + Rdxdy = ( ¶P + ¶Q + ¶R )dv ïï ¶Q dv = QdzdxíS v ¶x ¶y ¶z ï v ¶y SPdydzSB0ïî行列式的性质：行列不变；行行变反；倍加行不

61、变。 范德蒙行列式三对角行列式1111a bc a b0Dn =aDn-1-bcDn-23.2 矩阵的秩1.矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零主子式的最高阶数2.初等变换不改变矩阵的秩xn2xnxxxc a br(A+B)£r(A) +r(B) r(AB)£min(r(A),r(B)1£ j <i£nÕA 是m×n矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)£nxxxxxn-1xnx=(x-x) c a bc a b标准相抵型æI0ö0c aPAQ=ç ÷è0 0ø同型等秩相抵重要公式：AB=AB A* =An-1 A-1 =A-1 Ak =AkCramer法则：xj =Dj /D第2章矩阵2.1 基本概念奇异矩阵，非奇异矩阵，零矩阵，同型矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，对角块矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵3.3 齐次方程组Ax=0判定：有非零解r(A)<n解的结构：有n-r个基础解系。对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，每个非零行中第一个非零系数所在列代表的未知数是基本未知量（有r个），剩余的是自由未知量，对自由未知量按阶梯形赋值后，再代入求解就可以得到基础解系。3.4 非齐次方程组Ax