线性规划问题的新思路

1、线性规划问题的新思路本文以2014 年高考数学广东卷一道线性规划试题为反思载体，说明线性规划问题有不下四种求解途径1常规解法的呈现作为不等式的应用，中学教材必修5介绍了线性规划问题，这不仅体现了数学建模与优化思想，而且参透了数形结合的思想，函数与方程的思想等又由于线性规划与不等式、方程、函数等知识直接联系，而且还可以延伸到解析几何、向量、数列、概率等众多知识模块中去，这正好成为新课程高考命题“在知识网络交汇处设计试题，促进学科知识的交融和渗透”的切入口与求新点因此，在各地的高考试题中，线性规划问题几乎成了“必考”的热点下面是2014 年全国高考数学广东卷一道常规线性规划试题例1 （2014 年

2、高考数学广东卷（理科）第3题）若变量满足约束条件 且的最大值和最小值分别为和，则（A）8 （B）7 （C）6 （D）5讲解 本题来源于教材的练习（见文1 第91页）：求的最大值，使满足约束条件 新的高考题在保留题目数式与整体结构的同时，增加了两步运算：求最小值，求最大值与最小值的差这主要表现为运算量的增加，思维强度与课本大体持平，应该属于简单题解法1 根据约束条件作出可行域如 图1中的阴影，然后平移直线，并观察直线在轴上的截距：当直线通过点时取到最大值，；当直线通过点时取到最小值，； 所以选（C） 图1这个线性规划解法的基本步骤是：步骤1 （由数到形的沟通）将“线性约束条件”（代数不等式组）转

3、化为“可行域”（图形）；还用到了联立方程求边界角顶点的坐标步骤2 （由数到形的沟通）将“目标函数”（代数等式）转化为通过可行域的“直线”步骤3 （数形结合的寻找）在“可行域”内平移“直线”（目标函数），找出“最优解”（通常在边界角顶点达到）可见，这主要是“数形结合”中一个“由数到形”的过程，也是一个“由条件到结论”的综合法过程对这两个基本过程作反思可以导致更多思路的解放2反思导致多思路（1）反思由数式到图形的单向性如所周知，数形结合是“由数到形”与“由形数到”的双流向沟通，当线性规划解法把数式转化为图形的同时，图形也必定会同步反馈出代数信息，因而，“线性规划问题”的图形解法，通常都会有相对应的

4、代数解法表现为不等式的放大缩小事实上，“当直线通过点时取到最大值”就等于告诉我们，取到最大值在不等式的公共端点处取到，把表示为，则的最大值就可以通过不等式的放大而求得同样，“当直线通过点时取到最小值”就等于告诉我们，取到最小值在不等式的公共端点处取到，把表示为，则的最小值就可以通过不等式的缩小而求得把几何信息还原回代数信息，有解法2 由待定系数法可得 在中取，由约束条件及，有，当时取到最大值，；在中取，由约束条件及，有，当时取到最小值，；所以选（C）这个解法的基本步骤是：步骤1 将“目标函数”表示为“约束条件”的相应不等式（通常用待定系数法）步骤2 将相应不等式放缩为常数；步骤3 验证常数可以

5、取到，找出“最优解”可见，这个解法无非是在定义域内（代数不等式组）求二元函数的值域（当然，中学教材不出现二元函数），这只不过是代数题的本义我们认为，对“数形结合”只说“由数到形”会给学生造成单流向的误解，选择时机补上对应的“代数解法”有助于学生获得完整的“数形结合”认识、形成优化的认知结构 （2）反思由条件到结论的单一性如所周知，解题方法既有综合法（由因索果）又有分析法（执果索因），只要有可能，都应该提供综合与分析的双向沟通在线性规划问题上，如果我们着眼于“执果索因”，那么目标函数就会向我们呈现两个前景：其一是“数形结合”的，即把转化为向量的数量积，然后在“可行域”上找数量积的最值（参见解法3

6、）；其二是纯代数的，即把改写为参数式代入的约束条件得关于的不等式（组），由此可以确定的范围，进而求出的最值（参见解法4）解法3 作向量，记向量的夹角为（），则向量在向量上的投影为由于，所以，求的最值只需计算动向量在定向量上投影的最值根据约束条件作出可行域如图2中的阴影，在可行域上旋转动向量，可见：当位于处时投影取到最大值， 当位于处时投影取到最小值，所以选（C） 图2这个的解法基本步骤是：步骤1 （由数到形的沟通）将“线性约束条件”（代数不等式组）转化为“可行域”（图形）；还用到了联立方程求边界角顶点的坐标步骤2 将“目标函数”（代数等式）转化为“两向量的数量积” 步骤3 （数形结合的寻找）在

7、“可行域”内找动向量在定向量上投影的最值，从而得出的最值可见，这个解法与解法1中“数形结合”的基本过程是一样的，不同在于第2步把直线变为了数量积，从而第3步把直线的平移变为了动向量的旋转解法4 把化为代入约束条件（消去），有 得 由、有， 可解得，计及得 把代入（或、）分别有，当时，；，当时，所以选（C）这个的解法基本步骤是：步骤1 将“目标函数”改写为参数式 步骤2 代入“约束条件”（消去）得关于的不等式步骤3 确定的范围，进而求出的最值 可见，这个解法与解法2一样，都是用代数方法求二元函数的值域，不同在于解法2用定义域的数式来表示函数，直接对二元变量进行放缩，而解法4却把函数式代入定义域的数式中去，消元后对一元变量进行放缩，与此相适应，解法2用了待定系数法，解法4用了参数方程以上，呈现了线性规划问题的四个思路，它