




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、解读高斯正十七边形的作法(上)E-mail: QQ: 541601368一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.301855.2.23),德国数学家、物理学家、天文学家。 有一天,年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿,终于将结果算出来了。可是万万没想到,他身边传来幼嫩的童音说:“爸爸,你算错了,总数应该是”父亲感到很惊异,赶忙再算一遍,结果证实高斯的答案是对的。这时高斯只有3岁! 高斯上小学了,教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人,他讲课时从不考虑学生的接受能力,有时还用鞭子惩罚学生。
2、有一天,布德勒让全班学生计算 1+2+3+4+5+98+99+100?的总和,并且威胁说:“谁算不出来,就不准回家吃饭!”布德勒说完,就坐在一旁独自看起小说来,因为他认为,做这样一道题目是需要些时间的。小朋友们开始计算:“1 + 2 3,3+36,6+410,”数越来越大,计算越来越困难。但是不久,高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。高斯说:“老师,我做完了,你看对不对?“做完了?这么快就做完了?肯定是胡乱做的!”布德勒连头都没抬,挥挥手说:“错了,错了!回去再算!”高斯站着不走,把小石板往前伸了伸说:“我这个答案是对的。”布德勒抬头一看,大吃一惊。小石板上写着 5050,一点也没有错
3、!高斯的算法是(1100)(299)(398)(992)(1001)101101101101101101×10010100,10100÷25050。高斯并不知道,他用的这种方法,其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法,那时他才八岁! 1796年的一天,德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭,开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一张小纸条上:要求只用圆规和没有刻度的直尺,作出一个正十七边形。这道题把他难住了所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展。他绞尽脑汁,尝
4、试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时,他终于解决了这道难题。当他把作业交给导师时,感到很惭愧。他对导师说:“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,”导师看完作业后,激动地对他说:“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米得没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才!”原来,导师也一直想解开这道难题。那天,他是因为拿错了,才将写有这道题目的纸条交给了学生。在这件事情发生后,高斯曾回忆说:“如果有人告诉我,那是一道千古难题,我可能永远也没有信心将它解出来。” 1796年3月30日,当高斯差一个月满十九岁时,在期刊上发表关于正十七边形
5、作图的问题。他显然以此为自豪,还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形,而刻着一颗十七角星,原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为:“正十七边形和圆太像了,刻出来之后,每个人都会误以为是一个圆。”1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。上面刻着:“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”,自那之后,高斯就以“数学王子”着称于世。二、高斯正十七边形尺规作图的思路(纯三角法)作正十七边形的关键是作出cos,为此要建立求解cos的方程。设正17边形中心角为,则
6、172,即162 故sin16sin ,而 sin162sin8 cos84sin4 cos4 cos88 sin2 cos2 cos4 cos816 sin cos cos2 cos4 cos8 因sin 0,两边除以sin,有 16cos cos2 cos4 cos81由积化和差公式,得4(coscos3)(cos4cos12)1展开,得4(cos cos4cos cos12cos3 cos4cos3 cos12)1再由积化和差公式,得2(cos3cos5)(cos11cos13)(coscos7)(cos9cos15)1注意到 cos11cos6,cos13cos4,cos9cos8,c
7、os15cos2,有 2(coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)1设 a2(cos+ cos2+cos4+ cos8),b2(cos3+ cos5+cos6+ cos7),则 ab1,又ab2(coscos2cos4cos8)·2(cos3cos5cos6cos7)4cos(cos3cos5cos6cos7)4cos2(cos3cos5cos6cos7)4cos4(cos3cos5cos6cos7)4cos8(cos3cos5cos6cos7), 再展开之后共16项,对这16项的每一项应用积化和差公式,可得: ab2 (cos2cos4)(cos4cos6)
8、(cos5cos7)(cos6cos8)(coscos5)(cos3cos7)(cos4cos8)(cos5cos9)(coscos7)(coscos9)(cos2cos10)(cos3cos11)(cos5cos11)(cos3cos13)(cos2cos14)(coscos15),注意到cos9cos8,cos10cos7, cos11cos6,cos13cos4,cos14cos3,cos15cos2,有 ab2×4(coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)4。因为coscos2cos8(coscos)cos2coscoscos2cos(cos)又 0
9、< < < 所以cos> 即coscos2cos8 > 0又因为 cos4cos> 0所以 acoscos2cos4cos8 > 0又 ab-4< 0所以有a > 0, b< 0可解得 a,b。再设c2(coscos4),d2(cos2cos8),则c+da cd2(cos+ cos4)·2(cos2+ cos8)4 (coscos2coscos8cos4cos2cos4cos8)2 (coscos3)(cos7cos9)(cos2cos6)(cos4cos12)注意到cos9cos8, cos12cos5,有cd2(cos
10、cos3)(cos7cos8)(cos2cos6)(cos4cos5)2( coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)-1。因为 0 < < 2 < 4 < 8 < 所以 cos > cos2,cos4 > cos8两式相加得 coscos4> cos2cos8或2(coscos4)> 2(cos2cos8)即 c > d,又 cd-1 < 0所以有c > 0, d < 0可解得c, d 。类似地,设e2(cos3cos5),f2(cos6cos7)则e+fb,ef2(cos3cos5)
11、3;2(cos6cos7)4(cos3cos6cos3cos7cos5cos6cos5cos7)2 (cos3cos9)(cos4cos10)(coscos11)(cos2cos12),注意到cos9cos8,cos10cos7, cos11cos6,cos12cos5,有ef2(cos3cos8)(cos4cos7)(coscos6)(cos2cos5)2( coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)-1。因为 0 < 3 < 5 < 6 < 7 < 所以有 cos3 > cos6,cos5 > cos7两式相加得cos3cos5> cos6cos72(cos3cos5)> 2(cos6cos7)即 e > f,又 ef-1 < 0所以有 e > 0, f < 0 可解得
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 自我成长目标承诺书7篇
- 2025年宠物行业《合规管理体系建设及数据安全法合规操作指南》专项考核试卷
- 难点解析-人教版八年级物理上册第5章透镜及其应用-5.5显微镜和望远镜专项攻克试题(含解析)
- 2025年科技行业人工智能伦理认证算法公平就业机会分配伦理考核试卷
- 2025年互联网与信息技术岗位晋升考试数字人交互设计与应用数字人金融咨询用户研究考核试卷
- 煤层气开发储层孔隙结构特征与评价考核试卷
- 以“单位”为纲统整教学用“一致”贯通数算本质 -以“计数单位”为例
- 考点解析人教版八年级物理上册第6章质量与密度-密度单元测试试卷(含答案解析)
- 解析卷-人教版八年级物理上册第6章质量与密度-密度定向训练练习题
- 学校安全网格化管理工作实施方案(2025修订版)
- 牛津英语8B八年级下册全册教学设计
- 创意线描课课件
- 《水土保持工程施工监理规范》
- 《高中数学圆锥曲线基础与应用教学案例》
- 腱鞘炎病人的护理常规
- 意大利地理知识
- 竞聘医药经理述职报告
- 2025年四川里伍铜业股份有限公司招聘笔试参考题库含答案解析
- 《有机氟化工生产过程副产氢氟酸》
- 2023年北京地铁综控员题库第一册
- 化工厂装置知识培训课件
评论
0/150
提交评论