2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学(理)试题Word版

1、1江苏省无锡市江阴四校 2018-2019 学年第二学期高二期中考试数学试题(理科)一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.计算：c-AI的值为 .1 +4i2.已知复数z二- ，其中i为虚数单位，则复数z的实部是 1-i3.已知C14二 G?，则 x= 4.已知复数z =(1 i)(1 - 2i)，其中i为虚数单位，则z的模是 5.用反证法证明“a，bN, ab可被 5 整除，那么a，b中至少有一个能被 5 整除”时，应假设_ .6.用数学归纳法证明“2n. n21对于n _no的自然数都成立”时，第一步中的值n。应取.7.甲、乙两

2、人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有 种.8.233-1 除以 9 的余数为.9.若(2X、3)4=a。+a1x+a?x+a3X，贝U (a。+a2+a4)(a1+a3)的值为 .1 3115111710. 已知不等式1，1，1，照此规律总结出第n(nN”)4 24 9 34 9 16 4个不等式为_ ._11. 在平面几何中，ABC的.C内角平分线CE分AB所成线段的比AE:EB = AC:BC(如图所示)，把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A-CD -B且与AB相交于点E，则得到的结论是.212.如图为我

3、国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图,现在提供 5 种颜色给其中5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为 _ 得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列:af，则a?019 =.1113.把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,2 3 45 6 7 8 9HG1112 13 14 IE 1617 L8 1920 21 22 23242526 27 282930 3132 33343536 I i2 45 7910 12 14 1617 19 21

4、23 2526 28 30 32 34 36+*Ea囲甲圉乙14.三角形的周长为31，三边a，b,c均为整数，且a乞b辽c，则满足条件的三元数组（a, b, c）的个数为_ .二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 14 分）2 2 .已知复数z=（mw；）i（m m）i（mR,i 是虚数单位）是纯虚数.（1） 求m的值;（2）若复数w，满足|w-z| = 1，求| w |的最大值.3416.(本小题满分 14 分)(1)设a _ b 0，求证：2a- b_ 2ab2- a2b；1 1 2(2) 已知

5、非零实数a, b, c是公差不为零的等差数列，求证：1丄二上.a c b17.(本小题满分 14 分)从 8 名运动员中选 4 人参加 4X100 米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法?(1 )甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；5(4) 甲不在第一棒618.(本小题满分 16 分)(1) 求 n 的值;(2)求展开式中 x6的项；(3)求展开式中系数最大的项的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.已知在719.（本小题满分 16 分）已知等差数列 & *的公差d大于 0,且a2,

6、a5是方程x2-12x 27 = 0的两根，数列b 的前n项和为Tn，且Tn = 1-丄 g2求数列an二b 1的通项公式；1设数列Q的前n项和为Sn,试比较一与Sn i的大小，并用数学归纳法给予证明.bn820.(本小题满分 16 分)n*已知fn(x) = (1 x) ,(x = 0 且 x北-1, n N ).(1) 设g(x)二f3(x) f4(x) III f10(x)，求g(x)中含x3项的系数;(2) 化简:2C：+3C；+4C；+|H + (n+1)C：;(3) 证明：cm七霭卅七七+川+nc：=匹呼1cm：m+22018-2019 学年第二学期高二期中考试9ur in2) +

7、(T?r+ rn)iiTi(m2m-2) + (ma4- m)t(l-t)(175+小是纯虚数.ur1 = 0nr+1 / 0_1,计算得出巾=1由(1)可以知道：、填空:1. 152.3. 46. 57. 308.11AES曲CDEB S店CD二、解答题:数学试题(理科)答案79. 110.4.105.13212. 42013. 397414. 24a,b都不能被 5 整除11 2n 1n2(n -1)2n 115.解:复数10|tr-2r| 1 Ay? I (62)2= 1+|w| = V a- + = Jl-(b2尸 + 胪=4方一3可以知道：, . 的最大值为3.14 分注：法二：用复

8、数的几何意义16.(1) 由(2a3-b3) -(2ab2-a2b) =2a(a2-b2) b(a2-b2) =(2a b)(a b)(a-b)4 分因为a _b 0所以2a b 0,a b 0,a -b _ 0所以2a3-b3_2ab2-a2b.7 分112I5-(2)(反证法)假设 Q ub ,贝 y 占c += 2ac .而.由，得(口 +匸)7处，即于是-，这与非零实数- 成公差不为零的等差数列矛盾，1 12+ 世一故假设不成立，原命题结论成立，即成立. . 14 分17.解：(1) 60. 3 分(2) 480. 6 分(3) 180. 10 分1118a2+a5= 12,19.解（

9、1）由已知得a2a5= 27.因为an的公差大于 0，所以a5a2，所以a2= 3,a5= 9.a5 a29 3所以d=33 = 2,a1= 1，即an= 2n 1.因为Tn= 1 2bn，所以b1= |.（4）147014 分解；(I)( 护+? )”展幵式各项系数的和比它的二项式系数的和大992 ”二42”二992 ,解得2“二32r/.n=5 ； ( 4分)(II ) ( p+3x2)展开式的通项公式为： .l r尸10+4r；()f咛乂严于7十 二C.l0+4r上W 一-6 t3解得厂二2 ；展开式中J的项为： 心二二90丿；(100 分分)(III)设第尸+1项的系数为r则“+1二所

10、以产二4；展开式耒数最大项为：26 26r5C34x3-= 4O5X3 .（16分）121当nA2 时，Tn1= 1 ?bn1,131 1=12bn12bn-1,化简得bn= 1bn-1,即bn= 33n1= 3332xn=n,1F 面比较-与 $+1 的大小:n= 2 时,12711=，S= 16,所以 vS,猜想：n4 时， S+1.bnF 面用数学归纳法证明:当n= 4 时，已证.k+1k那么，L =牙=3-3(k+ 1)2= 3k2+ 6k+ 3=(k2+ 4k+ 4) + 2k2+ 2k 1k2+4k+ 4 =(k+ 1) +12=Sk+1)+114 分1所以当n=k+ 1 时，二S

11、+1也成立.bn所以6是首项为23,公比为 3 的等比数列,n= 1 时,1 3b= 2,n= 4 时,1 81 1沪云S=25,所以訐假设当n=k(k N*,k4)时，2S+1,32即-(k+1),10 分所以bn=TiTn-1所以2an= 2n 1,bn=十所以2S+1= (n+ 1),n= 3 时,bk+1141由可知，对任何 n N*, n4, -S+1都成立.bn当n4 时，1S1+1.bn20. 解：( 1) 由g(x) =(1 x)3(1 x)4川(1 X)10所以g(x)中含x3项的系数为：C；C43C|dll C10二 CCC；川 C30=C：1=330.3分nfn(X)=(1 X)n八 C：Xkk =0n两边求导得 n(1 x)nJ- kCkxk壬n令x=1得到 n 2 心八 kckk二又 cn+C：+III+C：=2n-1.2C：3C；4C；III (n 1)C：= n 22n-1.10 分(如采用组合恒等式证明相应给分)综上所述，当n= 1,2,3 时，S+i,15 分16 分(2)通项为(k 1)C：=kC：C：15(3)ft (i) = (1 + xf # 2(1 1- xf+，+ + n(l +Cl?则隔数丹中含肝项的系数为邙宀昭jWa . .13分因为(l+x)ft(i) = (l + X)* +2(1 +汀皿 + - +(!+x