自动控制理论课件ch6

1、第二章2-1 控制系统的时域数学模型2- 传递函数2-控制系统的结构图（方块图）与信号流图第二章 控制系统的数学模型教学目的：掌握系统数学模型的基本概念和意义，对系统的讨论从定性到定量，建立起系统中各组成部分的数学模型：传递函数，要求灵活掌握传递函数的本质，掌握系统方块图化简方法，熟练掌握用Mason公式化简系统的传递函数自动控制系统的基本概念和本门课程的基本内容。主要内容：一、控制系统的时域数学模型；二、控制系统的复域数学模型、 传递函数定义与性质；、 传递函数的表示形式；、 典型环节传递函数；三、 控制系统的结构图与信号流图重点：准确掌握传递函数的概念，以及怎样由一个系统的方框图求系统的闭

2、环传递函数。典型环节的传递函数实验帮助学生对系统中经常遇见的环节的传递函数以及在典型信号输入下环节的输出，以及这些环节在系统中的主要作用有一个清楚得了解。难点: 准确理解系统中开环传函和闭环传函的概念；由结构图画信号流图的方法及MASON公式的应用。讲授方法与技巧:注意由实际控制系统过渡到物理系统;讲授到课程的连续性与延续性。注意培养学生的自动化思维模式，培养学生如何将工程问题用数学的思维方式表达出来。说明：在介绍控制系统的数学模型之前：交待几个以下概念：数学模型、动态特性、动态数学模型、以往的课程如大学物理、电路、电子中的模型是什么概念，在这儿又是什么概念，使学生对知识的认识有个连续性。但是

3、最终还是要建立起控制中数学模型的概念。2-1 控制系统的时域数学模型无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。一、基本概念1、系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。1)动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。2)静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数2、建立动态模型的方法1)机理分析法：用定律定理建立动态模型。2)实验法：运用实验数据提供的信息，

4、采用辨识方法建模。3、建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。二、列写系统或元件微分方程的一般步骤：1、根元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量与输出量。2、分析元件工作中所各种规律，从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件微分方程。3、消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程，并将其化为标准形式。三、举例例2-1：如图2-1所示机械位移系统，以力F为输入变量，以x为输出变量，列出系统运动方程。解: (1) 定义输入输出量:忽略如果系数的物理意义，则两级电路和机械位移系统的数学模型具有相同的形式，这种系统叫做

5、相似系统。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系外作用力F -输入量, 位移 x -输出量 (2) 列写微分方程根据牛顿定律: F + F弹 +F阻 = mam又 F弹 = -kxF阻 = -fF kx - f = ma (3)消去中间变量图2-1机械位移系统考虑a = ，则得F kx - f = m即例2-2如图2-2所示电阻、电容和电感的串联网络，其中Ui为输入电压，Uo为输出，建立两者关系的微分方程。步骤略：图2-2 RLC电路复习直流电机三大公式：电学公式、机械公式、机电耦合公式例2-3图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速m

6、（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。解：电枢回路电压平衡方程：Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即Ea=Cem（t）Ce反电势系数（v/rad/s）电磁转距方程： Mm(t)=Cmia(t) Cm-电动机转距系数（NM/A）是电动机转距系数。Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距（NM）电动机轴上的转距平衡方程：Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgmfm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘

7、性摩擦系数（Nm/rad/s）在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而上式可简化为电动机机电时间常数（s）最终的简化公式说明：小电机可做测速发电机用电动机传递系数如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时，还可进一步简化为四、非线性运动方程的线性化注意事项1.必须明确平衡工作点的参数值。2.运动方程只能适用于偏差信号为微量的情况。3.小偏差线性化的使用条件：(1)在工作点附近信号变化为微量；(2)在工作点附近能展开成台劳级数。4.本质非线性不能应用小偏差线性化。例如、继电器特性。具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性

8、用一段直线来代替。（分段定常系统）一个变量的非线性函数 y=f(x)在x0处连续可微，则可将它在该点附近用台劳级数展开增量较小时略去其高次幂项，则有y k x y=kx 比例系数，函数在x0点切线的斜率两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用泰勒级数展开为略去二级以上导数项，并令yy-f(x10,x20)x1=x-x10x2=x-x20这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。小偏差线性化的实质是：在系统工作点附近，利用台劳级数展开，忽略高次项的方法。其几何意义是：在预期工作点附近，用通过该

9、点的切线近似代替原来的曲线。2- 传递函数补充的内容：电路的运算分析法拉普拉斯变换分析法一、数学工具拉普拉斯变换与反变换拉氏变换定义设函数f(t)满足t0时，f(t)分段连续则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作拉氏变换基本定理线性定理位移定理延迟定理终值定理初值定理初始条件均为零时的微分性质又是什么呢?微分定理推广积分定理拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式：a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为c.F(s)含有多重极点时，可展开为复习：复变函数中的留数定理其余各个极点的留数确定方法与上同。注意复习:常用拉氏变换对:在附录里二、传递函数1、传递函数

10、定义传递函数是用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。准确理解传递函数的概念微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化的分析是较麻烦的。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数。定义：线性定常系统的传递函数，为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：系数是与系统本身有关的量，与输入输出无关式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是

11、的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为：式中例2-4 R、L、C串联电路的微分方程 L R ui(t) i(t) C uo(t)解: LC + RC + uo(t) = ui (t)则 G(s) = 利用复阻抗,令 Z1 = R + Ls , Z2 = 1/Cs ,则 G(s) = 例2-5 求例2-2机械平移系统的传递函数。解：1、根据牛顿第二定律得：2、对上式两端取拉氏变换，得若初始条件为零，得3、求输出量的拉氏变换Y（S）与输入量的拉氏变换F（S）之比，即2、传递函数的性质性质

12、1:传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。准确理解，才能灵活性应用性质2:G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质3: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。性质4:如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质5:如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。性质6:传递函数与微分方程之间有关系。，如果将置换性质7 传

13、递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。，3.传递函数的几种表示形式（常用形式）(1) G(s)为真有理分式（一般表示形式）理解这三种表示方法，所适用的场合，与它们之间的联系G(s) = (nm)根增益系数均为实数。分母的阶数n称为G(s)的阶次, 也称为系统的阶次(2) G(s)的零、极点表示 G(s) = zj(j=1,2,m),零点，pi(i=1,2,n), 极点，K1 = b0 , 传递系数(3) G(s)的时间常数表示（典型环节表示形式）开环增益 G(s) = 这一块儿与实验相对应：理解在实验室里如何实现这些典型环

14、节 Ti ,j ,时间常数4、典型环节的传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：1 比例环节式中 K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2 惯性环节做实验时注意实验室是如何实现这些环节的，特别要注意微分环节的实现形式,为什么要这样实现？式中 T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3 微分环节理想微分一阶微分二阶微分特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例

15、：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。4 积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。5 振荡环节课后练习:利用MATALB中的SIMULINK进行典型环节实现,分析这些典型环节的阶跃响应曲线。式中阻尼比-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。在时间常数较小的情况下也做惯性环节处理6 纯时间延时环节思考：为什么我们这么重视阶跃响应呢？式中延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但

16、须延迟一个固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。2-控制系统的结构图（方块图）与信号流图注意：（1）比较点相加减的量，必须具有相同的量纲。（2）分支点同一位置引出的信号大小和性质完全一样控制系统的结构图和信号流图都是描述系统各元件之间信号传递关系的数学图形，它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算，是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。一、结构图1、系统结构图的组成控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含四种基本单元。（1） 方框:表示输入到输出单向传输间的函数关系。（2） 信号线：带有箭头的直

17、线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（3） 比较点：两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。（4） 分支点：表示信号测量或引出的位置2、系统结构图的绘制（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的结构图。系统方块图-也是系统数学模型的一种。例2-6 画出下列RC电路的方块图。解：由图2-12，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：图2-4 一阶RC网络对其进行拉氏变换得：由（1）和（2）分别得到图（

18、b）和(c)。将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。例2-7 画出下列R-C网络的方块图。解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。图2-5 二阶RC网络根据公式(1)(4)，分别画出对应的方块图，如图(c)中虚线框所示。由图清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压产生影响，这就是负载效应。3、结构图的等效变换与简化Y(s)G1(s)Gi(s)1）串联环节等效传递函数的求取

19、X(s)2、同向并联环节等效传递函数的求取Gi(s)G1(s)3、反馈回路的传递函数的求取强调：反馈回路等效是重点。如图2-7，设则，反馈回路的传递函数可写为4、比较点和分支点的移动此处见课本表2-1注意：前后是按信号的流向定，信号由前流向后注意：此处，前后是按信号的流向定，信号由前流向后。相临信号比较点与比较点可以互换位置，分支点与分支点可以互换位置注意：比较点与分支点之间一般不交换位置。例2-9 用方块图的等效法则，求图2-6所示系统的传递函数C(s)/R(s)。图2-6 多回路系统方块图解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换

20、公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。 串联和并联 反馈公式 反馈公式例2-10 将系统方块图简化。分支点A后移（放大-缩小），比较点B前移（放大-缩小）。比较点1和2交换。图2-7 方块图的简化过程二、信号流图方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。1信号流图的术语图2-8 信号流图如图所示的信号流图，需要介绍以下几个概念：输入节

21、点；输出节点（阱，坑）；如图中的；混合节点；前向通路；前向通路总增益；回路；回路增益；不接触回路等等信号流图的性质 信号流图适用于线性系统。 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。2信号流图的绘制 由微分方程绘制方程，这与画方块图差不多。由系统方块图绘制。例2-11 图2-9所示系统方块图的信号流图。图2-9系统方

22、块图解：用小圆圈表示各变量对应的节点在比较点之后的引出点，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的。3 梅森公式式中 系统总增益（总传递函数） 前向通路数：第k条前向通路总增益 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是，变化的只是其分子。其中：所有不同回路增益乘积之和；所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；所有任意m个不接触回路增益乘积之和。 为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的值，称为第k条前向通

23、路特征式的余因子。例2-12 求图2-10（a）所示信号流图的总增益特别注意：回路间是否相互接触图2-10 信号流图例2-13 利用梅森公式求图2-24所示系统的闭环传递函数。图2-24 某系统的信号流图解：前向通路有3个4个单独回路互不接触例2-14 系统的方块图如2-25所示，试画出信号流图，并用梅森公式求系统的传递函数。图2-11 系统的方框图只有一个前向通路有三个独立回路没有两个及两个以上的互相独立回路三、闭环系统的传递函数控制系统方框图的一般形式如上图所示。图中R(s)为控制信号的拉氏变换式,F(s)为扰动信号的拉氏变换式，C(s)为被控制信号的拉氏变换式，(s)为偏差信号的拉氏变换

24、式，G1(s)和G2(s)前向通道的传递函数，H(s)为反馈通道的传递函数。G1(s)、G2(s)、H(s)为已知。1、系统的开环传递函数若f(t)=0，则系统反馈信号的拉氏变换Y(s)与系统偏差信号(s)之比，称为开环系统的传递函数。据上述定义，假想系统从反馈端断开，使系统变成开环状态，此时，按传递函数的相乘性，有据开环传递函数的定义，得结论：开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数的乘积。2、系统被控制信号c(t)对控制信号r(t)的闭环传递函数若 f(t)=0，则系统的被控制信号的拉氏变换C(s)与控制信号的拉氏变换R(s)之比，称之为被控制信号c(t)对于控制信号r(t)

25、的闭环传递函数，记作r(s)，即设，由图2-8得将（3）代入（1）得将（4）代入（2）得整理得即对于单位反馈系统有3、被控制信号对于干扰信号的闭环传递函数若 r(t)=0，则系统的被控制信号的拉氏变换C(s)与干扰信号的拉拉书变换F(s)之比，称为被控信号c(t)对于干扰信号f(t)的传递函数，记作f(s)，即此情况下，一般环节结构如图所示由结构图，得(2)代入(3),有(6)代入(3)，有(1)、(7)代入(5)，有即：结论：被控制信号对干扰信号的闭环传递函数，其分子等于干扰信号到输出信号之间的传递函数，其分母等于1加上开环传递函数。若时，即控制信号和干扰信号同时作用于系统时，由叠加原理得到控制信号r(t)和干扰信号f(t)同时作用下的总的传递函数，即4、偏差信号(t)对于控制信号r(t)的闭环传递函数若f(t)=0，则偏差信号的拉氏变换(s)与控制信号的拉氏变换R(s)之比，称为偏差信号对控制信号的闭环传递函数，记为，即再图2-8中，令 ,则有将(2)代入(1)整理得结论：在负反馈系统中，偏差信号对于控制信号的闭环传递函数为1加开环传递函数的倒数。5、偏差信号(t)对于干扰信号f(t)的闭环传递函数若R(s)=0，则偏差信号的拉氏变换(s)与干扰信号的拉氏变换F(s)之比，称之为偏差信号(t)对于干扰信号f(t)