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考研数学矩阵的8大秩及其证明2009 证明：根据矩阵秩的定义直接得出。 证明：对矩阵任意添加列后变成矩阵，则秩显然不小于，即： 同理： 因而：成立。又设 ，把分别做列变换化成列阶梯形 用分别表示非全零列，则有：由于初等变换后互为等价矩阵，故而矩阵只含有个非全零列，所以：。综合上述得：特别地：如为列向量，则。如，设， 则 证明： 证明： 设 设 则的标准型为，的标准型为 存在可逆矩阵使： 证明：设，则 证明：分三种情况 （1），满秩、可逆，可逆， （2），说明中至少有一个元素的代数余子式不为零，即存在 又，不可逆，则（3）时，由矩阵秩的定义知，得所有阶子式为零 评 注 如，则。 证明：考察下列两个齐次方程组 显然，（2）的解全部是方程（1）解，因此，（2）的基础解系包含于（1）的基础解系，即 另一方面因此，（1）的基础解系包含于（2）的基础解系，即而 证明：设，则： 评 注 下面3个关于秩的公式也常常使用。

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