七数培优竞赛讲座第4讲数轴――数与形的第一次碰撞

1、第四讲 数轴一与形的第一次碰撞为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型， 如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型.数轴 的建立，赋予了抽彖的代数概念以直观表象.数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就己试图把它们统一起 来.数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来 处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想一一数形结合思想.利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的 桥梁，主要体现在：1. 运用数轴直观地表示有理数；2. 运用

2、数轴形象地解释相反数；3. 运用数轴准确地比较有理数的大小；4. 运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题.例题【例1】数轴上有A、E两点，如果点A对应的数是一 2,且A、E两点的距离为3, 那么点D对应的数是 （江苏省竞赛题）在数轴上，点A、E分别表示一丄和丄，则线段AB的中点所表示的数 35是.（江苏省竞赛题）思路点拨（1）确定E点的位置：（2）在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示 的数与所选两点所表示的数的联系.【例2】如图，在数轴上有六个点，且AB=EC=CD=DE=EF,则与点C所表示的数最接 近的整数是（）.4 Q go g $-5'* *'1*1 *B. 0

3、C. 1D. 2（第12届“希望杯”谴请赛试题）思路点拨利用数轴提供的信息，求出AF的长度.【例3】比较q与丄的大小.a思路点拨 因为Q表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现彖，若把各个范围在 数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由0 =丄、丄无意 a a 义得出67 = 1,-1,0,据此3个数把数轴分为6个部分.【例4】（1）阅读下面材料并回答问题.28.（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A、B两点之间的距离表示为I AB I .当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1, I AB I = I OB I = I b I

4、二 I ab I 当A、B两点都不在原点时， 如图2,点A、B都在原点的右边丨AB I =丨0B丨一 I 0A丨=I b I |a| = b- a=|a 一1/51/51/5 如图3,点A、B都在原点的左边，丨AB I = I OB I - I OA I = I b I -|a| = b- a=|a -b|；如图4,点A、B在原点的两边，I AB丨=丨0B丨一丨0A丨=丨b丨一|a|二一 b-(- a) = | a b|:0(A)B0 ABB0b6 abb图1(2)回答下列问题：图2综上，数轴上A、B两点之间的距离|ABk|a-b .40-aO-图3数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表

5、示一2和一5的两点之间的距离是,数轴上表示1和一3的两点之间的距离是； 数轴上表示x和一1的两点A和B之间的距离是，如果丨AB I =2用么x为; 当代数式丨x+1 I十I x-2 I取最小值时，相应的x的取值范围是.(2002年南京市中考题) 注：有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求.从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括:(1) 数轴上堵塞点所表示的数是正负性；(2) 数轴上的点到原点的距离.(1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽彖性，所以在条件允许的范围内赋予宇母 以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”， 但这种方法不

6、能作为解题的规范过程.(2)纯粹的代数的方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多 抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化.(2)试求 I x-1 I 十丨 X2 I + I X3 I + I X1997 I 的最小值. (天津市竞赛题)思路点拨 对于，阅读理解从数轴上看，勺的意义；对于由于x的任意性、 无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数 轴入手，借助(1)的结论解题.【例5】(1)工作流水线上顺次排列5个工作台A、E、C、D、E, 一只工具箱应该放在 何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？(2)

7、 如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具 所走的路程之和最短？(3) 当流水线上有n个工作台时，怎样放置工具箱最适宜？思路点拨 把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决 本例的模型一一数轴，将问题转化为例4的形式求解.学力训练1. 在数轴上表示数Q的点到原点的距离为3,则a-3=2. d、b、c在数轴上的位置如图所示，则丄、厶、丄中最大的是a-b c-b a-c2 / 52 / 52 /5b c 0ba 0 c 1ABC D（第2题）（笫3题）（第4题）3. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，若m = a-b-b-a-c-L-c

8、,则,则1000m=.（ “希望杯”邀请赛试题）4. 如图，工作流程线上A、E、C、D处各有1名工人，且AB=EC=CD=1,现在工作流 程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱的安放位置是_.5. 有理数在数轴上的位置如图，化简a-b-c-b的结果为（）.A. a+c B. -a-2b+c C. a+2b-c D. -a-c（进 騒）c a 0 pY BC T）6. 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、E、C、D对应的数分别 是整数a、b、c、d ,且d 加=10,那么数轴的原点应是（）.A. A点 B. B点 C. C点 D. D点（第15后江苏

9、省竞赛题）7. |x+l| + |x-l| 的最小值是（）.A. 2 B. 0 C. 1 D. 1&数d、b、C、所对应的点A、E、C、D在数轴上的位置如图所示，那么a + c与b + d 的大小关系是（）.A. a+c <b + d B. a+c=b + d C. a+c >b + d D.不确定的（江苏省竞赛题）9. 己知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3.求所有满 足条件的点B与原点O的距离的和.（北京市“迎春杯”竞赛题）10. 己知两数a、b,如果a比b大，试判断问与问的大小.11. 有理数 a、b 满足 a>0, b <0

10、, a < b,用将 a、b、-d、一b 连接起来.12. |x +1| + |x2| + |x3| 的最小值是.13. 已知数轴上表示负有理数加的点是点M,那么在数轴上与点M相距护|个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是.（山东省竞赛题）14. 若& >0, Z? <0,则使|x-67| + |x-Z?| = a-b成立的x取值范围是.（武汉市选拔赛题）15. 如图，A、B、C、D、E为数轴上的五个点.且AB=BC=CD=DE,则图中与P点表示 的数比较接近的一个数是（）.A. 一 1 B. 1 C3 D. 5FA B C D E 丄I _ 打 丿a»

11、59（第15题）3/53/53/5（河南省竞赛题）16. 设y = |x-l| + |x + l|,则下面四个结论中正确的是（）.A. y没有最小值B.只有一个x使y取最小值C.有限个x（不止一个）y取最小值D.有无穷多个x使y取最小值17. 不相等的有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、E、C,若0-曲+ ”一4二0-, 那么点E（）.A.在A、C点右边 B.在A、C点左边C.在A、C点之间 D.以上均有可能18. 试求 2| + |x 4| + |x 6| + + |x 2000| 的最小值.19. 电子跳蚤落在数轴上的某点K。，第一步从K。向左跳1个单位到Ki，第二步由Ki向右 跳2个

12、单位到第三步由&向左跳3个单位到，第四步由K,向右跳4个单位到心 ， 按以上规律跳了 100步时，电子跳蚤落在数轴上的点Kg所表示的数恰是19.94,试水电子 跳蚤的初始位置Ko点所表示的数.20. 如图，在数轴上（未标出原点及单位长度）点A为线段EC的中点，己知点A、E、C 对应的三个数4、b、C之积为负数，这三个数之和与其中一数相等，设p为d、b、C三数 中两数的比值，求p的最大值和最小值.21. 某城镇沿环形路上依次排列有五所小学：A】、2、A3、亠、A5,它们顺次有电脑15台、 7台、11台、3台、14台，为使各校的电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问 怎样调配才能使

13、调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最少总台数.（湖北省荆州市竞赛题）.4 / 54 / 54 /5参考答案a数轴一数与形的第一次碰摘【例题求解】-±+±M 1 (!)-5jfi提示,AB中点所表示的敷足 彳厂2W 2 &C 握示:AF=ll-<-5) = l$,AB=BC=*CD-DE-EF-y-3.2.C点坐标为一5+3.2+12=1.4.W 3提示如田当。<一1时,a<£当"一 1时"召当-IVYO时Q右当XXI时.a<I当 au时.a= |当 a>l 时，a>丄.aaa例 4 (1)(D3.3,

14、4 lx+11,1 或一3 一l<x<2.(2>ft示:从数恤上看，求|jl| + |x-2| + |x-3| + - + |x-19!)7| 的最小丨二值即在数越上找出我示z的点，快它到表示ft 1,2,3-.1997的点的距髙之和丨2 3 999 1995 19961997量小.如图所示当x-999时.原式的(ft锻小，从数轴上看这个量小值为，(1997-1) +(1996-2)+-(1995-3)+ - + (1000-998) + <999-999>= 1996+1994 +1992 + “+2"997002也可桥x=999代入上式子求值.例5提

15、示>(1>1,具箱放在C台上，工具箱放在C.D«台之间(含CQ网点任一处；分”为奇数、偶数两种情况讨论. 【学力训练】I. 0 或一6 2.占 3. -20004.放 B、C(含 B.G之间任一处. 5. A 6. B 7. A 8. A9. 12提示：点A表示的数为3我一3,満足条件的点B共有4个.1«.当点B在原点的右边时,0<6<«,JI|a|>|6|l当点A在原点的左边时,b<a<0,则|a|V2h当点A、B分别在族点的 右、左两侧时.b<0<a,这时无法比较lai与I6t的大小关系；当点A正好在原点位

16、IM ,6<a-0,« |5|> |a|,当点B正好 在(点位* 时.0»*<a.则 lai A 21.II. b<a<a<b.12. 413. 2m 14. gzWa 15. C 16. D 17. C18. 500000 提示：当 1000<x<1002 时，原式有最小值，这个最小值为,< 1002-2) + (1004-4) + + (2000- 1000) = 500000.19. 30.06提示:设Aa点衷示的有理数为x,RJ ki、嚴、»»点所裘示的有理数分别为Xl,xl + 2,x1 + 2 3,x1 + 2-34-499+100，由題意得1 + 2-3+4-99+100=19. 94.*1* x=-30.06.20. 由图知aftc V0.知X0<a<c或b<a<c<Q,即惊点柱点B、A之闾或庄点C右边.又由a、&、c之和与其中之一相等.可知勿网数的和为0.即这两数互为相反数.故原点只徒在点B、A之同且是线&AB的中点.其中a-a<=3«亡=3.于21.性示：如图.用A、B、C、D、E顺时针排列依次表示一至五所小学H顺次向邻校调给劝七工,，斗5 台电他.依題意得7+xi=11 + 去工,=3+工3