考研辅导讲课题

1、考研辅导题（数二）第二章、导数与微分一、导数概念1.一点的导数2.左右导数3.区间上可导函数4.f(x)在可导左右导数存在且相等。例1：例2：设则反过来，若已知f(x)连续且，问例3：设其中在x=a连续，且求例4：设f(x)是偶函数，存在，求。例5：求。二。、导数的几何意义与物理意义1.几何意义：切线斜率。特别，导数为无穷大，对应切线是铅直的。（二元函数偏导数的几何意义是什么?）2.物理意义：变化率。注：隐函数，由参数方程确定的函数的曲线的切线放在相关部分讲。例6：（10年，4分）曲线与相切，则例7：设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为，于是分布在区间上细棒的质量是的函数应怎样

2、确定细棒在点处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫作这细棒的线密度）？例8：（10年，4分）已知一个长方形长以速率增加，宽以速率增加。当时，其对角线增加的速率是_.三、导数计算1.四则运算法则2.反函数求导法则3.复合函数求导法则4.隐函数求导法则，对数求导法5.参数方程表示的函数的求导法则6.抽象函数的求导7.用定义求导例9：用定义求导（1）已知f(x)是上非零函数，对有，且求（2）例10：复合函数求导（1）（2）（3）（4）例11.隐函数求导（1）.由确定，则（ ）。（00-2）（2）（09年，4分）设y=y(x)由方程确定，则（3）（08年，4分）曲线sin(xy)+ln(y

3、-x)=x在(0,1)处的切线方程是_（4）求导（5）例12.参数方程求导（1）（2）证明，满足方程（3）（02数2）已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。注意：曲线的极坐标方程可化为直角坐标下的参数方程。化为参数方程：，例13.抽象函数求导。设 f （u）是二阶可导函数，求下述函数的二阶导数四、高阶导数1.直接法2.间接法3.四则运算法则4.五大公式例14：莱卜尼茨法则例15.间接法（1）（2），求例16.直接法设求。五、微分1.微分的概念2.可微条件3.微分计算微分法则：（1）（2）微分形式的不变性例17.微分概念若函数为可微函数，则（ ） （A）与无关；（

4、B）为的线性函数； （C）当时为的高阶无穷小； （D）与为等价无穷小.例18.微分计算（1）（2），（1）求函数的微分；2)求dy；（3）求函数在x=0点的微分；4）求函数在x=0,Dx=0.1时的微分；5）填空第三章、导数应用一、中值定理1.极值、最值概念2.费马定理及其证明证明：对极小点考虑。，而存在，所以，从而3.三个中值定理的几何解释4.泰勒定理的条件及两个不同的余项表示定理涉及的函数定理条件结论的意义备注Rolle Thf(x)3个条件切线斜率Lagrange Thf(x)2个条件Cauchy Thf(x)和g(x)3个条件分母不为零的条件如何保证Taylor Thf(x)1个条件用

5、多项式近似函数注：中值定理是大范围成立的结论。尤其是泰勒定理，有多种表述方式。定理：设f(x)在区间(a,b)中有直到n+1阶的导数，则对区间中任一点，函数f(x)可以用泰勒多项式来近似，这一近似的误差（余项）是在x与之间-Lagrange余项把区间缩小为的邻域，则可用pieno余项:.由于只在的邻域中讨论问题，这一余项主要用于处理极限问题。例1：泰勒中值定理本身题（1）（03年，4分）的麦克洛林公式中的系数是_(2)把按x-4的幂展开为Lagrange余项的3解泰勒公式。例2.讨论“存在一点”的问题（1）（08,4分）设则的零点个数是A)0 B)1 C)2 D)3.（2）设f(x)在（0,1

6、）上可导，在0,1上连续，f(0)=f(1)=0,求证：至少存在一点，使证明:一般先考虑用罗尔定理。为此要构造函数。令，F(0)=F(1)=0则满足罗尔定理条件，根据，立即得证。（3）设f(x)在0,1上可微，对0,1上每个x,函数f(x)的值都在(0,1)内，且求证：在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.(4)设f(x)在1,2上可微。证明：存在一点，使证明：因为，所以考虑构造函数。但分母去不掉，因此重新考虑用Cauchy定理，令，则。二、极限计算常用结论：例3：（1）（2）（3）（4）三、方程根方程根的问题用零值定理证明存在性，用单调性或洛尔定理证明唯一性。如果要判别根的个数，就要

7、利用函数图形。例：方程的实根的范围与个数解：令，。驻点分别是极小与极大值。f(-1)=3,f(1)=-1.而草图是例4.求证：方程在0,1上有且只有一个实根。证明：令，则f(0)=-1,f(1)=n，根据零值定理，存在根。，在0,1上所以函数单调，因此只能有一个零点。例5讨论方程有几个实根。解：令则驻点x=1对应极大点，例6.使恰有两个不同零点的a应等于A)2 B)4 C)6 D)8.解：，x=1是极大点，x=2是极小点。f(1)=5-a, f(2)=6-a,四、等式与不等式可以用中值定理，单调性，凹凸性，最大最小值，泰勒定理等等一系列手段处理不等式，注意区分。例7.设a>b>0,

8、求证：证明：令例8.求证：证明：令f(x)=xlnx(x>0),则所以，对应曲线是凹的。根据凹函数定义，,所以。例8：求证:当证明：令所以，在0,1上函数是凹函数，驻点x=1/2取最小值f(1/2)=0,既然是最小值就有例9：设求证：。证明：令，则例10.求证：当证明：令则所以，f(x)为常数。因为该常数就是。五、函数性态单调区间与凹凸区间极值与最值，（可导函数与不可导函数的求法有区别）斜渐近线例11.（10,4分）的渐近线方程是_.例12.（07,4分）曲线的渐近线的条数A)0 B)1 C)2 D)3例13.（01,3分）的拐点个数A)0 B)1 C)2 D)3例14.求证：在内单调增

9、加。例14：求方程所确定的函数的极值。解：，解出，得驻点x=0或y=0.把x=0代入方程得y=-1,把y=0代入知不满足方程，因此驻点只有一个：（0,-1）.或者在上再求导，。因此，（0，-1）对应极小。极小值是-1.例15，设(x)的导数在x=a连续，又，则A)x=a是f(x)的极小值点 B) x=a是f(x)的极大值点C)是函数的拐点 D)x=a不是极值点，也不是函数的拐点例16.f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0,，则在x=0处A)不可导 B)可导且 C)取得最大值 D)取得最小值例17.y=f(x)是的一个解，且，则在处A)取得最大值 B)取得最小值 C)某邻域内单调增加

10、D)某邻域内单调减少。六、曲率弧微分：曲率：例18.求在(x,y)处的曲率半径。例19.求y=lnx上曲率最大的点。第四章、一元积分学1.原函数概念2.定积分的牛顿-莱卜尼茨公式3.变上限积分的性质4.广义积分收敛的概念一、原函数，不定积分例1.已知，则例2.已知f(x)的一个原函数是，则例3.则二、定积分的性质例4.（03,4分）设，则三、变上限积分例5.例6.例7.设，则A) F(x)在x=0不连续； B)F(x)在连续但在x=0不可导；B) F(x)在可导且 D)F(x)在可导但不一定有例8.则当时f(x)是g(x)的A)低阶无穷小； B)高阶无穷小； C)等价无穷小； D)同阶但不等价

11、的无穷小。例9.求在区间上的最大值。四、积分计算例10.分部积分（1）（2）（3）（4）例11.换元积分（1）（2）例12.指数函数积分（1）（2）例13.代数函数积分（1）（97,3分）（2）（99,3分）（3）（01,6分）例14.分段函数积分（1）（2）例15.分部积分应用（1） 设，求（2） 求例16.积分证明（1） 设f(x)连续，求证：（2） 设f(x)连续，求证：五、广义积分例17.（1）（97,3分）（2）六、定积分应用1.函数平均值2.用于计算极限例18.求在上的平均值。例19.用定积分定义计算七、定积分的几何与物理应用平面图形的面积，立体体积，旋转体侧面积功，水压力，引力例

12、20.（98,3分）曲线与x轴围成图形的面积=_例21.（03,4分）曲线极坐标方程是，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴围成图形的面积是_.例22.设曲线与x轴，y轴围成区域被曲线分成面积相等的两块，试确定a.例23.若沙的比重是2.为倒满一个半径为r,高h的圆锥形沙堆，要做功多少？例24.半径为r的球沉入水中与水面齐平相切。球比重是1.问把球捞出要做功多少？第五章、多元微分学除了方向导数与几何应用外都要。一 偏导数、全微分1. 初等函数用公式求2. 分段函数用定义求3. 复合函数的导数：三种类型2个记号。（1）（2），全导数（3）2个记号涉及：（1）其中与的区别（2）例1.（04，10

13、分）其中f有连续偏导数，求例2.（09,10分）设，其中f有二阶连续偏导数，求dz及例3.，求dz.例4.设f(u)可微且，则在(1,2)处的全微分例5.已知为某函数的全微分，则a=_A)-1 B)0 C)1 D)2.二、 化简表达式或偏微分方程例6.（01,11分）设u=f(x,y)有二阶连续偏导数且满足，确定a,b使等式在变换之下化简为例7.设其中u(x,y)满足求a使三、 隐函数求导不需要方程组的形式。例8.（07,11分）已知f(u)有二阶导数，而y=y(x)由确定。设求例9.z=z(x,y)由方程确定，求dz.例10.u=f(x,y)有连续偏导数，y=y(x0和z=z(x)分别由和确

14、定，求四、 极限，连续，可导与可微的关系1. 二重极限与二次极限的区别2. 二重极限存在的充要条件是对邻域中任意点P以任意方式趋近时，函数f(P)的极限都相等。（二重极限不存在的充分条件呢？）3.可微的概念。例11.求证：（1）极限不存在。（2）极限不存在。例12.证明：在（0,0）连续，可导但不可微。例13.求证：在（0,0）不连续但可导。五、 极值、最值应用例14.求在直线x+y=6，x轴，y轴围成的闭区域D上的极值与最值。例15.求隐函数的极值。例16.生产某种产品要投入两种要素。是两要素的投入量，Q为产出量。若生产函数为其中常数满足。假设两要素价格分别是。问：当产出量是12时，两要素各

15、投入多少可使总投入费用最少？例17.求在椭圆上最值。第六章、重积分一、重积分性质例1.根据几何意义确定积分值（1）（2）例2.比较积分大小例3.估计积分值二、直接计算重积分例4.轴与曲线围成的区域，a>0,b>0.例5.三、特殊表示例6.设f(x)在（0,1）上连续，并设求例7.在区域D上连续且，求f(x,y).四、交换积分次序或坐标系例8.计算例9.计算例10.换序例11.用极坐标计算五、分段计算例12.（08,11分）例13.（07,11分）求六、 利用对称性例14（06,10分）计算例15.求其中。第七章、常微分方程贝奴里方程不要求。一、 解的结构例1. 设非齐次线性微分方程有两个不同解。C为任意常数，则方程通解是A); B); C); D).例2.（10,4分）设是一阶非齐次线性微分方程的两个特解。若常数使也是方程的解，是对应齐次方程的解，则A); B); C); D)例3.（06,4分）满足的一个微分方程是A) B)C) D)例4.（00,3分）具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是例5.（97,5分）已知是某二阶线性齐次方程三个解，求该方程。例6.（04,4分）微分方程的特解形式是A) B)C) D)二、求解例7.（07。，10分）求微分方程满足初始条件的特解。例8.求解例9.求解。例10. y=y(x)满足计算。二、