三角恒等变换知识总结

1、三角恒等变换知识点总结2014/10/24、基本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下:sin()sin cos cos sin ; cos()cos cos msin sintan(tan tan1 mta n tana tan B )，有时应用该公式比较方便。对其变形：tan a+ tan B =tan( a +B )(1- tan2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：si n2ta n2要熟悉余弦2 2 2 2sin cos . cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin2ta n1 tan2“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次).特别注意公式的三角表达

2、形式，且要善于变形，cos21 cos2 , Sin21 cos2这两个形式常用。2 23. 辅助角公式：sinx cosx 、2sin x ；、3sin x cosx 2sin x 4 6a si nx bcosxb2 sin x .4. 简单的三角恒等变换(1) 变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。(2) 变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。(3) 变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4) 变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5. 常用知识点：(1)基本恒等式：2 sin2sincos1,t

3、an (注意变形使用，尤其 1的灵活应cos用，求函数值时注意角的范围)(2)三角形中的角：A BC ，sinAsin(B C),cosAcos(B C)；r rrr/r r、(3)向量的数量积:agoab cos(a,b)，r rrrrraX1X2y2， abX1X2y20 a/bx2 X2W 0;、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin20ocos40o cos20osin40o 的值等于(42、若 tan 3, tan ，则 tan( )等于()333、若一,则(1 tan )(1 tan )的值是.44、(1 tan1 )(1 tan2 )(1 tan3 )L (1

4、tan44 )(1 tan45 )考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos cos 的值等于（ ）（提示：构造分子分母）5 56 cos20ocos40cos60ocos80o（）3 37、已知 一 A 2 ，且cosA -，那么sin2A等于（）2 5考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换2 18、 已知 tan（ ） - ,tan（）-,则 tan（ ）的值等于（）5444119、 已知 sin sin , cos cos,贝U cos（）值等于（）2310、函数 f（x）cos2（x） sin2（x）1 是（）12 12（A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数（C）周期为 的奇

5、函数（D）周期为 的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：a sinx bcosxa2 b2 sin x .其中cos , a ,sin , b（可以通过b2来判断最大最小值）Ja2 b2Ja2 b2如：1.若方程sin x 73cosx c有实数解，则c的取值范围是2. y 2cosx 3si nx 2的最大值与最小值之和为 .卄27 右 tan（） 一，则 tan .4 5（二）三角函数式的化简与求值心cos15 sin15n . *一匚丄小。、例 1 1.00 ;2.SIn50 （1 3tan10）；cos150 sin 1503. 求 tan 70o tan 5

6、0o “3ta n70ota n50o 值; ABC 不是直角三角形，求证：tanA tanB tanC tanA?tanB?tanC（三）三角函数给值求值问题1.已知 cos(a n + Sin a= ；.3，贝y sin( a+ 7n 的值是5 42. 已知cos( ) ,cos ,均为锐角，求sin 的值。13 5c33.350,cos,sin -3. 4445413，求 sin的值.（四）三角函数给值求角问题1.若sinA= V ,sinB= -10 ,且A,B均为钝角，求A+B的值.5102.已知，(-)，且 tan ,tan是方程x23. 3x 40的两个根，求.3.已知 ，均为锐

7、角，且tan1，tan21，tan51，贝U +的值（8A. n B.n c.nD. 264344.已知tan11,tan,并且 ，均为锐角，求2的值.73（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.（2010 北京）已知函数 f（x） 2cos 2x sin2x.（1）求f （）的值；（2）求f （x）的最大值和最小值. 32.已知函数 f （x） 2sin（x）cos x .（1）求f （x）的最小正周期；（2）求f （x）在区间,上的最大值和最小值；（3）求函数在（，） 6 2的单调区间。三、解题方法分析1.熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出

8、现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正 的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。1 小。3 . n ,2tan13sin 50例 1 设 a cos6si n6,b2 o，co,则有（）2 21 ta n213 2cos 25【点评】：sin cos本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式= sin2 ， cos = sin2 ， cos2sin2cos222si n例如:，迦tan2，1-ta n22 2 212 sin cos (sin cos ),1 cos2 2 cos ,1 cos2 2 sin21 c

9、os2cos2.2 sin1 cos2,tan a + tan B =tan( a + B )(1- tana ta n B )等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为 j b.a2 b2 sin(x)即 asinx+bcosx= . a2 b2 sin(x)(其中 tan )是常用转化手段。a特别是与特殊角有关的sin cosx， sinx 、3cosx，要熟练掌握其变形结论。2.明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口(1)运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化

10、归的思想,应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2.已知 n V B V a V , cos24a B ) =12 , si n (a + B )=-，求 si n2 a 的值.(一1355665(本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点,2 a = ( a B ) + ( a + B)例2解答:例 3.化简：2si n50 +sin10 ( 1 +、,3ta n10 ) 、: sin2 80【解析】：原式=【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为

11、最简：项数尽量少，名称尽量少，次数 尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。(2)运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，禾U用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例 4： 已知 sin ( a + B) = , sin (aB) =3，求 tan( 2) tan的值.3 4tan tan( )【解析】tan( ) tan tan _tan() tan( )(1 tan tan ) _tan2=21tan tan( )tan tan( )t

12、an【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。(3)运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例 5:若 sin sin【解析】：令cos-,求cos cos的取值范围。COs )22cos t，则(sin sin )2 (cos【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子cos cos 看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综

13、合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的 联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。r 厂rr r例 6:已知：向量 a ( - 3, 1) ，b (sin 2x, cos2x)，函数 f (x) a b(1) 若f(x) 0且0 x ，求x的值；X 或12 12(2) 求函数f (x)取得最大值时，向量a与b的夹角.【解析】：f (x) a b = 3sin 2x cos2x(2)2si n(2x -) f (x)max 2，当 f (x) 2 时，由 a b |a | |b | cos a,b

14、 2r r a brr得 cos a,b-r 1, Q 0 a,b a,b 0|a| |b|【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识 的分析和计算能力四、课堂练习sin 165o =(B .仝 C.22.sin 14ocos16o+s in 76ocos74o的值是()A.-D.23.已知 c4x (,0)， cosx25则 tan2xB.247242474.化简2sin(n x) sin(n+x)，其结果是5.A.sin2xB. cos2xC. cos2xD.sin2xsin 3 cos 的值是(12 12A. 0 B、2 C2 sin1226. 1 tan 75的值为2.3tan75A.2、3 B.7 .若 cos-23.，sin52彳，则角的终边一定落在直线)上。A. 7x 24y OB. 7x 24y0C. 24x 7y 0D.24x 7y 08. coscossinsin9.1 tan151 tan1510. tan20otan40 . 3 tan 20 tan40 的值是.11.求证:cos2cot tan 2 2si n2412已知tan 213 求tan的值.13.已知 0 x,sin(x) ,求一cos2x 的值4 413(、cos( x)47 亠 5s