二次方程实根分布

1、二次方程实根分布第一页，共23页。一一.函数零点函数零点一般地，对于函数一般地，对于函数y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0的实数的实数x就做函数就做函数y=f(x)的零点的零点. 由此得出以下三个结论等价：由此得出以下三个结论等价：方程方程f(x)=0有实根有实根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点 第二页，共23页。实根分布问题实根分布问题 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca1、当、当x为全体实数时的根为全体实数时的根2(1)40 bac 当当时时，方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根2(2)40 bac

2、当当时时，方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根2(3)40 bac 当当时时，方方程程没没有有实实数数根根第三页，共23页。 一元二次方程一元二次方程 在某个区间在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题实根分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑四个方面，即实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向）开口方向（2）判别式）判别式（3）对称轴）对称轴（4）端点值）端点值 的符号。的符号。 24bac 2bxa ( )f m2、当、当x在某个范围内的实根分布在某个范围内的实根分布第四页，共23页。221212( )(0)

3、0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 设设一一元元二二次次方方程程的的两两根根为为(1)(k k方方程程两两根根都都小小于于为为常常数数）02( )0bkaf k 第五页，共23页。(2)(k k方方程程两两根根都都大大于于为为常常数数）02( )0bkaf k 第六页，共23页。12(3)(xkxk 为为常常数数）( )0f k 第七页，共23页。112212(4)(,kxxkkk 为为常常数数）121202()0()0bkkaf kf k 第八页，共23页。112212(5)(,xkkxkk 为为常常数数）12()0()0f kf k 第九页，共23页。1212(6),

4、xxkk，有有且且只只有有一一个个根根在在（）内内1k2k1k2k1k2k1k2k12() ()0f kf k 1202bkka 或或1121()022f kkkbka 或或2122()022f kkkbka 或或第十页，共23页。12(7) (, ,mxnpxqm n p q 为为常常数数）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q 第十一页，共23页。(8)方方程程有有两两个个不不相相等等的的正正根根可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x 第十二页，共23页。( )f xx1x2x

5、0(9)方方程程有有两两个个不不相相等等的的负负根根可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件也可也可002(0)0baf 第十三页，共23页。(10)方方程程有有一一正正根根一一负负根根可用韦达定理表达式来书写：可用韦达定理表达式来书写：ac0也可也可f(0)0即或解第十八页，共23页。2(2) (2)(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的两根分别属于（， ）和（， ）求的取值范围21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1) (0)()() 解：由题(1(4 ) (2) 第十九页，共23页。例例3.就实数就实数k的取值，

6、讨论下列关于的取值，讨论下列关于x的方程的方程解的情况：解的情况：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ： 将方程视为两曲线 与相交，其交点横坐标便是方程的解，由图知：时， 无解；或时，有两解；时有四个解；时有三个解解34yx第二十页，共23页。24.1(0,3),(3,0).yxmxABABm 例 若二次函数的图像与两端点为 的线段有两个不同的交点，求 的取值范围223(03)3(03)1(1)400,3.0103103.23(0)40(3)93(1)4010(3,3ABxyxxyxyxmxxmxmmffmm 解：线段的方程为 由题意得： 有两组实数解 整理得 在上有两个不同的实根 故 解得 故 的取值范围是第二十一页，共23页。结论结论：21 , (2), ( ) ( )0. 40 ( )0 02 ( )m nm nf m f nbaca f ma f nbmna （） 一元二次方程有且仅有一个实根属于（）的充要条件是： 一元二次方程两个实根都属于（）的充要条件是：20(0) axbxca一元二次方程一元二次方程 在区间上的在区间上的实根分布问题实根分布问题. 第二十二页，共23页。22(3) , 4 , , ()0 ( )040 ( )0240 ()02 ,a f ma f nbaca f nbnabaca fm nm nm nmmbmn 一元二