导数及其应用试题复习进程

1、导数及其应用试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1 .对任意X，有f' (x)= 4x3, f(1) = 1,则此函数为()A . f(x)= x4 2B . f(x)= x4+ 234C. f(x)= xD . f(x) = x解析：对于A项，f' (x)= 4x3,且f(1) = 1 2= 1,故A正确；而选项 B中，f' (x) =4x3,但 f(1) = 3 1 ;选项 C 中，f' (x)= 3x2,且 f(1) = 1 ;选项 D 中，f' (x) = 4x3,所 以B、C、D选项均不正确.答案：A2. 曲线y= x3+

2、x 2在P点处的切线平行于直线 y= 4x 1,则此切线方程为()A . y= 4xB . y= 4x 4C. y = 4x+ 8D . y= 4x,或 y= 4x 4解析：由y' = 3x2 + 1 = 4,解得x= ±1.将x = ±1分别代入曲线方程，求得P点坐标为(1,0) 或(1 , 4)，利用“点斜式”求得切线方程为y= 4x,或y= 4x 4,故选D.答案：D3. 函数f(x)= ax3 x在( s,+s )内是减函数，贝V ()1A . av 1B . av3C . a v 0D . a< 0解析：f' (x) = 3ax2 1<

3、 0 恒成立. a< 0.答案：D4. 已知函数f(x) = x3+ mx2 + (m+ 6)x+ 1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是()A . ( 1,2)B . ( a, 3) U (6,+ )C . ( 3,6)D . ( a, 1) U (2 ,+a )解析：f' (x) = 3x2 + 2mx+ m+ 6 = 0,有两个不同的实数根，于是= 4m2 12(m+ 6)> 0, mv 3,或 m>6.答案：B5. 若点P在抛物线y= 3x2 + 4x+ 2 上, A(0, 3)、B( 1, 1)，要使 ABP的面积最小，贝U P点的坐标是()A.B

4、.2 2)3，3D . (0,2)C. ( 1,1)解析：欲使 ABP的面积最小，则必须使 P点到直线AB的距离最近.因此作直线 AB的平行直线束与抛物线相切时的切点即为所求的点P.由导数的几何意义，得y' = kAB,即6x+ 4= 2,得x= 1，故P点的坐标是(1,1).故应选 C.答案：C6. 已知函数f(x) = x3 px2 qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别a.27、 00、c.痔、00、解析：f' (x) = 3x2 2px q.3 2p q = 0, 由 f' (1) = 0, f(1) = 0,得1 p q = 0,解得

5、丿=2,、q= 1. f(x) = x3 2x2+ x.2 1由 f' (x) = 3x 4x+ 1= 0，得 x= 3，或 x= 1.314进而求得当x= 3时，f(x)取极大值27,当x = 1时，f(x)取极小值0.答案：A7函数y= x3 2ax+ a在(0,1)内有极小值，则实数 a的取值范围为()A. (0,3)C. (0 ,+ )B.(汽 3)D. 0,号解析：由 y' = 3 2a = 0，得 x = ± 讐.由题意知,只要0v31，即0 v a v ?即可.答案：D&若函数k kh(x)= 2x k + 3在(1, +m )上是增函数，则实数

6、 k的取值范围是()x 3C. (g, 2D . ( 8,2k 2x + k2解析：h' (x) = 2+ -2= x .由题意知，x (1, + g)时，h ' (x)A 0 恒成立，即 2x + k> 0 X恒成立，只需2 + k>0即可，所以k 2, +8）.答案：AA.9.球的直径为d，其内接正四棱柱体积最大时的高为（）B.-D.彳d3Cgd解析：设正四棱柱的高为 h，底面边长为X，如图是其组合体的轴截面图形，则AB= ,2x，BD = d，AD= h./ AB2+ AD2= BD2，2,2 ,222x + h = d， xd2o又 V= x h =2(d2

7、h- h3)，1 23 2-V (h) = 2d 2h .令 V' (h) = 0，得 h=§d，或 h= d(舍去)，应选 C.答案：C10 已知函数f(x)在R上可导，且f(x) = X2+ 2xf' (2)，则f( 1)与f(1)的大小关系为()A . f( 1)= f(1)B . f( 1)>f(1)C. f( 1) v f(1)D .以上答案都不对解析：f(x) = x2+ 2xf' (2)? f' (x) = 2x+ 2f' (2)? f' (2)=4+ 2f' (2)? f' (2) = 4， f(x

8、)= x2 8x= (x 4)2 16,且在(g，4上为减函数./ 1v 1v 4, f( 1) > f(1)，故选 B.答案：B11.已知函数f(x)的导数为 得极大值5时，x的值应为(f' (x) = 4x3 4x,且f(x)的图像过点(0, 5)，当函数f(x)取)A. 1B . 0C. 1D . ±1解析：设f(x)= x4 2x2 + c,其中c为常数.由于 f(x)过(0, 5)，所以 c= 5,又由f' (x)= 0，得极值点为x= 0或x= ±1.x= 0 时，f(x)= 5,故x的值为0故选B.答案：B12. 已知函数f(x)的定义域

9、为2,+ )，且f(4) = f( 2) = 1, f' (x)是f(x)的导函数,所围成的图形的面积是()a> 0,函数y= f' (x)的图像如图所示.则平面区域b> 0,f 2a + b v 1B . 4f(4) = f( 2)= 1.解析：f(x)在2,0上递减，在0,C. 5 f(2a + b) v 1? 2v 2a + bv 4.1画出平面区域，其面积S= 2X 2X 4 = 4.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数 y= f(x)满足 f(x 1) = 1 2x + x2，则 y'= f' (x)=.

10、解析：设 x 1 = t,贝U x= t + 1, f(x 1) = f(t)= 1 2(t + 1) + (t + 1)2= t2 即 f(x) = x2,所以 f ' (x)= 2x.答案：2x214. 已知函数f(x)的导函数为f' (x)，且满足f(x) = 3x + 2xf' (2),则f' (5) =解析：由 f(x)= 3x2 + 2xf' (2),得 f' (x) = 6x+ 2f' (2). f' (2) = 12+ 2f' (2), f' (2) = - 12.故 f' (5) = 6X

11、 5+ 2f' (2) = 30- 24 = 6.答案：615. 已知函数f(x)= ax3 + bx2 + 2,其导数f' (x)的图像如图所示，贝U函数f(x)的极小值是 解析：由题图可知，当x= 0时，f(x)取得极小值f(0) = 2.答案：216. 已知函数f(x) = ax3 + bx2+ ex,其导函数y= f' (x)的图像经过点(1,0), (2,0),如图所示，则下列说法中不正确的是 .3 当x=2时函数取得极小值； f(x)有两个极值点； 当x= 2时函数取得极小值； 当x= 1时函数取得极大值.解析：由已知，当 x (0,1)时，f' (

12、x)> 0; x (1,2)时，f' (x) V 0; x (2, +)时，f' (x)> 0.f(x)有两个极值点x = 1 , x= 2.极小值为f(2)，极大值为f(1).答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分.17. (本小题满分10分)已知函数f(x) = £x3 2x2 + ax(x R, a R),在曲线y= f(x)的所3有切线中，有且仅有一条切线I与直线x+ y= 0垂直，求曲线y = f(x)在 x= a处的切线方程.解析：f' (x) = x2 4x+ a，依题意 f' (x)= 1 有且只有一解，由 x2 4x+

13、 a 1 = 0,得=16 4(a 1)= 0, - a = 5, f' (a) = f' (5) = 52 4X 5+ 5= 10,故所求的切线方程为y 50= 10(x 5)，即y= 10x10018. (本小题满分12分)已知函数f(x) = x3+ ax2 + 3bx+ c(b丰0),当函数g(x) = f(x) 2是 奇函数时，确定函数f(x)的单调区间.解析：函数 g(x) = f(x) 2 为奇函数，对任意的 x R, g( x) = g(x)，即 f( x) 2=f(x) + 2.32又 f(x) = x + ax + 3bx+ c,3232- x + ax 3

14、bx+ c 2 = x ax 3bx c+ 2.a = a,a = 0,c 2= c+ 2.c= 2.3 f(x) = x + 3bx+ 2.又函数的定义域是(8,+), f' (x)= 3x2 + 3b(bz 0),当 bv0 时，由 f' (x)= 0，得 x= ± b.当x变化时，f' (x)的变化情况如下表：x(8,寸b)V(V, Vb)V bBb, +8 )f' (x)+0一0+当 bv 0 时，函数 f(x )在(一8, '' b, '' b, +8 上单调递增，在， b，一 b上单调递减；当b>0时，

15、f' (x)>0,函数f(x)在(8,+8 )上单调递增.19. (本小题满分12分)设函数f(x) = ax；，曲线y = f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 7x 4y 12 = 0.(1)求f(x)的解析式；证明：曲线y= f(x)上任一点处的切线与直线x= 0和直线y= x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解析：(1)方程7x 4y12 = 0可化为y = -x 3.41当 x = 2 时，y= 2.r b 12a = 2,又 f' (x) = a+ x2,于是la+4=4，a= 1,解得I b= 3.故 f(x) = x-x设P(xo, yo)为曲线

16、上任一点，由=1 + x2知曲线在点P(xo, yo)处的切线方程为xy yo= 1+津(x xo),即y - xo-xo =1 + m(x xo)-令x = 0,得y=善，从而得切线与直线x= 0的交点坐标为0, 令y = x,得y= x= 2xo,从而得切线与直线y= x的交点坐标为(2xo,2xo).1 6所以点P(xo, yo)处的切线与直线x= 0, y = x所围成的三角形面积为 2 TI |2xo|= 6.0故曲线y= f(x)上任一点处的切线与直线x= 0, y= x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.20. (本小题满分12分)已知函数f(x) = x3 3x2+ ax+

17、 b在x= 1处的切线与x轴平行.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；3若函数y= f(x)的图像与抛物线 y = ?x2 15x+ 3恰有三个不同交点，求b的取值范围.解析：(1)f' (x)= 3x2 6x+ a.由 f' ( 1) = 0，解得 a = 9.则 f' (x) = 3x2 6x 9= 3(x 3)(x+ 1).故f(x)在(a, 1), (3 ,+s)上递增，在(1,3)上递减.令 g(x) = f(x) 2x2-也+ 339 2=x 2x + 6x+ b 3,则原题意等价于g(x) = 0有三个不同的根.g' (x) = 3x2 9x

18、+ 6= 3(x 2)(x 1), g(x)在(a, 1), (2 ,+s)上递增，在(1,2)上递减.则g(x)的极小值为g(2) = b 1v 0,1且g(x)的极大值为g(1) = b 0,1 由，解得2< b v 1.121. (本小题满分12分)函数f(x) = -x3 + ax2 + bx在区间1,2上单调递增.3(1)求常数a, b需满足的条件及点(a, b)存在的区域；若f(x)在区间(3 1, 2 ,+a )上均单调递减，求常数a, b的值.解析：(1)f ' (x)= x2 + 2ax+ b.由函数f(x)在区间1,2上单调递增，可知f ' (x) > 0在区间1,2上恒成立，所以只-10，需f ' 2 > 0,1 2a+ b> 0,即I 4+ 4a+ b0,b > 2a+ 1,即jb > 4a+ 4.s.