四柱坐标系与球坐标系简介(2)

1、四柱坐标系与球坐标系简介、基础达标1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为2,寸，3 , P在xOy平面上的射影为 Q贝U Q点的坐标为（）A.（2 , 0, 3）B. 2，才，0C. i .；2, 4，3D. i ,2 才,0解析由点的空间柱坐标的意义可知，选B.答案 B2.空间直角坐标系 Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是（）A. i1,专,2解析n0 = 时，点p在平面yOz内.答案3.设点M的直角坐标为（2 , 0,2）,则点M的柱坐标为（）A.(2,0, 2)B.(2 , n , 2)C.( ,2, 0, 2)D.( .2 , n , 2)解析设点M的柱坐标为（p,0 ,

2、 z), p= x2 + y2= 2 , tan 0 = £ = 0 , z.=0, z= 2. 点 M的柱坐标为(2 , 0, 2).答案4.若点M的球坐标为8,7t3 ,5n ,则它的直角坐标为（）A.( - 6, 2 . 3, 4)C.( - 6,- 2 3, 4)n解析 由 x= 8sin 3C3 65 n OSB.(6 , 2 3 , 4)D.( - 6 , 2 3 , - 4)=-6 , y = 8sin ns"罟=2 3 , z = 8cosnn = 4,得点 M的直角坐标为(-6, 2 3, 4).答案 A5.已知点M的球坐标为4, -4 ,严,则点M到Oz

3、轴的距离为,知 x = 4sin nncos|44解析设M的直角坐标为（x , y , z）,则由（r , $ , 0 ） = 4,；,扌nn3n币n = 2 , y = 4sin sin 4 n= 2 , z= rcos $ = 4cos- = 2 2.点M的直角坐标为（一2 , 2 , 2 2）.故点M到Oz轴的距离.（一2） 2 + 22= 2 2.答案 2 2解析点P的直角坐标为6.已知点P1的球坐标是P4 ,寺,P2的柱坐标是P2? ,-6, 1 ,则|说|=.（2 , 2 3 , 0）点F2的直角坐标为（一 3 , 1 , 1）,由两点距离公式得 | P1P2I =寸21.答案 2

4、17.已知点P的柱坐标为4,5 n6,点b的球坐标为i8 , nn,寸,求这两个点的直角坐标解设点P的直角坐标为5 n(x , y , z),贝y x = 4cos肓=4X-2 = 2 3 , y= 4si4X = 2 , z =-，.：)3.设点B的直角坐标为(x, y , z),则x= 8sin cosy = 8X 2342亠 x#= 2,6 , y= 8sin 亍引巧=8X 于 乂子二 2 6 , z= 8cos n = 8X 2= 4.所以点P的直角坐标为（一2 3 , 2, - , 3）,点B的直角坐标为(2 .6, 2 ,6, 4).二、能力提升8.已知点P的柱坐标为,5 ,点B的

5、球坐标为；6,专,nn，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 （A. P 点(5 , 1,1) , B 点B. P 点(1 , 1,5) , B 点)3*24 ,324 ,C.P点D.P 点(1 , 1,口 -2 , B 点(1 , 1, 5).63 ；6 3 .22,4,45) , B 点z = 5.设B点的直角坐标为（x, y, z）,x = 6 sin 守 cos n = 6. 二=空n . n 313 d 2y = 6 sin -3 sin = 6 _ =.一n16z = 6 cos3 = 6 2.所以，点P的直角坐标为（1 , 1 , 5），点B的直角坐标为，4，答案 B9.在球

6、坐标系中，方程r = 1表示n，方程0 =£表示空间的n答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，中心轴为 z轴，轴截面顶角为 的上半个圆锥面10.已知柱坐标系I冗Oxyz中，若点M的柱坐标为j2,则 10M=解析°，z) = 2, ?，设M的直角坐标为（x, y, z），则x2 + y2= p2 = 4,- | 0M =+ y + z = . 4+(5)= 3.答案 311.在球坐标系中，求两点P 3,解 设P, Q两点球坐标转化为直角坐标.设点,x= 3sin nsin6P的直角坐标为(x, y, z),z = 3cosnn = 3X f = 3、3x = 3sin

7、 ncos6土2，O2，2r .设点 Q的直角坐标为(X1, y1, Z1), X1= 3sin -ncos3 = 4,屮n 3 nn 3 厂=3sin sin =, Z1 = 3cos =3.644'62V P，4 ，2.点I PQ =乎.即P, Q两点间的距离为 竽."p =112.在柱坐标系中，求满足0W 0 <2n的动点M P , 9 , Z）的围成的几何体的体积OW ZW 2解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足p = 1 , 0W 9 <2 n ,0< z w 2的动点M p , 9 , z）的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴_ 2截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r = 1, h= 2,. V= Sh= n r h=2 n .三、探究与创新13.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系有A、B两个城市，它们的球坐标分别为BR,才,备，飞机从A到B应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远?解如图所示，T AR, AO ».设赤道面上与 A、B经度相同的点分别为D, x轴与赤道大圆的E C交点为E,则/ EO=亍，/ EO= nco=穿-n=n.n/ aob=/ co= 2-在 Rt O