导数的概念和几何意义(全面版)资料

1、导数的概念和几何意义（全面版）资料教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2 .理解曲线的切线的概念；3 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一创设情景(一) 平均变化率、割线的斜率(二) 瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=xo附近的变化情况，导数 f(X。)的几何意义是什么呢？二新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当pn(xn, f(xn)(n 1,2,3,4)沿着曲线f(x)

2、 趋近于点P(xo,f(x。)时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现，当点巳沿着曲线无限接近点 P即厶XT0时，割线PR趋近于确定的位置， 这个 确定位置的直线 PT称为曲线在点P处的切线.问题：害熾PP,的斜率 心与切线PT的斜率k有什么关系？切线PT的斜率k为多少？容易知道，割线PPn的斜率是kn f(xn) f(xo),当点Pn沿着曲线无限接近点 P时，k.无 xn X。限趋近于切线PT的斜率k，即k lim丄一x) f(x。) f (x0)X 0x说明：(1)设切线的倾斜角为 a那么当 xt0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点 P处的切线的斜率这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一

3、种方法；切线斜率的本质 一函数在x X)处的导数(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断 与求解如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线的 切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个(二)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=xo处的导数等于在该点(Xo, f (Xo)处的切线的斜率，即 f(xo) lim f(xox) f(xo)kX 0x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： 求出P点的坐标； 求出函数在点x0处的变化率 f(X。) lim卫一k ，得到曲线在点X 0x(X。, f (X

4、o)的切线的斜率； 利用点斜式求切线方程(二)导函数：由函数f(x)在X=xo处求导数的过程可以看到，当时，f (Xo)是一个确定的数，那么，当 X 变化时便是X的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数记作：f (x)或y ,f (x x) f (x) 即：f (x) y limx 0x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.(三) 函数f (X)在点瓦处的导数f (瓦)、导函数f(X)、导数 之间的区别与联系。1) 函数在一点处的导数f (xj，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2) 函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3

5、) 函数f (X)在点X。处的导数 讥灯就是导函数f(X)在X 冷处的函数值，这也是 求函数在点X。处的导数的方法之一。 三.典例分析例1: (1)求曲线y=f(x)=x2+i在点P(1,2)处的切线方程(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数(1X)2 1 (12 1)所以，所求切线的斜率为解：(1) y |x 12 x limx 02,因此，所求的切线方程为2X2,2(x1)即 2x(2)因为 y |x 1 lim3x23 122 2.3(x1 )limlim3( x 1)6X 1X1x 1 x 1X 1所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y 36(x1)即 6x y 3

6、0(2)求函数 f(x)=X2X在X1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解：d 一X)2(1X) 2 c3 xf ( 1) lim yt一x)t一X-2limi(3x) 3x 0 xx:. x 0例2.(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x2 6.5x 10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t。、ti、t?附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲 线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当t t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于 x轴，所以，在t t0附近曲线比较平坦，几 乎没有升降.(2) 当

7、t t1时，曲线h(t)在t1处的切线11的斜率h(tj 0，所以，在t 1附近曲线下降，即 函数 h(x)4.9x2 6.5x 10 在 t 1 附近单调递减.(3) 当t t2时，曲线h(t)在t2处的切线I2的斜率h(t2) 0，所以，在t t2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x2 6.5x 10在t t2附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 c f (t)(单位：mg/mL)随时 间t (单位：min )变化的图象根据图像，估计 t 0.2

8、,0.4, 0.6,0.8时，血管中药物浓 度的瞬时变化率(精确到 0.1 ).解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线 f(t)在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t 0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91) , (1.0,0.48)，则它的斜率为：1.41.0 0.70.48 0.91所以 f (0.8)1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率f'(t)0.40-0

9、.7-1.4四课堂练习1 .求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线;2.求曲线y . x在点(4,2)处的切线. 五回顾总结1. 曲线的切线及切线的斜率；2. 导数的几何意义六.布置作业导数的概念及运算导学姓名 班级一.学习目标1. 掌握的概念以及几何意义2. 会进行导数的四则运算二.知识梳理1导数的定义平均变化率瞬时变化率（导数）公式图像以及几何 意义几何意义：函数 f X在x x0处的导数2基本初等函数导数公式原函数导函数f X cf ' Xrnf XXf ' Xf x sinxf ' Xf x cosxf ' XrXf x af ' XrX

10、f x ef ' Xf X logaxf ' Xf x In xf ' X3.运算法则(3)=.例题分析 例1、求抛物线y2X （1）过点（1 , 1）的切线方程。5（2）过点（| , 6）的切线方程。2例2（ 08辽宁）设P为曲线上的点，且曲线y x 2x 3在p处的倾斜角范围为0,4贝廿点P横坐标的范围 （变式）若点P是曲线y x3 x 7上的点，则点P处切线的倾斜角的范围是 三巩固练习1曲线y x 3x在x 2的切线的斜率为 （）A. 7B. 6C. 5D. 42曲线y x33x2 6x 4的所有切线中,斜率最小的切线的方是 .3. 在函数y x3 8x的图象上，

11、其切线的倾斜角小于 ”的点中,坐标为整数的点的个数是（）4. 曲线yx3x 1在点（1,3）处的切线方程是 .1 35. 已知某物体的运动方程S t - t3，则当t 3s时的瞬时速度是（）9A. 10m /sB. 9m /sC. 4m /sD. 3m /sx26. 与直线x y 1 =平行，且与曲线y=1相切的直线方程为 .37. y x3 x25在x 1处的切线的倾斜角是38. f xx2 2xf' （1）,则 f '（0） 9. （09江西）设函数fx g xx2,曲线y g（x）在处的切线方程为 y 2x 1，则曲线y f（x）在点（1 f 1 ）处的切线的斜率为 四小

12、结:利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：（可让学生归纳） 求出函数y f（x）在点X。处的导数f （沟） 得切线方程y f（xo）f （x）（x X。）注：点（xo, f（x。）是曲线上的点切线：y f x0 f x0 (x x0)曲线:盐城市时杨中学 2021届高三数学导学案(理)第六讲编写人：王杰胜审核人：刘长柏班级姓名课标要求：1. 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；2. 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。知识回顾1 .导数的概念2 导数的几何意义基础练习1 .下列命题nxn 1(1)若函数 f(x) (n N )，则

13、f (x) x ； (2)若函数 f(x) c,则 f (xo)0 ；n(3)若函数 f (x) ( x)n(n N )，则 f (x) n( x)n 1 ； (4)若函数 f (x) x0,贝U f (0)0。其中正确的是 。(填序号)2. 已知曲线y sin x(x (0 ,)在点P处的切线平行于直线l : x 2y 0 ,则点P的坐标为。3. 若曲线y xlnx与直线y 2x b相切于点P,则点P的坐标是。4. 已知曲线y ex在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为 。235. 若曲线y =x 1与y =1 x在x = x 0处的切线互相垂直，贝 H x 0 = 。例题精讲1例1利用导

14、数的定义求函数 y =-的导数x0）处的切线例2已知曲线y = ax3 + bx2 + ex+1关于点（0, 1）对称，且在点（1,斜率为1，试求a，b, e的值例3已知a > 0，曲线y=33.x a在点x = X1 （捲> 0）处的切线为I（1 ）求I的方程；（2）设I与x轴的交点（x2, 0）,求证：x2 > a ；课堂小结:高三数学作业（6）班级姓名学号21 抛物线x 4y的过点（一1,0）的切线方程是 2 已知曲线y x3 2x2 x，在点p,、P2处的切线斜率都为1,则P1 P2在x轴上的射影长为3. 过抛物线y x2 3x上一点p的切线的倾斜角为 45°

15、;，它与两坐标轴交于 A B两点,则厶AOB的面积是.4. 设曲线y x3 3x2 2x 10的切线的倾斜角为a,则a的取值范围是。5. 已知A B是曲线y x3 ax上不同的两点，且过 A B两点的切线都与直线AB垂直。 求证：（1） A B两点关于原点对称；（2） a > . 3。第一节导数概念.导数的定义1.引例例1:变速直线运动的速度设有一物体 M沿直线从o点开始作变速直线运动，在t 时刻运动到点P，与点O的距离为s(t)，求物体M在to时刻的 瞬时速度。Vt这一时间段内的平均速度为已知匀速直线运动的速度为: 变速直线运动在 to到toV(t)S S(tot) s(to)，如果当

16、t 0时，上式的极限存在，tt记为V，即V(t) limV(t) lim工 lim° S(to)。V即为所求的t 0tot tot物体M在to时刻的瞬时速度。例2:曲线的切线问题 2.导数的定义定义1 ：设函数y f(x)在点xo的某一邻域内有定义，当自变量x在Xo处取得增量x( Xo+ x仍在该邻域内)时，相应地 函数y取得增量y f (xo x) f (xo)；如果y与x之比当x o 时的极限存在，则称函数y f(x)在点xo处可导，并称此极限值为函数y f(x)在点X。处的导数(微商)，记作：y/|xxo，f/(xo)， dy|xxo。即:f /(Xo)lirfx ox) f(

17、Xo)x注：(1)函数y f(x)在点xo处可导，亦可称函数y f(x)在点X。处的导数存在(或具有导数)。x0/V-T叫Hhx0(2)函数导数的另外两种定义:f/f (x) f(Xo)f (x0) limx xox x0(3) 如果lim丄limx) f(xo)不存在，称函数y f(x)x 0 x x 0x在点xo处不可导。(4) y/ x 为函数 y f(x)在区间xo，x。 x(或x。 x,x。) 上的平均变化率；而导数 f/(x。)是因变量y在点X。对于x的变 化率，反映因变量y随自变量x的变化而变化的快慢程度。导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。(5)根据导数的定义和极限存在

18、的充要条件，相应地定义 函数y f(x)在点xo处右可导、左导数如下(分别记右可导、 左导数为(Xo)， f/(xo): f /(Xo)都存在，f /(Xo)= f/ (Xo)f/ (X。)lim f(x) f(Xo)X Xo 0 X Xof/ (Xo)lim f(x) f(Xo)X Xo o X Xo且有：函数y f(x)在点Xo处可导函数 y f(x)在 Xo 处，f/(Xo)、(即函数y f(x)在点xo处可导数的充要条件是函数 y f(x)在点Xo处既右可导、有左可导) 3 .函数y f(x)在区间上(内)可导的概念:(1)若函数y f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函 数

19、y f(x)在开区间(a,b)内可导。(2) 若函数y f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，且f/(a) 存在，则称函数y f(x)在区间a,b)上可导。(3) 若函数yf(x)在开区间佝b)内每一点都可导，且f/(a)， f/(b)存在；则称函数y f(x)在闭区间a,b上可导。4 .导函数若函数y f(x)在开区间(a,b)内可导，则对 x (a,b)，总有 确定的f/(x) lim f(x x) f(x)与之对应，从而得到一个以x为X 0x自变量的新函数，称此函数为函数y f(x)的导函数，简称为导数，记为：y/ , dy , f/(x)。dx二.导数的几何意义：由导数的定义可知：

20、函数 '在点“处的导数”在几何 上表示曲线 ' 在点处的切线斜率，即广庆)=tan谀f/(x0) lim f(x)表示函数曲线 y f (x)在点 M(x0,y0)x x0x x0(yo f(xo)处的切线的斜率。曲线y f(x)上点M(xo，yo)的曲线的切线方程为：y yo f/(xo)(x x。)曲线y f(x)上点M(xo，y。)的曲线的法线方程为：1y yo/(XX。)。f(X。)三.简单函数的导数例2： 求函数( n为正整数)在-处的导数更一般地，对于幕函数(为常数)，有苗y =声尸】例3： 求函数的导数(cos)1 = pin x,例4:求函数1 -的导数=血1即

21、:这就是指数函数的导数公式，特殊地，当，：时,因，故有:例5:求函数/(x) = lo fl x(a > 0卫工 1)的导数-xln a(In x)/1x例6：求曲线y x在点(4,2)处的切线方程五.函数的可导性与连续性的关系函数y f(x)在点xo处可导函数y f(x)在点xo连续函数y f(x)在点X。处可导函数y f(x)在点X。连续。女口： y x在点X。0处连续，但在点X。0处不可导。即函数连续是函数可导的必要条件，而非充分条件。2 1例7：设f(x) x ,x S试确定a、b的值，使函数f(x)在x 1 ax b ,x 1处可导。下一节 返回导数的概念及运算复习指导重点难点

22、：1 导数的定义：(1) 函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在X0处有增量厶x，则函数y相应地有改、曰、&、变量 y=f(x 0+ A x)-f(x o)，这两个增量的比 -叫做函数y=f(x)在xo到xo+ x之间的平均变化率，即'-11 ' ' '' o如果当A xt0时，二有极限，我们说函数在xo处可导，并把这个极限叫做f(x)在xo处的导数(或变化率)。记作f(xo)或,即/八_血 3 _血 /(心十&) 一/(帀)。ax匕(2) 导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每

23、一个值xo,都对应着一个确定的导数f(xo)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f(x)或y'，即严r八 _血 Aj7U +Av) -/WAiAx(3) 导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即："二-'。也就是说，曲线y=f(x)在点P(xo,A af(x o)处的切线的斜率是f(xo)，切线方程为y-yo=f(xo)(x-xo)o2. 求导数的方法：(1) 求函数y=f(x)在xo处导数的步骤： 求函数的增量A y=f(x o+ A x)-f(x o)

24、 求平均变化率取极限，得导数A AAv° 心 &(2) 几种常见函数的导数公式: C'=O(C为常数)； (sinx)'=cosx ;(ex)'=ex;' Y ' = ;x(3) 导数的四则运算法则：(u ± v)'=u' ± v' (xn)'=nxn-1 (n Q )； (cosx)'=-sinx ;(ax)'=axlnax(uv)'=u'v+uv'(4) 复合函数的导数复合函数对自变量的导数， 等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变

25、量的 导数。典型例题：例1 求下列函数的导数 y=(2x-3)5厂- 一一3 上 |' y=si n32x解： 设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5, u=2x-3由复合函数的求导法则得:y'=f(u)u'(x)=(u 5)'(2x-3)'=5u 4 2=10u4= 10(2x-3)4 设 u=3-x，则-_ f 可分解为： :.- I-,# = f仗）卫'（打=&弓（？一初=丄，x（-l）=21+4心曲1心川1乂 11 1 + - .X十 J1 十 X1-1+ X2十 * y'=3(sin2x) 2 (sin2x)

26、'=3sin 22xcos2x(2x)'=6 sin22x cos2x例2 已知曲线.、 J-，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。1 _1 1 1解： I . .：.1 . . I .-:，令 J -一,2 2得x=4，代入，-.，得y=5 ,曲线在点（4,5）处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为-'一-，即x-2y+6=0。例 3已知曲线 C: y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。解：把x=1代入C的方程，求得y=-4 ,切点为(1,-4), y'=12x3-6x2-18x切线斜率为 k=12-6-18=-12 ,十斗切线方程为y=-12x+8。得 3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0 ,6 2公共点为（1,-4）（切点除切点外，还有两个交点- ；