初中数学探究性问题的设计

1、初中数学探究性问题的设计1 什么是数学探究性问题数学探究性问题是由探究性内容目标特征和探究性行为目标特征构成的数学问题系统探究性 内容目标特征是指在数学问题系统的四个要素一一条件、解题依据、解题方法、结论中，通过对其 中的某几个（至少两个）要素进行分析、综合、观察、归纳、概括、推理、判断等一系列探究活动 而确定其他要素的问题特征；探究性行为目标特征是指在问题的解决过程中，通过操作、观察、猜 测、思考获得的感性经验，体现主动的、建构的、体验的、发现的学习方式等行为特征我们通俗 地解释为：数学探究性问题是指在问题的解决过程中，以学生独立自主或合作讨论为学习形式，运 用操作、猜想、分析、实验、推理、

2、归纳、发现等学习方式解决的数学问题.2 数学探究性问题设计的类型初中数学探究性问题可按年级分类型进行设计，每个年级可分成数与代数、图形与几何、统计 与概率、综合与实践”四部分，每一部分又可分为操做实验型、探索规律性、应用探究型、阅读探 究型、推理探究型等类型下面通过举例来说明.2. 1 操作实验型操作实验型问题设计，一般是几何图形通过折、剪、拼等几何实验或是对图形的分割与重组，进 行动手实践的问题在解决问题时，需要通过平移、轴对称、旋转、位似等基本的图形变换，运用 代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明、探索和发现问题的各种答案，并对数学本质产生一 种新的领悟，使学生的认知结构得到有效的发展

3、.设计实验 1 1：正方形拼图.请按照要求进行正方形拼图并分析规律.问题 1 1：如图 1 1，把两个边长为 1 1 的正方形重新分割，请探究是否能拼成一个新的正方形若能, 请说明有几种拼法（画出裁剪线和拼图），并求出新正方形的边长；若不能，请说明理由.问题 2 2 :如图 2 2,把两个边长为 2 2 和 1 1 的正方形重新分割， 请探究是否能拼成一个新的正方形.若能，请说明有几种拼法（画出裁剪线和拼图），并求出新正方形的边长； 若不能， 请说明理由.问题 3 3:如图 3 3,把两个边长分别为a和b的正方形重新分割，请探究是否 能拼成一个新的正方形若能，请说明有几种拼法（画出裁剪线和拼图

4、），并求出新正方形的边长；若不能，请说明理由.问题 4 4:说说从上述三个问题的探究过程中，你发现正方形拼图有什么规律.通过对本题的探究，从特殊到一般情形，将两个正方形重新分割后拼成一个新 的正方形，让学生体会到：拼图实际上是图形的变换，在图形变换过程中图形的面积保持不变；在 问题 3 3 中，新正方形的边长可以利用变换前后面积不变的等量关系列方程求解；拼图的关键是找能 拼接的边和全等的图形这也是对本题中数学本质的一种领悟.2 2 探索规律型探索规律型问题设计，一般先给出前三项，让学生探索第四项或后面某个特定的项，再探索第n项的规律这样由特殊到一般，由简单到复杂，逐步深入通过操作、猜想、运算、

5、推理、归纳等 深层次的探索活动得到答案此类题目形式丰富多样，内容覆盖广泛，可涉及初中“数与代数”“图形与几何” “统计与概率” “综合与实践”四个学习领域的内容，也是各省市中考命题中常见的一种 题型.设计实例 2 2:标准纸问题.我们把长和宽之比为2的矩形纸片称为标准纸不难发现：将一张标准纸一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸（如图4 4）.现有一张标准纸ABCD两边AB、BC分别等于1和J2,则第 4 4 次对开后所得标准纸的周长是 _ ，第 20132013 次对开后所得标准纸的周长是_，第n次对开后所得标准纸的周长是 _.第 I 次对开第 2 次对开算 3 次对幵图 4本题探索第n

6、次对开后所得标准纸的周长，难度较大.因此，设计了先求第4 4 次和第 20132013 次对开后所得标准纸的周长，解决问题时，要求学生能通过观察、实验、归纳、推理获得猜想，并综合 运用相似形、矩形的性质解决实际问题这样的问题设计符合初中阶段学生的思维特点，可以培养 学生在合情推理的基础上再用所学知识进行验证并推断出正确结论的能力.2 3 阅读探究型阅读探究型问题设计，一般用于新定义（新概念）、方法类比、判断推理或迁移发展等类型的问题通过阅读理解，用新定义（新概念）解决的一个相关问题；或类比提供的材料中所述的过程方 法，去解决类似的相关问题；或对提供的材料进行归纳概括，依据对材料本质的理解进行推

7、理，作 出解答；或从提供的材料中，通过阅读理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类 似更高层次的相关命题.设计实例 3 3:阅读材料:如图 5 5，过 ABCABC 的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫 ABCABC 的“水平宽” （a a）,中间的这条 直线在 ABABC C内部线段的长度叫 ABCABC 的“铅垂高” （h h ）我们可1得出一种计算三角形面积的新方法：SABC= ah，即三角形面积2等于水平宽与铅垂高乘积的一半.111AD h AD -h2AD (h1h2)22211AD -aah22证明:S.ABC二SABD S.ACD阁 5

8、5（其中，h、h2是直线AD与外侧两直线之间的距离）研究拓展我们如果把 ABCABC 放到平面直角坐标系中来研究(如图C(xc,yj，D(XD，YD)，则铅垂高：h=AD=yA-yD，水平宽：a =Xc-XB.图 E E问题探究：如图 7 7,抛物线顶点坐标为 C C (1 1,(1)(1) 求抛物线和直线 ABAB 的函数解析式；(2)(2)设点 P P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点, 求.CAB的铅垂高CD及SCAB；9(3 3)在(2 2)的条件下，是否存在一点P P,使SPABSABC，若存在，求出点P的坐标；若8不存在，请说明理由.这是一个运用新概念解决问题的典例通过阅读材料

9、，让学生读懂在平面内三角形面积的推广 公式，并运用到平面直角坐标系内，用坐标表示三角形的面积公式，再在综合题中运用三角形面积 公式解决相关问题.问题由浅入深，符合学生的认知规律，有利于培养学生的阅读探究能力.2. 4应用探究型应用探究型问题设计，要与学生的生活实际紧密联系，问题的背景尽可能是学生熟悉的，以引 起学生探究的兴趣常见的问题背景有通讯收费、按揭贷款、存款利息、打折销售、工资待遇、运 输费用、工程造价、旅游价格、行程问题等问题的设计要注意让学生通过探究感受到“生活处处 有数学”，同时让学生获取生活智慧.设计实例 4 4:问题背景：今年四月份，李大叔收获洋葱3030 吨，黄瓜 1313

10、吨现计划租用甲、乙两种货车共1010辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4 4 吨或黄瓜 1 1 吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各 2 2 吨.探究 1 1:李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来.探究 2 2:若甲种货车每辆要付运费 20002000 元，乙种货车每辆付运费13001300 元，请你帮助李大叔算一算应选哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？这是一个运输问题，背景是李大叔销售收获的洋葱和黄瓜，需要租车问题的探究点：一是设 计租车方案；二是探究运费最省的方案.这样的设计，不仅可以激发学生主动探究的热情，而且也 提高了问题本身的价值.应用探究

11、型问题能充分体现数学建模的特点和过程，它具有教强的挑战性、探索性、实用性，并可以在不同水平上运用多种模型来分析和求解.6），设A（XA,YA）,B（XBB）,1 1= 2ahv（yAyD）（XcXB）.连接PA、PB,当点P运动到顶点C时,S.ABC2. 5 推理探究型推理探究型问题设计，既要重视逻辑推理，又要重视观察实验、探索猜测、类比归纳等合情推 理.在封闭性证明题中，将要证明的结论隐去，并改用“是否存在”“是否成立”等问句表述，就可将原证明题设计成探究型问题.有些特殊的封闭性问题，将其特殊的条件加以推广，也可以得到推 理探究型问题课本的例题和习题中有不少证明题可以通过增加、变换情境，改变

12、设问方式，将封 闭性问题改为推理探究型问题.设计实例 5 5:已知，如图 8 8 (1 1),在正三角形 ABCABC 中，M,M, N N 分别是 ACAC ABAB 上的点，BMBM 与 CNCN 相交于点 0,0,若 / BON=60BON=60，试问BMBM 与 CNCN 相等吗？请说明理由.拓展探究 1 1:如图 8 8 (2 2)，在正方形 ABCDABCD 中, M M N N 分别是 CDCD, ADAD 上的点，BMBM 与 CNCN 相交于点 0,0,若/ BON=90BON=90，试问 BMBM 与 CNCN 相等吗？请说明理由.拓展探究 2 2 :如图 8 8 (3 3

13、),在正五边形 ABCDEABCDEK M M N N 分别是 CDCD DEDE 上的点，BMBM 与 CNCN 相交于 点 0,0,试问 BMBM 与 C CN N相等吗？请说明理由.拓展探究 3 3 :如图 8 8 (4 4)，在正 n n (n n 3 3)边形 ABCDEFABCDEF 中， M M N N 分别是 CDCD DEDE 上的点，BMBM 与 CNCN 相交于点 0 0试问当/ B0NB0N 等于多少度时，结论 BM=CNBM=CN 成立？此题原本是一个封闭性的证明题，将原题的问题“证明BM=CNBM=CN 改成“试问 BMBM 与 CNCN 相等吗？请说明理由”，并将特殊的条件“正三角形ABCABC / B0N=60B0N=60 ”拓展到“正方形 ABCDABCDZ B0N=90B0N=90 ”继续探究原结论是否成立，在拓展探究2 2 中又隐去了条件“/ B0N=108B0N=108 ”，使得结论更加开放，最后推广到在正n(n亠3)边形中探究结论成立的条件.这样的设计，通过一步步的推理探究，由易到难，由简单到复杂，由具体到抽象，结论由单一到多元，拾级而上.设计的问题有认识基础，引 人入胜，容易激发学生探究的欲望.数学探究性