圆锥曲线综合—定点与定值问题答案

1、锥曲线综合定点与定值问题答案例1解：设0A的方程为y=kx,显然k不存在或k为零时不可能，根据对称性，不妨设k>0.因为0A丄0B,所以可得0B方程为y =X.k由八=kXI y" =2px因此当kHl时,”誓2占1”匚二rJ八、 I得 k2x2-2px=0,m-以 A （学,丸），同理 3（ 2 冰 2,-2 冰）.kk所以AB的方程为k y + 2pk = (x-2pk),1 k此直线恒过定点(2p,0).又当 k=l 时,A (2p, 2p),B(2p,-2p), AB 的方程即为 x = 2p 也过点(2p,0)因此直线AB恒过一定点（2p,0）.变式1解：设直线AB的

2、方程为y = k （）HO),则 “X "=> 疋兀 2 _ (2 疋 +4)尢 + /=0=>< y = 4xc 4 XA+XB=2 + p-4儿5M(2 2)"力-2L k2 k)从而有同理，有卜+兀厂2+4匸”宀厂-纥？ xc-x D=i 1儿？儿因此当kA 土时，直线MN的斜率褊何=占三，从而直线MN的方程为y + 2k =厂令（兀-1 -2疋）， 显然，直线MN必过定点（3,0）；即）匚厂吕（x-3）.当比=±时，直线的方程为兀=3,必过定点（3,0）.从而直线MV过定点（3,0）例2解：依题意，可设直线 MN的方程为兀二昭，+彳旳3,

3、牙），川（兀22）,则有M （-必），N （ y2）x = my + a消去 x 可得 y2-2mpy-2ap = 00 卩 2）2 = （一 2如 ）24/?24/?2y二 2px于是 £ +兀 2 二加(> 'i + )S) + 2cz = 2(m 2p + a)，X| X2 =卜？面证明：对任意的。>0,都有S; =4S03成立.记直线/与x轴的交点为，则0A = OA. = ag于是有5, =|-|AfM 1|-|A1Mi| = |(X14-6?)|y1|S2 弓 | 妙川网=硼-力| -S3=*.|AW|AN4*&2+a)|y2|? S； = 4

4、SS3 o (a 卜 | 一 力 |)2 =(兀 1 + Q)|X 卜(兀 2 + a) |力 | O / ( 必 + 力)24% % =兀1兀2 +兀2 ) + / |必力|将、代入上式化简可得6Z2(4m2p2 +8ap) = 2ap(2ann p-4a 2) o 4a 2 p(m2 + 2a - mp 一 2a) = 0上式恒成立，即对任意a>0,S; =4S|S3成立.变式2解：(I)设抛物线的标准方程为)，=2內，则2p = 8,从而p = 4.因此焦点F( £0)的坐标为(2, 0).2又准线方程的一般式为x=- £2从而所求准线I的方程为x = -2 .

5、(II)解法一：如图作ACJJ, BDAJ垂足为C、D,则由抛物线的定义知|M|=|FC|记A、B的横坐标分别为兀庄，则FA = AC=x x + &|FA|cosg + 2 + 2=|FA| cosq +4 解得 |FA|=-,222l cosd4类似地有I FB|=4-|FB|cosd,解得 。1 + cos a记直线加与AB的交点为E,则冋冃旳TAE冃列-空严詁(申IT砂一-卜坪2 11 cos a I + cos a 丿 sin a所以 Fp=A.=A_?COS asins4 2 Qin 2 a=8. sirr a sin" a4故 | FP-FPcos2a = (1

6、 - cos 2a)=例3解：假设满足条件的直线Z存在，其方程为y =AC的屮点为O', /与4C为直径的圆相交于点 P, Q, PQ的屮点为H,则07/丄PQ, 0,点的坐标为斗,丄Y 2,0 卸=a< 2 2? .? |0 超二扌 /10|=* 厶 2 +(y 厂 #)2 二* Jyj +八=*|2a_x_p|,?PHf =|07f _|07/f =Lp2)_L(2a-y i-p)2Lx+a(p-d),2PQf =(2PH) 2= 4b-P_ yy(p-a)2)令d f = O,得g二彳，此时Q = p为定值，故满足条件的直线I存在，其方程为y二彳,即抛物线的通径所在的直线.

7、练习1.解析:设 M (X,yi ) ,N (兀 2, %)兰 +疋=143 -，消去 y 并整理得(3 + 4Z:2)x2 + Skmx+ 4/z2 -12 = 0y - kx + m?直线y = kx + m与椭圆有两个交点A = (8hn)2-4(3 + 4 疋)(4m2-12)>0,即加？ <4Z:2+38 km又兀i +兀 2 =一一3+ 4 疋MN中点P的坐标为(设的垂直平分线/'方程:4 km 3m3+ 4疋 3+ 4疋1 z 1 丫 =(X)' k 8? “在 r上3m1 z4la n 1、? ()?'3 + 4/ k3 + 4 疋 8即 4A2 + 8 加 + 3 =(),? m = - (4k 2 + 3) 8k将上式代入得窘4宀3?吩即"討金5取值范围为？，韦U (壽+8)2解析：(1) 2b = 2.b = ,e = - = a-a = Aa = 2.e = y/3 a a 2椭圆的方程为召+2.(2)当A为顶点时，B必为顶点，此时Saaob =1当A, B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+by = kx + bv2n 伙 2 + 4)兀 2 + 2khx + 夕一一 4 = o2 .+ x =14za * 2kbb2-4彳得至U X +x o =