带通采样定理证明

1、带通信号的采样与重建、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在(0, fH )的基带信号的采样问题。作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D难以实现的。这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。带通采样定理：设一个频率带限信号X(t)其频带限制在(L ,如)内，如果其采样速率fs满足式:2(fLfH )2n 1(2-1)式中，n取能满足fs 2( fHfL)的最大整数(0, 1, 2

2、)，则用fs进行等间隔采样 所得到的信号采样值 x(nTs)能准确的确定原信号 x(t)。带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠。如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率f0n 上, 滤出所感兴趣的带通信号 Xn(t)，然后再进行采样，以防止信号混叠。这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。X(t)Fs=2BF0=(2n+1)B/2图2.3带通信号采样式(2-1)用带通信号的中心

3、频率fo和频带宽度B也可用式(2-2)表示:fo 2n 1 fs（ 2-2）4式中，fo1l fH . 2，n取能满足fs 2B（ B为频带宽度）的最大正整数。当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（fs 2B ）,2n 1带通信号的中心频率必须满足f0B。也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。2带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。但是从软件无线电的要求来看，带通采样的带宽应是越宽越好，这样对不同基带带宽的信号会有更好的适应性， 在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少，有利于 简化系统设计。另外，当对于一个频

4、率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对 提高采样量化的信噪比是不利的。所以在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一 些，使瞬时采样带宽尽可能宽。但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流 速率很高。因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹。实际对单信号采样时采样率是不高的。所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的。多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据。、带通采样过程待采样信号为中频是100MHz，带宽为2MHz的带通信号：fc0=100e6;/中频频率fc1=99e6;/信号一的频率fc2=101e6;/信号二的频率fs1=3e6;/欠

5、采样的采样频率fs2=4e6;临界采样采样频率fs3=6e6;/大于2倍带宽的采样速率f0=250e6/用以模拟连续信号的离散信号米样速率（远大于ny quist 率）t=0:1/f0:1e-6;xt0=2*cos（2*pi*fc1*t）+4*cos（2*pi*fc2*t）;待采样信号的波形和频谱如图所示：图1原信号波形及频谱按照如上的三种采样频率对待采样信号进行采样，得到的三个信号及其幅度谱如图所示:1）欠采样条件下得到的采样信号：欠采祥值号波形欠采样信号频谱图2欠采样信号的波形及幅度谱2）临界采样:临界采样倍号波形临界采择信号频谱15001OOC60C0.533 541 522.£

6、;数字频率X 10"图3临界采样信号的波形及幅度谱3）满足采样条件的采样信号大于临界采样信号液形X丈于临界采样信号频谱16001000634数字频率x 10®图4正常采样信号的波形及幅度谱三、信号重建1)设计通带为99101MHz的4阶巴特沃兹一型IIR滤波器来作为信号恢复的模拟滤波器，滤 波器的设计过程及幅频响应特性如图所示：fs=250e6;N=4;figure®Wn = 0.792 0.808;b,a=butter(N,Wn, 'bandpass);h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title(&#

7、39;Amplitude Resp on se');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');UP5一qle<2468101214Frequency (Hz)只141 2Amplitude Response9 a图1滤波器的幅度响应2)将三种采样信号的到的数据流通过信号恢复滤波器，即上述的巴特沃兹一型滤波器，得到的结果如下：欠采祥恢复图2欠采样恢复临界采样恢复图3临界采样恢复正常采样恢复图3正常采样恢复四、结果分析从结果可见：欠采样信号进行恢复时，从信号完整角度进行观察便可以发现信号的不同，缺少了原

8、信号的部分信息。而临界采样信号的恢复， 在信号周期上有一定的变化，比原信号的信息有所丢失。正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱。但由于所选取信号长度的问题，没能恢复全部信号，但这已经能够证明带通采样定理的正确性，即采样后的信号没有丢失原信号的信息。附:% ?2 e ? u ? e ? O% ?厂.?DD?卩? e ?afc=100MHz,D?o? 卩? e ?af1=99MHzo i f2=101MHz%2e ? u ? u ? e? 士 e?a3MHz? 0 4MHz? 0 6MHz% % B=2M Hz, Qi ? e ?卩士 2 e ? u ?卩? e' ?卩?t

9、士 ? ' ? ie±£ oD?o?卩?卩? X 2? a ? t? £ % clear all; clc; close all;fc0=100e6;fc1=99e6;%D?o?1i ?i ?efc2=101e6;%D?o?2i ?i ?efs1=3e6;%1丨6。 ?t 士 ? '? ii ?2 e ? u ? i ? efs2=4e6;%au ?2e ?u ?i ?efs3=6e6;%z oou ?t 士 ? '? i ?2 e ? u ? i ? ef0=250e6;%士 ie?-D?o? i ?2 e ? u ? i ? e

10、3; ? ±e ?2 e ? u ? i ? e ? o ? e y a ?%2 e ? u ? 0丨卩 ?2 e ? UX+ ?a?-? £ ?aD?o?%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6*f0;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt0);title(' ' y2 e ? u D?o?2)D?'xlabel('x');ylabel('xt');yjw0=fft(xt0,N);absy0=abs(yjw

11、0);f=(0:N-1)*f0/N;subplot(2,1,2);plot(f,absy0);title(' ' y2 e ? u D?o?卩)？ X'xlabel(' e y X ?卩?);elabel(' u ? e ?)X'% ?2 e ? u ? Qi ? ii ? 2 e ? u 2 - D? ° ?卩? X % t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5*fs1;xts1=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(2); subplot(2,1,1);plot(t,xts1);ti

12、tle('? 2e ?u D?o?2 );D?'xlabel('x');ylabel('xt');yjws1=fft(xts1,N);absys1=abs(yjws1);f=(0:N-1)*fs1/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys1);xlabel(' e y x ?卩？)再iabel(' u ? e ?)X'title('? 2 e ? u D?o?卩?)x'% % ?2 e ? u ? Qi ? du ?2 e ?2 - D? ° ?卩? X %t=0:1/fs2:5

13、e-5;N=5e-5*fs2;xts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,xts2);title(' du ?2 e ? u D?o?2 - D?'xlabel('x');ylabel('xt');yjws2=fft(xts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-1)*fs2/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys2);xlabel(' e y x ?卩?)；ylabel(' u ? e ?

14、)X'ti tle(' du ?2 e ? u D?o?卩)？ x'%G66udu ?2 e ? u ?卩?2 e ?2 - D? ° ?卩? X %t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;xts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t,xts3);ti tle(' '66Udu ?2 e ? u D?o?2 - D?'xlabel('x');ylabel('xt');yjws3=fft(xts3

15、,N);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-1)*fs3/N;subplot(2,1,2);P_2.(f-absys3)- x_abe一(- e yx 卞 Q鱼2be_(- - 0 3X、 se (- - 6 6 口 二 222 e 2 二 D2072 卞 2 X、 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

16、;&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&fs"250eaNUAfigure®Wn UO.792 0.808kb-allbuher(N-wn- -bandpass"_h-wllrreqz(b£Dp-2.(w、pls、2-abs(h)grid-s-e(_Amp-Ede Response)x-abe-(-Frequency (HZ)-= y-abe-(_Amp-Ede-=2 6 T

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18、o77=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &figured"y refs2Ai-<Dr(b-a->$s2)-P_2.(yrefs2=X_abe_(-Dy_abe一 (xrrebui一d-m_e(- 二 疗2 e 7 二)772、72 m: d i D7o77=&&&&&&a