高数A模拟卷2答案

1、北京林业大学20 07-20 08学年第 二 学期考试试卷(A)试卷名称：考试班级高等数学学号A课程所在院系：姓名理学院成绩一、填空：（每小题3 分，共30 分）1.已知 f ( x y, xy) x 2y2 ，则 f ( x, y) xy .2.limsin( xy )2=( x, y )(2,0)xy11yy3.设 ze x，则 dz12 ex (ydxxdy) .x4.设 曲 线 的 参 数 方程 是 xt2 , yarctan t, zt 4 ， 则 曲 线 在点 (1,1)处的切线方程是4x1y4z1214.25.若 曲 面 x22 y23z221 的 切 平 面 平 行 于 平 面

2、 x 4 y 6z 250 ，则切点坐标为(1, 2,2),(1,2,2).6.设 f ( x , y)x 4y4x 22xy y 2，已知点P(1,1)是函数的驻点，在空格中填入f ( x , y)在点 P 处取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值_极小值.7. 若 D 是以 (0,0),(0,1)为,顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(11x y)dxdy.D68 L为圆周 x2y24 ，计算对弧长的曲线积分x2y2 ds = 8 L9 设是柱面 x 2y 2a 2 在 0 z h 之间的部分，则对面积的曲面积分(x2y2 )dS2 a3h .10设 f (x) 是周期为2 的周期

3、函数， 它在区间 (21 x01,1的定义为 f (x)x，则 f ( x)x 01的傅里叶级数在x1 收敛于 3 2二、选择题：（每小题2 分，共 10 分）1.下列级数中收敛的是（C）（A ）4n8n（ B）4 n8n4n2n2n 4n8n8n（ C）8n（ D）8nn 1n 1n 1n 12.已知二元函数zf (x , y) 在点 ( x , y) 处可微分， 则在点 (x , y) 处不一定成立的是(D).A. 该函数在点 ( x , y) 处连续B. 该函数在点 ( x , y) 处的极限存在C. 该函数在点 ( x , y) 处的两个偏导数z ,z 存在D. 该函数在点 ( x ,

4、 y) 处的偏导数连续xy3.方程 x2y2z20 表示的二次曲面是 (C).A.球面B. 旋转抛物面C. 圆锥面D. 圆柱面4.设平面区域 D ( x , y ) | axa,xyDa1( x , y ) | 0x a ,xy ，a则（ A ）( x y c o sx s i yn d)x d yDA.2 cos x sin ydxdyB.2xydxdyC.4( xy cosx sin y)dxdyD. 0D1D1D12x2f ( x, y)dy 写成另一种次序的积分是5.二次积分 dx(A).00424yA.dyf ( x, y)dxB.dyf ( x, y)dx0y00424yC.dyx

5、2 f ( x, y)dxD.dyf (x, y)dx002三、（6 分） 若 zex2y2 z2确定 zz( x, y) ，求z和z .xy解 因 z2x 2 z zex2 y2 z2 ，xxzzx2 y2 z22 y 2ze（3 分）yy故 zx2y2 z22 ， zx2y2 z22x e222y e222（6 分）x1 2z exy zy12z exy z2u2u四、（6 分）设 u x( y) ,其中,二阶可导,证明uuxx yyx2 .证明： 因为u,u(y)（3 分）xy2u( y),2u（5分）x yyx2x故u2u( y)u2 u（6 分）xxyyx2五、（6分）求d，其中D是

6、由直线y1, x2, y x所围区域 .xyD解：先 y 后 x ， D :1yx1x，（ 3分）2故 xyd2xxydydx2x212 x1 239（6 分）xdxydyxy1 dx2xx dxD11111218六、（ 6 分）问( 1)n 1cos a是否收敛？若收敛， 是否绝对收敛？n 1n解收敛，且绝对收敛（3 分）na事实上， 因 ( 1) (1cos)a2而 n 1 2n2 收敛，故由比较判别法知，1 cos a2sin 2 aa2，（5 分）n2n2n2( 1)n 1cos a收敛 .n 1n从而( 1)n 1cos a收敛，而且绝对收敛 . （ 6 分）n 1n七、（ 7分）求

7、幂级数n 21x n 的收敛域与和函数 .n 1n解：因为： lim| an 1| 1 , x 1时级数发散， 收敛域为 (-1,1)（5 分）n ann21xnnxn1 xn xnx n 1dxxn 1dxxxn 1nn 1n 1 n0n 10n 1xxx1xln(1 x), ( 1x 1)（7 分）x0 1dx(1 x) 21x八、（ 6 分）将 f ( x)1展开为 ( x1) 的幂级数 .65x解：f ( x)116 5x15( x 1)（2 分）5( x 1)n5n ( x1)n (4x6)（6 分）n 0n 055九、（6 分）设是由曲线y22z4 所围成的闭区域， 求x绕 z 轴

8、旋转一周而成的曲面与平面 z0三重积分 I( x2y 2z)dv .解： 曲线y22z 绕 z 轴旋转一周而成的曲面方程为x2y22 z ，故在 xoy 面上的投影为x0Dxy : x2y28 ，（ 2 分）所以I( r 2z)rdrd dz2ddr12 ( r 2z)rdz256（6分）84002r3十、（6分 )设 L 是由曲线 x2y 22y ,x2y24y 与直线 x3 y0, y 3x 0 所围成区域 D的正向边界， 求(1y2yyyy2)dy x2cos )dx(sincosxLxxxx解 P1y 2yQyyyx2x2 cosxsincosxxxQ2y cos yy 2sin y2

9、xP2 y cos yy 2sin yxx2xx 3xyx2xx3xQP（2分）2xx y由 Green 公式有(1y2yyyy 2d=y)2xdxdy（3 分）x2c o s d x)( s i nxc o xsLxxxD= 23 d4 sinr 2 cos dr（4 分）2 sin6=2( 4323 )3sin 3cos d3644112131=14（6 分）3422=3十一、（7分）计算曲面积分 I2x3 dydz2y3dzdx (6z 1)dxdy , 其 中是 曲 面zx2y21( 1z 0) 的下侧 .解 :补充曲面 .1 : z0 ( x2y21)，方向为上侧（1 分）I2x3dydz2 y3 dzdx(6 z 1)dxdy2x3 dydz2 y3dzdx (6 z1)dxdy（ 3 分）11=(6 x26y26) dVdxdy2d1rdr06(r 2 1)dz3（7 分）00r 2 1x2y2 1十二、（ 4 分）利用求条件极值的方法，证明对任何