第二章矩阵及其运算

1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算一、主要内容一、主要内容1 1、矩阵的可逆性、矩阵的可逆性2 2、求逆矩阵、求逆矩阵3 3、矩阵的运算、矩阵的运算.,)1( ), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩阵矩阵简称简称列矩阵列矩阵行行叫做叫做列的数表列的数表行行排成排成个数个数由由nmnmaaaaaaaaaAnmnjmianmmnmmnnij 矩阵的定义矩阵的定义.,复复矩矩阵阵元元素素是是复复数数的的矩矩阵阵叫叫做做实实矩矩阵阵元元素素是是实实数数的的矩矩阵阵叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第阵阵叫叫做做矩矩的的元元素素个个数数叫叫做做矩矩阵阵其其中中jiAaAnmij

2、 .),()( )1(AAnmaAaAnmijijnm 也记作也记作矩阵矩阵或或式可简记为式可简记为.)(;2121行行矩矩阵阵叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩阵阵叫叫做做列列矩矩阵阵只只有有一一列列的的矩矩阵阵aaaAaaaAnm 方阵列矩阵行矩阵方阵列矩阵行矩阵.,)1(阶方阵阶方阵称为称为时时当当式式对对nAnm 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵它们是同型矩阵.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 记记作作相相等等与与矩矩阵阵那那么么就就称称矩矩阵阵即即们们的的对对应应元元素

3、素相相等等并并且且它它是是同同型型矩矩阵阵与与如如果果同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵零矩阵单位矩阵零矩阵单位矩阵.,O记作记作零矩阵零矩阵元素都是零的矩阵称为元素都是零的矩阵称为., 1 Enn简记作简记作阶单位阵阶单位阵叫做叫做阶方阵阶方阵其余元素都是零的其余元素都是零的主对角线上的元素都是主对角线上的元素都是.,)( ,)(,)(的的和和与与称称为为矩矩阵阵加加法法定定义义为为为为两两个个同同型型矩矩阵阵设设BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 交换律交换律结合律结合律矩阵相加矩阵相加).( ,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并规规定定从从而而

4、有有负负矩矩阵阵的的称称为为矩矩阵阵记记设设ABBA )()(CBACBA ).(,aAAAAAij 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数运算规律运算规律);()(AA ;)(AAA .)(BABA 数乘矩阵数乘矩阵.), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 记记作作其其中中矩矩阵阵是是一一个个的的乘乘积积与与规规定定设设矩阵相乘矩阵相乘运算规律运算规律);()(BCACAB );(),()()(为数为数其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAA

5、CBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm n阶方阵的幂阶方阵的幂.,111121是正整数是正整数其中其中定义定义阶方阵阶方阵是是设设kAAAAAAAAnAkk .,)(, 为正整数为正整数其中其中lkAAAAAklkllklk .)(BAABkkk 一般地一般地方阵的运算方阵的运算方阵的行列式方阵的行列式.det,AAAAn或或记记作作的的行行列列式式阵阵叫叫做做方方的的元元素素所所构构成成的的行行列列式式阶阶方方阵阵由由运算规律运算规律.;,BAABAAnBAn 则则阶方阵阶方阵为为为数为数设设转置矩阵转置矩阵.,AAAT记记作作的的转转置置矩矩阵阵叫叫做做阵阵到到一一个个新新矩矩的

6、的行行换换成成同同序序数数的的列列得得把把矩矩阵阵.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵对称矩阵对称矩阵.,为对称矩阵为对称矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnAT 反对称矩阵反对称矩阵.,矩阵矩阵为反对称为反对称则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnAT 幂等矩阵幂等矩阵.,2为幂等矩阵为幂等矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AAAnA 正交矩阵正交矩阵.,正交矩阵正交矩阵为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AEAAAAnATT 对角矩阵对角矩阵.,为对角矩阵为对角矩阵则称则称素全为零素全为零其余元其余元

7、如果除了主对角线以外如果除了主对角线以外阶方阵阶方阵为为设设AnA上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵角矩阵下三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵角矩阵伴随矩阵伴随矩阵. 212221212111的伴随矩阵的伴随矩阵叫做方阵叫做方阵方阵方阵所构成的所构成的的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴随矩阵具有重要性质伴随矩阵具有重要性质定义定义., 1AAAA 矩矩阵阵记记作作的的逆逆的的逆逆矩矩阵阵是是唯唯一一的的则则有有逆逆矩矩阵阵若若逆矩阵逆矩阵.),( , 的逆矩阵的逆矩阵称为称为且矩阵且矩阵秩的秩的、满、满或非奇异的、非退化的或非奇异的、非退化的是可逆的是可逆的则称矩阵则称矩阵使使如果存在矩阵如果存在矩阵阶方阵阶方阵为为设设ABAEBAABBnA 相关定理及性质相关定理及性质. 0 AA可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是方阵方阵.,1AAAA 则则可逆可逆若矩阵若矩阵.)()();0(1)( ;)(111111AAAAAATT .)( ,111ABABABBA 且