解三角形与数列

1、解三角形及其数列专练1(2016·吉林)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m(cosA，sinA)，n(2cosA，2cosA)，m·n1.(1)若a2，c2，求ABC的面积；(2)求的值解析(1)因为m·n2cos2Asin2Acos2Asin2A12cos(2A)11，所以cos(2A)1.又<2A<2，所以2A，A.由124b22×2×b×cos，得b4(舍负值)所以ABC的面积为×2×4×sin2.(2)2.2(2016·福建)在ABC中，B，点D在边A

2、B上，BD1，且DADC.(1)若BCD的面积为，求CD；(2)若AC，求DCA.解析(1)因为SBCD，即BC·BD· sinB，又B，BD1，所以BC4.在BDC中，由余弦定理得，CD2BC2BD22BC·BD·cosB，即CD21612×4×1×13，解得CD.(2)在ACD中，DADC，可设ADCA，则ADC2，又AC，由正弦定理，有，所以CD.在BDC中，BDC2，BCD2，由正弦定理得，即，化简得cossin(2)，于是sin()sin(2)因为0<<，所以0<<，<2<，所以

3、2或2，解得或，故DCA或DCA.3(2017·河北)设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)sinAab(sinC2sinB)，a1.(1)求角A的大小；(2)求ABC的周长的取值范围解析(1)由(a2b2c2)sinAab(sinC2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinAab(sinC2sinB)，即2cosCsinAsinC2sin(AC)，化简得sinC(12cosA)0.因为sinC0，所以cosA，又A(0，)，所以A.(2)因为A，a1，由正弦定理可得bsinB，csinC，所以ABC的周长labc1sinBsinC1sinBsin

4、(B)1(sinBcosB)1sin(B)因为B(0，)，所以(B)(，)，则sin(B)(，1，则labc1sin(B)(2，1. 4已知函数f(x)(sinxcosx)·cosx(其中>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.(1)求yf(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2ba)cosCc·cosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断ABC的形状解析(1)f(x)sinx·cosxcos2xsin2x(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对

5、称中心的距离为，所以T，所以，所以1. 所以f(x)sin(2x)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)因为(2ba)cosCc·cosA，由正弦定理，得(2sinBsinA)cosCsinC·cosA，即2sinBcosCsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB，因为sinB0，所以cosC，所以C.所以0<B<，0<2B<，<2B<.根据正弦函数的图像，可以看出f(x)的最大值为f(B)1，此时2B，即B，所以A，所以ABC为等边三角形5(2017·山西)已

6、知f(x)cosx(sinxcosx)cos2(x)1(>0)的最大值为3.(1)求函数f(x)的对称轴；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若不等式f(B)<m恒成立，求实数m的取值范围解析(1)f(x)cosx(sinxcosx)cos2(x)1sinxcosxcos2xsin2x1sin2xcos2x1.1，由题意知： 13，212，>0，2.f(x)sin2xcos2x12sin(2x)1.令2xk，解得x，(kZ)函数f(x)的对称轴为x(kZ)(2)，由正弦定理，可变形得，sin(AB)2cosAsinC，即sinC2cosAsinC，si

7、nC0，cosA，又0<A<，所以A.f(B)2sin(2B)1，只需f(B)max<m，0<B<，<2B<，<sin(2B)1，即0<f(B)3. m>3.数列小题专练一、选择题1等差数列an的前n项和为Sn，若S1122，则a3a7a8()A18 B12 C9 D6 答案D解析由题意得S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6，故选D.2古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺

8、，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为()A7 B8 C9 D10 答案B解析设该女子第一天织布x尺，则5，得x，前n天所织布的尺数为(2n1)由(2n1)30，得2n187，则n的最小值为8.3各项均为正数的等差数列an中，a4a936，则前12项和S12的最小值为()A78 B48 C60 D72 答案D解析S126(a1a12)6(a4a9)6×272，当且仅当a4a96时等号成立5已知anlogn1(n2)(nN*)，观察下列算式：a1·a2log23·log34·2；a1·

9、;a2·a3·a4·a5·a6log23·log34··log78···3，；若a1·a2·a3··am2 016(mN*)则m的值为()A22 0162 B22 016 C22 0162 D22 0164 答案C解析由于a1·a2·a3··am····2 016，可得lg(m2)2 016lg2lg22 016，可得m222 016，解得m22 0162.7(2016

10、3;福建质检)已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，则使得Tn>1的n的最小值为()A4 B5 C6 D7 答案C解析通解：设等比数列an的公比为q(q>1)，因为a2a4a3，所以a32a3，又an>0，所以a31，所以等比数列an的前n项积Tna1·a2·a3·a4··an··a3·a3q··a3qn3qq，则使得Tn>1的n的最小值为6，故选C.优解：设等比数列an的公比为q(q>1)，因为a2a4a3，所以a32a3，又

11、an>0，所以a31，所以T4a1·a2·a3·a4··a3·a3q<1，排除A；T5·a3q21，排除B；T6T5·a3q3q3>1，故选C.8(2016·长沙调研)已知数列an的前n项和为Sn(Sn0)，a1，且对任意正整数n，都有an1SnSn10，则a1a20()A. B. C. D. 答案A解析由条件可得an1SnSn1，即Sn1SnSnSn1，所以1，则数列是公差为1的等差数列，故(n1)×12n1n1，故Sn，则a20S20S19，故a1a20.9(2016

12、83;郑州预测)正项等比数列an中的a1、a4 031是函数f(x)x34x26x3的极值点，则loga2 016()A1 B2 C. D1 答案A解析因为f(x)x28x6，且a1、a4 031是方程x28x60的两根，所以a1·a4 031a2 01626，即a2 016，所以loga2 0161，故选A.10(2015·洛阳调研)已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S5，则数列的前n项和为()A1 B2 C2 D2 答案B解析设等差数列an的公差为d，则Snna1d，因为S36，S5，所以解得所以ann1，设数列的前n项和为Tn，则Tn，Tn，两式相减得Tn()

13、(1)，所以Tn2.11在等差数列an中，a12 017，其前n项和为Sn，若2，则S2 017的值等于()A2 016 B2 017 C2 015 D2 018 答案B解析2，2，故a12a104.2d4，d2，S2 0172 017a1×d2 017×(2 017)2 017×2 0162 017.12(2016·长沙四校)已知函数f(x)为奇函数，g(x)f(x)1，即ang()，则数列an的前2 013项和为()A2 014 B2 013 C2 012 D2 011 答案B解析因为f(x)为奇函数，所以函数yf(x)的图像关于点(，0)对称，则函

14、数yg(x)的图像关于点(，1)对称，故函数g(x)满足g(x)g(1x)2.设Sg()g()g()，倒序后得Sg()g()g()，两式相加后得2Sg()g()g()g()g()g()2 013×2，所以S2 013.二、填空题15设数列an的前n项和为Sn，且a11，an12Sn3，则S4_答案66解析依题an2Sn13(n2)，与原式作差得，an1an2an，n2，即an13an，n2，可见，数列an从第二项起是公比为3的等比数列，a25，所以S4166.16若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_答案22n12解析由等比数列的性质，得a3a5(a

15、2a4)q，解得q2，又a2a4a1(qq3)20，a12. Sn2n12.17设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.则a2_，an_答案4n2解析依题意，2S1a21，又S1a11，所以a24.当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1.又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列所以1(n1)×1n.所以ann2.18等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_49解析由Snna

16、1d，得解得a13，d.则Sn3n·(n210n)，所以nSn(n310n2)令f(x)(x310x2)，则f(x)x2xx(x)，当x(1，)时，f(x)递减；当x(，)时，f(x)递增，又6<<7，f(6)48，f(7)49，19已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列xn是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)f(x9)f(x10)f(x11)0，则x2 017_答案4 015解析因为f(x)是奇函数，在R上是增函数，且数列xn是递增数列，所以由f(x8)f(x9)f(x10)f(x11)0可得x8x11x9x100.由数列an的公差为2，得x117，所以xnx

17、1(n1)d2n19.所以x2 0172×2 017194 015.20.已知an是等差数列，设Tn|a1|a2|an|(nN*)某同学设计了一个求Tn的部分算法流程图(如图)，图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn_答案n29n40解析由流程图可知该等差数列的通项公式是an2n10或an2n10.不妨令an2n10，则当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an20n29n40.1在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_答案20解析方法一：设等差数列的公差为d，则a3a82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20

18、.方法二：an为等差数列，3a5a72a5(a5a7)2a52a62(a5a6)2(a3a8)20.2已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d(d1)，且a1b1，a4b4，a10b10，则a1和d的值分别为()A.， B， C， D.， 答案D3设数列an是公差不为0的等差数列，Sn是数列an的前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则()A3 B4 C6 D7 答案D解析由S1，S2，S4成等比数列，得S22S1S4，即为(2a1d)2a1(4a16d)又d0，故可化简为d2a1，所以7.4已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7 答案D解

19、析an为等比数列，a5a6a4a78.联立可解得或当时，q3，故a1a10a7q37；当时，q32，同理，有a1a107.数列大题专练1(2016·湖北)已知数列an的前n项和为Sn，且满足an23Sn(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列anbn的前n项和Tn.解析(1)当n2时，由an23Sn，得an123Sn1，即得4anan1，而当n1时，a123a1，故a1.因而数列an是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为an·()n1()2n1(nN*)(2)由(1)得bnlog2an12n(nN*)数列anbn的前n项和Tna1b1a2b2

20、anbn(a1an)(b1bn)n2×()n，(nN*)2设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意nN*，都有2Sn(n1)an.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn<1.解析(1)因为2Sn(n1)an，当n2时，2Sn1nan1，两式相减，得2an(n1)annan1，即(n1)annan1，所以当n2时，所以. 因为a12，所以an2n.(2)因为an2n，令bn，nN*，所以bn.所以Tnb1b2bn(1)()()1.因为>0，所以1<1.因为f(n)在nN*上是递减函数，所以1在nN*上是递增的，所以当n1时，Tn取最

21、小值. 所以Tn<1.3(2016·长沙调研)已知数列an与bn满足an1an2(bn1bn)(nN*)(1)若a11，bn3n5，求数列an的通项公式；(2)若a16，bn2n(nN*)，且an>2nn2对一切nN*恒成立，求实数的取值范围解析(1)因为an1an2(bn1bn)，bn3n5，所以an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6，所以an是首项为a11，公差为6的等差数列所以an6n5(nN*)(2)因为bn2n，所以an1an2(2n12n)2n1，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12，当n1时，a16，符

22、合上式，所以an2n12(nN*)，由an>2nn2得>，所以当n1，2时，取最大值，故的取值范围为(，)4(2016·衡中一调)已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和解析(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)，又因为q1，所以a2a3. 由a3qa1，得q2.当n2k1(kN*)时，ana2k12k12；当n2k(kN*)时，ana2k2k2，所以

23、数列an的通项公式为an(2)由(1)得bn，nN*. 设数列bn的前n项和为Sn，则Sn1×2×3×(n1)×n×，Sn1×2×3×(n1)×n×，上述两式相减，得Sn2，整理，得Sn4，nN*.5已知数列an的前n项的和为Sn，且a1，an1an.(1)证明：数列是等比数列；(2)求通项公式an与前n项的和Sn；(3)设bnn(2Sn)，nN*，若集合Mn|bn，nN*恰有4个元素，求实数的取值范围解析(1)因为a1，an1an，当nN*时，0.又因为，(nN*)为常数，所以是以为首项，为公

24、比的等比数列(2)由是以为首项，为公比的等比数列，得×()n1()n. 所以ann×()n.由错位相减法得Sn2()n1n()n.(3)因为bnn(2Sn)(nN*)，所以bnn()n1n2()n.因为bn1bn(3n2)()n1，所以b2>b1，b2>b3>b4>.因为集合Mn|bn，nN*恰有4个元素，且b1b4，b22，b3，b5，所以<.数列专练(二)·1(2017·长沙模拟)已知数列an满足a12n1，(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和解析(1)当n1时，由题设知a14；当n2时，由题设a12n1知a1

25、2n，两式相减得2n12n， 即ann×2n(n2)，故an的通项公式为an(2)设an的前n项和为Sn，则Sn1×222×22n×2n，2Sn1×232×23(n1)×2nn×2n1，两式相减得Snn×2n1(22232n)n×2n14×(2n11)(n1)×2n14.2(2016·四川)已知等比数列an的首项a1，前n项和Sn满足S1，2S2，3S3成等差数列(1)求an的通项公式；(2)设bn2()，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn<.解析(1)因为S1，2S2，3S3成等差数列，所以4S2S13S3，当q1时，不符合；当q1时，得4a13，故q或q0(舍去)综上可知，an()n.(2)由(1)知an()n，所以bn2211(1)(1)，由<，>得<，所以bn<，从而Tnb1b2bn<()()()<，因此Tn<.3(2016·湖南)已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S4，B60°，且a2c22b2；等差数列an中，a1a，公差db.数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn30，nN*.(1)求数列an、b