高等数学下册知识点精编版

1、高等数学下册知识点第七章空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A( 3,2, 1)和点 B( 7,2,3) ，取点 M 使AM2MB ，则向量 OM =。2 已知点A(0,1,2) 和点 B(1,1,0) ，则 AB0=。3、设向量 a 与三个坐标面的夹角分别为,，则 cos2cos2cos2=。4、设向量 a 的方向角,为锐角，且 a4 ，则 a =。35、向量 a(7,2,5)在向量 b( 2,2,1)上的投影等于。6、过点 P 1， 2，1 且与直线 xt2， y3t 4， z t1 ，垂直的平面方程为 _ 7 、已知两直线方程是L1 :x 1 y 2 z 3， L2x 2 y

2、1 z，则过 L1 且平行 L2 的平面方程为101:211_x1y5z 8L2 :xy60与 L28、设直线L1 :121 ,，则 L1的夹角为（）2 y z 3 0（A）6（ B）（ C）3（ D）429、平面 AxByCzD0过 x 轴，则（）（A） AD0（ B ）B0,C0（C） B0,C0（D） BC010、平面 3x5z10（ ）（ A ）平行于 zox 平面 （ B）平行于 y 轴（ C）垂直于 y 轴（ D）垂直于 x 轴11、点 M (1,2,1) 到平面 x2 y2z100 的距离为（）（A ）1 （B） 1（C） 1 （D） 1312、与 xoy 坐标平面垂直的平面的一

3、般方程为。13、过点 (1,2,1)与向量 S1i2 j3k, S2jk 平行的平面方程为。14、平面 19x4y8z210 和19x4 y8z420之间的距离等于。15、过点 (0,2,4) 且与平面 x2z1及 y3z2 都平行的直线方程为。16、过点 (2,0,3) 并与x2y 4z70垂直的平面的方程为。3x 5y 2z 1 0二、完成下列各题1、设 OCa13b, OB2a8b, OC(ab) 与 b 是不平行的非零向量，求的值，使 A、B、C 三点在同一直线上。2、已知不平行的两向量 a 和 b ，求它们的夹角平分线上的单位向量。3、设点 A(1,0,1) 为矢量 AB 的起点，A

4、B10, AB 与 x 轴、 y 轴的夹角分别为60 ,45 ，试求：（ 1） AB 与 z 轴的夹角v；（）点B的坐标。24、求与向量 a2ij2k 共线且满足 ax18 的向量 x 。5、若平面过 x 轴，且与 xoy 平面成30的角，求它的方程。第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；13、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a( ax ,ay, az ) ， b(bx ,by ,bz ) ，则 a b (axbx , ayby , azbz

5、) ,a ( ax , ay , az ) ；5、向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： rx2y2z2；2） 两点间的距离公式：AB(x2x1 )2( y2y1 )2( z2 z1 )23） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4）方向余弦： cosx , cosy , coszrrrcos2cos2cos215） 投影： Pr ju aa cos，其中为向量 a 与 u 的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积： abab cos1） aa2a2） abab0a b a x b xa y b ya z bz2、向量积： cab大小：absin，方向： a , b , c 符合右手规则

6、1） aa02） a / bab02ijkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念： S : f ( x, y , z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f ( y , z)0 ，绕 y 轴旋转一周： f ( y,x 2z 2 ) 0绕 z 轴旋转一周： f (x 2y 2 , z) 03、柱面：F ( x , y )0F ( x, y )0 表示母线平行于 z 轴，准线为的柱面z04、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：x 2y 2z 2a 2b 2x2y2z21a2b2c2x旋转椭球面：a2y 2z212a 2c 2x 2y 2z21

7、3）单叶双曲面： a 2b 2c 23x 2y 2z 24）双叶双曲面： a 2b 2c 2x 2y2z5）椭圆抛物面：a 2b 2x 2y 26）双曲抛物面（马鞍面） ： a 2b 2x 2y 217）椭圆柱面：a 2b 2x 2y 218）双曲柱面：a 2b 29）抛物柱面： x 2ay（四）空间曲线及其方程F ( x , y , z)01、一般方程：G ( x , y , z)0xx ( t )2、参数方程：yy ( t ) ，如螺旋线：zz ( t )3、空间曲线在坐标面上的投影1zx a cos t y a sin t z btF ( x, y, z)0H ( x, y ) 0G (

8、 x, y , z)，消去 z ，得到曲线在面xoy 上的投影0z 0（五）平面及其方程1、点法式方程：A ( xx0 )B ( yy0 )C ( zz0 )0法向量： n( A, B, C) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )42、一般式方程：AxByCzD0xyz1截距式方程：abc3、两平面的夹角： n1( A1, B1 ,C1 ) ， n2(A2,B2,C2) ，cosA1 A2B1 B2C1C2A12B12C12A22B22C2212A1 A2B1B2C1C20/A1B1C112A2B2C24、点 P0 ( x0 , y0 , z0 )到平面 AxByCz D 0 的距离：dA

9、x0By0 Cz0DA2B2C 2（六）空间直线及其方程A1 x B1 y C1 z D 101、一般式方程：A2 x B2 y C 2 z D 202、对称式（点向式）方程：xx0yy0z z0mnp方向向量： s( m,n, p) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )xx0mt3、参数式方程：yy0ntzz0pt4、两直线的夹角：s1(m1, n1 , p1 ) ， s2(m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1n2 p1 p2m12n12p12m22n22p225L1L2m1m2n1n2 p1 p2 0L1/ L2m1n1p1m2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面

10、上的投影的夹角，AmBnCpsinA 2B 2C 2m 2n 2p 2L /AmBnCp0LABCmnp第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：zf ( x, y) ，图形：3、极限：limf ( x, y)A( x, y)( x0 , y0 )4、连续：limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x , y)( x0 , y 0 )5、偏导数：f x (x0 , y0 )limf ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )xx0f y (x0 , y0 )limf (

11、x0 , y0y)f ( x0 , y0 )0yy6、方向导数：ff cosfcos其中,为 l的方向角。lxy7、梯度： zf ( x, y) ，则 gradf ( x0 , y0 )f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、全微分：设zf ( x, y) ，则 dzz dxz dyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：612偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件定义243函数连续2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则z若 zf (u, v

12、), uu( x, y), vv( x, y) ，则vyzzuzvzz uzvxu xv x ， yu yv y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数 zf (x, y) 的极值f x0解方程组f y0 求出所有驻点，对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，令A f xx (x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy (x0 , y0 ) ，若 ACB20 ， A0，函数有极小值，若 ACB 20 ， A0 ，函数有极大值；若 ACB20 ，函数没有极值；若 ACB20 ，不定。2）条件极值：求函数 zf ( x, y

13、) 在条件(x, y)0 下的极值7令： L( x, y)f (x, y)( x, y) Lagrange 函数Lx0L y0解方程组( x, y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx (t )曲线: yy ( t ) ，则上一点 M (x, y0, z ) （对应参数为 t0）处的00zz(t )xx0yy0zz0切线方程为： x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程为：x (t 0 )( xx0 )y ( t 0 )( yy0 )z (t 0 )( z z0 ) 02）曲面的切平面与法线曲面: F ( x, y , z)0 ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处

14、的切平面方程为：Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0xx0yy0zz0法线方程为：Fx( x0, y0, z )Fy( x , y0, z )Fz( x , y, z )000000第十章重积分（一）二重积分n1、定义：f ( x, y) dlimf (k ,k )kD0k 12、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标D( x, y)1 (x)y2 ( x)axb，8b2 ( x)f ( x, y)dxdydxf ( x,y)d ya1(

15、x)DD( x, y)1 ( y)x2 ( y)cyd，ddy2 ( y)f ( x, y)dxdyf ( x,y)d xDc1 ( y)2）极坐标D( , )1( )2 ()2 ()f (x, y)dxdydf (cos ,sin)d1 ()D（二）三重积分n1、定义：f ( x, y, z) dvlimf ( k , k ,k ) vk0k 12、性质：3、计算：1）直角坐标f ( x, y, z) d vz2 ( x, y )f (x, y, z) dzd xd y“ 先一后二 ”Dz1 ( x, y)f ( x, y, z) d vbf (x, y, z) d xd yd z-“ 先二

16、后一 ”aDZ2）柱面坐标xcosysin，f ( x, y, z)d vf (cos ,sin , z) d d dzzz3）球面坐标9xr sincosy r sin sin z r cosf (x, y, z)d vf (r sincos, r sinsin, r cos)r 2 sindr d d（三）应用曲面 S : zf ( x, y) , ( x, y)D 的面积：AD1 ( z)2( z)2 d x d yxy第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、定义：f ( x, y)ds limf (i ,i )siL0i 12、性质：1）f (x, y)(x, y)dsL

17、f ( x, y)dsg (x, y)ds.LL2）f (x, y)dsL1f (x, y)dsf (x, y)ds.( LL1L2 ).LL23）在 L 上，若f ( x, y)g( x, y) ，则Lf ( x, y)dsg(x, y)ds.L4）dsl ( l为曲线弧L的长度)L3、计算：x(t ),(t) ，其中(t ), (t ) 在设 f ( x, y) 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为y(t ), , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t )0 ，则Lf ( x, y)d sf (t ),(t )2 (t)2 (t )dt,()（二）对坐标的曲线积分101、定义

18、：设L为 xoy 面内从A 到 B 的一条有向光滑弧，函数P ( x, y )， Q( x, y ) 在 L 上有界，定义nP ( x, y )d xlimP ( k ,k )xk，L0k 1nLQ ( x, y)d ylimQ (k ,k )yk .0k 1向量形式：Fd rP( x, y)d xQ ( x, y)d yLL2、性质：用 L表示 L 的反向弧 ,则F (x, y) drF ( x, y)drLL3、计算：设 P( x, y), Q( x, y) 在有向光滑弧L 上有定义且连续 ,L 的参数方程为x(t),(t :) ，其中(t),(t ) 在 , 上具有一阶连续导数，且2 (

19、t )2 (t )y0 ，(t ),则P ( x, y )d xQ( x, y)d y P(t ),(t )(t )Q( t),( t )( t )dtL4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为 L：x(t )， L 上 点 ( x, y) 处 的 切 向 量 的 方 向 角 为 ： ,y(t )，cos(t )， cos(t)2 (t)22 (t )2 (t )，(t )则PdxQdy(P cosQ cos)ds.LL（三）格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线L 围成，函数 P( x, y) , Q( x, y) 在D 上具有连续一阶偏导数,则有QP dxd yPdxQ

20、d yDxyL2、 G 为一个单连通区域，函数P(x, y) ,Q( x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则11QP曲线积分PdxQdy 在 G 内与路径无关xyL曲线积分PdxQdy0LP( x, y)dxQ( x, y) d y 在 G 内为某一个函数u( x, y) 的全微分（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数f ( x, y, z) 是定义在上的一个有界函数，n定义f (x, y, z) dSlimf (i ,i ,i ) Si0i12、计算：“ 一单二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ，则f ( x, y, z) dSf x, y, z

21、(x, y)12(x, y) zy2Dx yzx(x, y) dxd y（五）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 是 定 义 在上的有界函数，定义R( x, y, z)d xdylimnR(i ,i ,i )(Si )xy01in同理，P( x, y, z)d ydzlimP(i,i ,i )(Si ) yz01iQ(x, y, z)d zdxlimnR(i ,i )(Si )zxi0i13、性质：1）12 ，则PdydzQdzdxR dx

22、dyPdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxR dxdy122）表示与取相反侧的有向曲面,则R d xdyR d xdy124、计算：“ 一投二代三定号”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ， zz( x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数，R(x, y, z) 在上连续，则R( x, y, z)d xdyR x, y, z(x, y)dxdy , 为上侧取“ + ”，为下侧取“ - ” .Dx y5、两类曲面积分之间的关系：Pd ydz Qdzdx Rdxd yPcosQcosRcosd S其中,为有向曲面在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向角。（六）

23、 高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧 ,函数 P, Q, R在上有连续的一阶偏导数 ,则有PQRd x d y d zP d y d zQ d zd xRdx d yxyz或PQR d x d y d zPcosQcosRcosd Sxyz2、通量与散度通量：向量场A(P,Q, R) 通过曲面指定侧的通量为：Pd ydzQdzd xRd xd y散度： divAPQRxyz（七） 斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的 边 界是分段光滑曲线,的 侧 与的正向符合右手法则,P (x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在包

24、含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有RQPRQPP d x Q d y Rd zyd y d zzxd zd xd xd yzxy为便于记忆 ,斯托克斯公式还可写作 :d y d z d zd x d x d yxyzP d xQ d yRd zPQR132、环流量与旋度环流量：向量场A(P,Q,R) 沿着有向闭曲线的环流量为P d xQ d yRd z旋度： rot ARQ ,PR ,QPyzzxxy第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：unu1u2u3unn1n部分和： Snuku1u2u3un ，k 1正项级数：un ， un0n 1交错级数：(1)n un ，

25、 un0n 12）级数收敛：若lim SnS 存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n 13）条件收敛：un 收敛，而un 发散；n1n 1绝对收敛：un 收敛。n 12、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数an ，bn 收敛，则(anbn ) 收敛；n 1n 1n 13）级数an 收敛，则任意加括号后仍然收敛；n 14）必要条件：级数un 收敛lim un 0 . （注意：不是充分条件！ ）n 1n143、审敛法正项级数：un ， un0n 11）定义： lim SnS 存在；n2）un 收敛Sn有界；n13）比较审敛法：n 1un ，vn 为正项级数，且 unv

26、n(n1,2,3, )n 1若vn收敛，则un 收敛；若un 发散，则vn发散 .n 1n1n 1n 14）比较法的推论：un ，vn为正项级数， 若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 收敛，n1n 1n 1则un 收敛；若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn发散，则un 发散 .n1n 1n 15）比较法的极限形式：un ，vn 为正项级数，若 lim unl(0l) ，而vn收敛，则unn1n 1nvnn 1n 1收敛；若lim un0 或 lim un，而vn 发散，则un 发散 .nvnnvnn 1n 1）比值法：un为正项级数，设lim un 1l ，则当l 1时，级数un收敛；则当l 1时，级数un6nun