第一章随机事件与概率

1、第一章 随机事件与概率本章小结概率论是研究随机现象及其统计规律性的数学学科。本章主要介绍概率论的两个主要概念：随机事件及其概率。主要内容包括：随机事件和随机事件的概率的定义、古典概型和几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式、以及事件的独立性等。这些内容是进一步学习概率论的基础。§1.1随机事件（一） 基本概念：随机现象、随机现象的统计规律性、随机试验、样本点、样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件等。（二） 事件的关系和运算事件的包含、相等、并（和）、交（积）、差、互不相容事件、对立事件及完备事件组。定义见教材P4-P6.（三） 随机事件的运算律（相应于集合运算性质都

2、成立）1 交换律：2 结合律：3 分配律：4 De Morgan 对偶律：§1.2 随机事件的概率（一） 概率的定义1 古典概型中概率的定义:P(A)=2 几何概型中概率的定义： 3 统计定义：当试验次数n增大时，事件A的频率在某一数p附近摆动，则P(A)=p.4 公理化定义：对样本空间中任意事件A,定义数P(A)满足： （二） 概率的性质123 若4 若5（三） 条件概率1 定义：2 性质：具有无条件概率的一切性质。3 三个重要公式：乘法公式 全概率公式： 贝叶斯公式：（四） 独立性1 定义：2 性质：3 两两独立与相互独立：设任意三事件A,B,C,满足 4 贝努利概型：难点解析1

3、. 本章内容有三个难点:(1) 古典概型与几何概型中概率的计算；(2) 条件概率的理解和计算;事件的独立性的理解和判断。(3) 全概率公式和贝叶斯公式。古典概型是概率论初期的研究对象，是最简单的一类概率模型。这种概率模型满足两个假设条件：基本结果只有有限个；每个基本结果出现的可能性相同。所以古典概型又叫等可能概型。它的计算公式虽然简单：，但由于很多问题中k,n的确定都用到排列组合知识，所以使得这部分计算成为比较难以解决的问题。学习这部分内容时，首先应复习以前的加法原理，乘法原理，排列数，组合数等知识，然后多做题目，对同一类型的进行归纳总结。 几何概型是对古典概型的推广。它将基本事件推广到有无限

4、多个情形。这时试验的样本空间是中的一个区域，每一个样本点出现的可能性相同。则这时点落入区域A内的概率等于当n=1,2,3时，分别表示长度、面积和体积。 条件概率的计算有两种方法：（1） 古典概型用缩减样本空间法；（2） 其他概型用定义和公式法。注意：条件概率和无条件概率的大小无确定关系。若全概率公式应用于求某一较杂事件的概率时，直接计算不易求出， 这是将这一复杂事件分解成两个或若干个小事件的和，而这些小事件的概率是容易求出的。做这样题目时，可以将一个大事件的分解画成概率树的形式，直观易懂。贝叶斯公式是全概率公式的推广。它的思路和全概率公式正好相反，全概率是由因求果，而贝叶斯是由果求因，所以它又

5、称贝叶斯决策。主要应用于鉴别废品来源。习题分析本章习题基本包含以下几种题型：1、事件的表示及事件的关系和运算； 2、应用概率性质计算概率； 3、古典概型和几何概型的概率计算； 4、利用独立性和伯努利概型计算概率；5、条件概率的计算；6、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式下面以习题一中的几个习题为例做出分析与解答.例1 P29 part(A) 3.例2 P29 part(A) 6.例3 P30 part(A) 10.对于古典概型的题目，有一个重要的模型为“分房模型”，下面以课本上P14例1.14为例：例4 P14 例1.14（分房模型）：将n个球随意的放入N个箱子中()， 其中每一个球都等可能的放

6、入任意一个箱子，求下列各事件的概率：(1) 指定的n个箱子各放一球；(2) 每个箱子里最多放一球；(3) 某指定的箱子不空；(4) 某指定的箱子恰好放入k()个球；(5) 某指定的一个箱子没有球；(6) 恰有n个箱子中各有一球；(7) 至少有两个球在同一个箱子中. 解： n个球随意的放入N个箱子中，共有种放法，记(1)-(6)为 分房模型可应用于很多类似场合： 例5 P30 part(A) 13.解：本题中的人可视为“球”， 365看作365个盒子，为n个人的生日各不相同，这相当于每个盒子至多有一个球，所以.例6 P31 part(A) 22.解: x表示甲船到达时间，y表示乙船到达时间，须等

7、待空出码头为：甲先到，乙随后一小时到，或乙先到，甲随后两小时到，则，A=“须等待空出码头”则：.例7 P32 part(A) 35解：这道题强调了互不相容和独立性之间的关.A,B互不相容，说明P(AB)=P()=0,如果A,B独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0.所以A,B不独立.A,B互不相容，说明A发生的同时，B不可能同时发生.说明A对B影响强烈，A,B不可能相互独立.例8 P32 part(A) 40例9 P32 part(B) 3.(巴拿赫问题)解：不放设甲盒空而乙盒还有k根火柴.则这时必已取过次，每次取甲、乙盒的概率均为而在这次中，必有N次取甲，次取已，最后第次必取甲，否则

8、不知甲盒空.例10 P32 pa6rt(B) 4.解: A-“m是所取球的最大编号”第一个坛子从n个球中任取一球，有n中可能，同理k个坛阿子，有种可能.A: m为最大编号，即这n个球编号为1,2,3,m-1,m所以.例11 P32 part(B) 4.解: 设得到的两段记为x,y, 则第三段为，这三段能围成三角形应满足：化简，得 A=“能围成三角形”=如图所示：例12 P32 part(B) 8.双基训练（其中带*部分为历年考研题）第一章 随机事件与概率一、 选择题.1 如果则 （ ）(A). A与B不相容 (B). 不相容 (C). (D) (A) 不相容 （B）相容 (C) A与B独立 (

9、D) P(A-B)=P(A)(A) P(C) = P(AB ) (B) P(C)=P() (C) (D) 4. 如果 ，则 事件A与B 必定 （ ）独立； 不独立； 相容； 不相容.5. 已知人的血型为 O、A、B、AB的概率分别是0.4； 0.3；0.2；0.1, 现任选4人，则4人血型全不相同的概率为： ( ) 0.0024； ； 0. 24； .6 10件产品中有3件次品，随机从中抽取两件，至少抽到一件次品的概率（ ） (A) (B) (C) (D) 7. 某人忘记三位号码锁（每位均有09十个数码）的最后一个号码，因此在正确拨出前两个号码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作试开一

10、次，则他在第4次试开成功的概率是（ ）(A.) (B) （C） ( D) *8. 对于任意二事件A和B(A) 若，则A,B一定独立. (B) 若，则A,B有可能独立.(C) 若，则A,B一定独立. (D) 若，则A,B一定不独立.二 填空题1. 已知事件，有概率，条件概率，则 3. 一个袋子中装有10个大小相同的球，其中3个黑球，7个白球，任意抽取两次，每次抽一个，取出后不放回，则第二次取出的是黑球的概率 ，已知第二次取出的是黑球，则第一次取出的也是黑球的概率 .4 甲、乙、丙三人各射一次靶，记A-“甲中靶”， B-“乙中靶”， C-“丙中靶”，则可用上述三个事件的运算分别表示：“三人中至多有

11、一人中靶” ，“三人中至少一人中靶” *5从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则= 。（05年数4） 答案一1C 2 D3 D4 C5 A6 D7 C8. B二、1. 2. 0.62 3. 4. ）， 5.第二章 导学导读本章小结本章主要讲述了两个内容：随机变量及其分布；随机变量的数字特征。（一）随机变量及其分布随机变量是定义在一个概率空间上的一个实值函数，它分为两种：离散型随机变量和连续型随机变量。1、随机变量的概念教材P35，定义2.1。2、离散型随机变量 定义: 教材P35，定义2.2。3、离散型随机变量的概率分布(1) 定义:教材P35，定义2.3。(

12、2) 离散型随机变量的概率分布必须满足的两条性质.(3) 教材:P36。4、分布函数（1） 定义: 教材P38，定义2.4。（2） 分布函数必然满足的三条性质，教材P38。5、离散型随机变量的分布函数6、连续型随机变量及其概率密度（1） 连续型随机变量的概率密度函数，教材p40,定义2.5.（2） 连续型随机变量的概率密度函数具有的两个性质.（二）随机变量的数字特征1、 离散型随机变量的数学期望，教材p43,定义 2.6。2、 随机变量函数及数学期望，教材p45,定理3、 2.1设X是一个离散型随机变量，Y=g(X)是一个随机变量，则.设X是一个离散型随机变量，Y=g(X)是一个随机变量，则.

13、4、 随机变量的方差 5、数学期望的性质6、方差的性质特别要注意常数的方差为零；常数的期望是自身；，.6、随机变量的矩（1） 切比雪夫不等式（2）马而可夫不等式（三）常用的离散型分布1、退化分布见教材P51，。2、两点分布 3、0-1分布（伯努力分布） 见教材P52。 4、n点上的均匀分布5、二项分布6、几何分布7、超几何分布8、泊松分布9、超几何分布与二项分布的关系（四）常用的连续型分布（1） 均匀分布的密度函数、分布函数、数学期望及方差（2） 指数分布的密度函数、分布函数、数学期望及方差（3） 正态分布的密度函数、分布函数、数学期望及方差（四）随机变量函数的分布难点解析本章内容基本有两个难

14、点：1、根据实际问题求随机变量的分布及其期望与方差；2、随机变量函数的分布。此类题一般是先确定随机变量的可能取值，对每个可能取值求其概率，这便转化为第一章求概率问题。然后利用公式求出期望与方差。求随机变量函数的分布，首先搞清是离散型还是连续型随机变量的函数，一般地，当为离散型随机变量时，也是离散型随机变量，设的分布为，记，如果的值都不相同，则的分布律为，如果的某些值相同，则应把相同的值合并，同时将对应的概率加在一起；当为连续型随机变量时，的分布函数为：，其中然后对求导，得到Y的密度函数，这里的关键是正确地给出和进行有关的积分、求导运算。双基训练一、选择题；.二、填空题习题分析本章习题主要考查以

15、下几个知识点：. 。 ， 第二章 双基训练 一、选择题. 1. 设f(x)是连续型随机变量X的密度函数，则f(x)一定是_(A) 可积函数 (B) 0f(x) 1(C) 连续函数 (D) 可导函数2. 设X(x),且(-x) = (x)，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a ，F(-a)=_。(A) 1(x)dx (B) （1 (x)dx）(C) F(a) (D) 2F(a)1 4. 设X服从参数为的泊松分布，已知 ，则_(A) 2 (B ) 1 (C) 4 (D) 0.255.设随机变量相互独立，且，则对于任意给定的，有（ ）(A) ( B)(C) ( D)6设随机变量X _。 (A) A

16、=1，B=-0.5 (B) A=-0.5,B=1(C) A=0.5,B=1 (D) A=1,B=0.5 二 填空题 三、是非题1随机变量的分布函数是单调递增函数,但不是严格单调递增的. ( ) 四、 计算题 答案 第三章 导学导读本章小结第三章在介绍了随机向量的概念后，主要讲述了三个内容：二维随机向量的（联合）分布、独立性、以及数字特征。另外还专门介绍了在概率论的理论和应用中都占有重要地位的中心极限定理。（一） 随机向量及其分布函数在实际中许多情况下，需同时研究两个或两个以上的随机变量，而它们之间往往又有某种联系，因而有必要把这些随机变量作为一个整体研究。1、 随机向量的定义教材P72，定义3

17、.12、 分布函数的定义教材P72，定义3.2（二）离散型随机向量的概率分布1、 二维离散型随机向量的定义教材P73，定义3.32、联合概率分布的定义教材P74，定义3.43、联合概率分布的性质：（1）（2）4、边缘概率分布随机向量中每一个随机变量的分布，称为的边缘概率分布。其中(三)连续型随机向量的密度函数1、连续型随机向量及其密度函数的定义教材P76，定义3.52、联合密度函数的性质（1）（2）3、边缘密度函数若为二维连续型随机向量，则其分量均为连续型随机变量。且4、区域上的概率：（四） 随机变量的独立性1、两个随机变量相互独立的定义教材P82，定义3.62、独立性的性质（1）独立，则，有

18、（2）独立，则对任意两个函数，有相互独立。(3) 如果是离散型,则独立等价于(4) 如果是连续型,则独立等价于 (五) 随机向量函数的分布1、 离散型随机向量函数的分布 教材P89912、 连续型随机向量函数的分布（1）卷积公式 教材 P9194 (六) 随机向量的数学特征 1、随机向量函数的数学期望 是随机向量，是一个二元函数，则 （1）为离散型时， （2）为连续型时，2、随机向量的数字特征（1） 协方差的定义 教材P97，定义3.8（2）协方差矩阵的定义 教材P100，定义3.9（3）相关系数的定义 教材P101，定义3.103、 有关性质（1） 任意个随机变量如果其数学期望均存在，则 （

19、2）设两两协方差存在，则其方差均存在，且有 （3）相互独立两两独立两两不相关 （4）相互独立不相关（5）（6）如果，则不相关（7）（8）（9）（10）为任意常数；（11）（七）常用分布 1、均匀分布 区域上的均匀分布（1）密度函数：（2）区域上的概率： 2、二元正态分布 （1）二元正态分布的边缘分布是一元正态分布，其中（2）相关系数(3)如果，则相互独立不相关(4)如果相互独立，且，则为。 （八）大数定律与中心极限定理1、大数定律 大数定律以数学形式表达并证明了，在一定条件下的、大量重复出现的随机现象的统计规律性 （1）伯努利大数定律 教材P107，定理3.8 （2）切比雪夫大数定律 教材P1

20、08，定理3.9 （3）辛钦大数定律 教材P108，定理3.10 2、中心极限定理 中心极限定理告诉我们，在某些条件下，即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，当随机变量个数无限增加时，它们之和的分布也趋于正态分布 (1) 林德伯格勒维中心极限定理 教材P109，定理3.11 （2）棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 教材P111，定理3.12难点解析本章内容基本有两个难点：1、 判定两个连续型随机变量的独立性和相关性；2、 求连续型随机向量的函数的分布。判定连续型随机变量的独立性，关键在于由联合密度函数求边缘密度函数。而判定相关性，则需在知道密度函数和边缘密度函数后，再利用数学期望、方差的计算

21、公式、的公式求之。在这里重积分的计算占了很大比重，也是学生感到较难的一个知识。下面以习题三(A)中的3为例作一解析，3、设二维随机向量数为：，求（1）常数；（2）判定的独立性。（3）求的相关系数。解：（1）由 得从而有。（2）由于显然,当时，。当时，综上 由于显然,当时，。当时，综上 。 由于，从而可得不独立。（3）由于， 从而， 同理，从而实际上服从参数为7的指数分布，从而可知又从而得 。又，从而得，从而得。对于求连续型随机向量函数的分布，我们可以类似于求一元随机变量函数分布的方法来求。先求其分布函数，在求解过程中用到二重积分化为累次积分的知识，注意如何写出二重积分的积分区域。再对分布函数求

22、导，得到密度函数。下面以习题三(A)中的29，26为例作一解析，29、已知服从上的均匀分布，求的分布函数和密度函数。 解 由服从上的均匀分布，可得的密度函数 ，则显然当时，从而，当时，从而 ，当时，从而 。综上可得；又，可得的密度函数。26、设均服从参数为的指数分布，且相互独立，求的密度函数。 分析：这是两个相互独立的连续型随机变量和的分布问题，可直接应用卷积公式。解 由均服从参数为的指数分布可知，的密度函数分别为 ， 于是由卷积公式，的密度函数为 。 上述运算适合于的情形。 当时， 。第三章 随机向量双基训练本部分含填空题和单项选择题，当大家掌握了所学的基本知识和基本技能后，应当较顺利地完成

23、以下各题。一、 填空题1、 设则 。2、 设随机向量的概率密度函数为，则常数 ，边缘密度 ， 。3、 设，且相互独立，则 ， ， 。4、 设，且相互独立，则 ， 。5、设则的协方差矩阵为 ，相互独立当且仅当 。6、设为随机变量，且则 。7、设随机变量均服从正态分布，且则 。8、设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ，则 。9、设随机变量的数学期望，则由切比雪夫不等式，有 。10、从一批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒，则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为 。（）二、 单项选择题1、 已知的联合分布如下表所示 X Y 0 1 20120.1 0.05 0.250 0.1

24、0.20.2 0.1 0 则有( )。 （A） 不独立 （B）独立 （C） 不相关 （D）彼此独立且相关2、设随机向量的密度函数为，则的密度函数为（ ）（A） (B) (C) (D) 3、设的密度函数分别为，若相互独立，则（ ）。(A) 1 (B) (C) (D) 4、设随机变量独立同分布，记，则必然（ ） (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为0 (D) 相关系数为05、两个相互独立的随机变量，则( )（A） (B) (C) (D) 6、设是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为，则 的分布函数为（ ） （A） (B) (C) (D) 都不是7、若满足，则必有（ ） (A)

25、 独立 (B) 不相关 (C) (D) 8、设两个相互独立的随机变量的方差分别为4和2，则随机变量的方差为（ ） （A） 8 (B) 16 （C）28 (D) 449、设为两个随机变量，则（ ）正确。 (A) (B) (C) (D) 10、设相互独立，均服从正态分布，则（ ） (A) (B) (C) (D) 11、设随机变量服从正态分布则随的增大，概率是（ ）。 (A) 单调增大 (B)单调减小 (C) 保持不变 (D)增减不定 参考答案、1、0 2、， 3、，3，3 4、 5、 6、1 7、 8、4 9、 10、0.7486二、1、A 2、C 3、D 4、D 5、B 6、C 7、B 8、D

26、9、A 10、A 11、C习题分析本章习题基本包含以下7种题型：1、 由试验结果求随机向量的分布；2、 由联合密度函数求边缘密度函数；3、 判定随机变量的独立性；4、 求区域上的概率；5、 随机变量函数的分布；6、 求随机变量的协方差、相关系数、判定相关性；7、 利用中心极限定理求事件的概率。下面以习题三中的几个习题为例作出分析与解答。例1（2）一个袋中装有5个白球，3个红球。第一次从袋中任意取一个球，不放回，第二次又从袋内取两个球，表示第次取到的白球数。求（1）的分布及边缘分布 ；（2）分析：这是一个根据实际的试验结果求随机向量分布的问题，解这类问题第一步是确定其所有可能取值，然后对每个可能

27、取值，求相应事件的概率，一旦确定了分布，便可求其他事件的概率。解 （1）的可能取值为0，1；的可能取值为0，1，2。由乘法公式可得： ， ， ， 即得联合分布表为： 0 1 2 01 边缘分布为：， ， 即的边缘概率分布为：的边缘概率分布为：（2）例2（3）设二维随机向量及数及分别为： ， 求（1）常数；（2）边缘密度函数。分析：本题显然需由联合密度函数的性质先确定常数，涉及到重积分的计算问题，边缘密度函数由求得。解(1 ) 由得。由 得从而有，（2）显然,当时，。当时，综上 同理可得 由于显然,当时，。当时，综上 由于显然,当时，。当时，综上 。例3（4）设服从上的均匀分布，求（1）的密度函

28、数及分布函数；（2）的边缘密度函数和边缘分布函数；（3）。分析：本题主要考察均匀分布的性质，即若服从上的均匀分布，则当且仅当是矩形区域时，相互独立，且均服从相应区间上的均匀分布，并且知道相互独立，则分布函数等于边缘分布函数的乘积，密度函数等于边缘密度函数的乘积。另外要求，关键是要写出积分区域。解（1）由于，得的联合密度函数为要求分布函数，我们先解（2）（2）由于是矩形区域，从而相互独立，且均服从相应区间上的均匀分布。 从而， 从而边缘分布函数为， 由相互独立，从而分布函数等于边缘分布函数的乘积 从而 。（3）。例4（12）设是二维离散型随机向量，其分布为称为联合概率矩阵。证明：相互独立的充要条

29、件是的秩为1。 分析：本题主要运用两个结论：1、相互独立当且仅当联合分布等于边缘分布的乘积。2、矩阵的秩为1，当且仅当它可以写成一个列向量和一个行向量的乘积。 解 （1）充分性：因为的秩为1，从而 即，又，从而 同理 所以 从而可得相互独立。 （2）必要性：因相互独立，从而 即，从而的秩不大于1 又，从而的秩不小于1。 从而可得的秩等于1。证毕。 例5（23）设的概率分布如下表 YX0 1 2 012 0 0 0(1) 求各自的概率分布；(2) 求的分布。分析：这是一个求离散型随机向量函数分布的例子，解法与随机变量的函数类似，先确定函数的所有可能取值，对每个取值的事件，将其由自变量的取值来表示

30、。解 （1）的所有可能取值为0，1，2，且有， 的所有可能取值为2，1，0，1，2，且 ， 第四章 导学导读本章小结本章将介绍数理统计的基本概念：总体、样本、统计量与抽样分布.为研究抽样分布，本章将要详尽地介绍三种常用的统计分布：分布、t分布、F分布的密度函数及图象以及这三种分布的典型模式，详细讲述了正态总体样本均植以及样本方差的分布；并且简单介绍了一般总体抽样分布的极限分布.为第五章求区间估计和假设检验打好基础.§4.1 总体与样本一、 总体与总体分布 总体是具有一定的共同属性的研究对象全体.总体的每一个别成员为个体，总体与个体的关系是集合论中元素与集合之间的关系.定义4.1 统计

31、学中称随机变量（或向量）为总体，并把随机变量（或向量）的分布称为总体分布.二、 样本与样本分布1、 样本的定义定义4.2 称为总体的简单随机样本，若是独立同分布的随机变量，并且与总体同分布.样本中所含分量的个数称为该样本的容量.2、样本的分布（1）设总体的分布函数为，样本的分布函数为称之为样本分布.（2）若总体的密度函数为，则样本的密度函数为（3）若总体的概率分布列为取遍所有可能取值.则样本的概率分布为三、统计推断问题简述 借助总体的一个样本，对总体的未知分布进行推断，这类问题统称为统计推断问题.§4.2 统计量一、 统计量的定义定义4.3 设为总体的一个样本，称此样本的任一不含总体

32、分布未知参数的函数为该样本的统计量.二、 常用的统计量设为总体的一个样本.1、样本均值 2、 样本方差 （未修正的样本方差） （修正的样本方差）以下简称修正的样本方差为样本方差.3、样本标准差 4、样本k阶原点矩 . 5、样本k阶中心矩 6、顺序统计量 将样本中的诸分量按由小到大的次序排列成则称为样本的一组顺序统计量，称为样本的第个顺序统计量.特别地，称与分别为样本极小值与样本极大值，并称为样本的极差. 三、 枢轴量仅含一个未知参数，但其分布却已知的样本函数称为枢轴量.§4.3 常用的统计分布 一、 分位数定义4.4 设随机变量的分布函数为，对给定的实数，如果实数满足则称为随机变量的

33、分布的水平为的上侧分位数.定义4.5 设是对称分布的连续型随机变量，其分布函数为，对给定的实数，如果实数满足则称为随机变量的分布的水平为的双侧分位数.二、分布1、分布的定义与典型模式定义4.6 如果一个随机变量的密度函数为 ，其中函数，则称服从个自由度的分布，记作.命题4.1 设 是个相互独立的随机变量,且则服从分布.2、分布关于自由度的可加性命题4.2 （1）若且与相互独立，则（2）若则 分布不是对称分布，其上侧上侧分位数可以利用已制表查出.三、分布1、分布的定义定义4.7 如果一个随机变量的密度函数为，其中是B（贝塔）函数，则称服从第一自由度为，第二自由度为的分布，记作.2、分布的典型模式

34、命题4.3 设且相互独立，记,则3、分布的性质（1） 若, 则;（2）分布也不是对称分布,上侧分位数需要查表,另外常用性质(2)确定附表中没有列出的上侧分位数.四、t 分布1、t 分布的定义定义4.8 如果一个随机变量的密度函数为则称服从个自由度的分布，记作2、t 分布的典型模式命题4.4 设且相互独立，记,则.3、t 分布的性质(1) t 分布与分布具有关系：，当充分大时（一般），近似标准正态分布.(2) t 分布是对称分布,具有双侧分位数,可以由附表可查.§4.4 抽样分布在数理统计中,泛指统计量的分布为抽样分布.一、正态总体的抽样分布定理4.1 设总体是其容量为的一个样本，与分

35、别为此样本的样本均值与样本方差，则有（1）（2）（3）与与相互独立.1、单正态总体的抽样分布定理4.2设总体是其容量为的一个样本，与分别为此样本的样本均值与样本方差，则有2、双正态总体的抽样分布定理4.3 设是两个相互独立的正态总体.又设是总体的容量为的样本,分别为该样本的样本均值与样本方差.再设是总体的容量为的样本.与分别为该样本的样本均值与样本方差.记是与的加权平均:二、一般总体抽样分布的极限分布定理4.4设总体是其容量为的一个样本，与分别为此样本的样本均值与样本方差,并设的数学期望与方差均存在，分别记为.再记则有(1) (2)以上与分别表示及标准正态分布的分布函数.难点解析本章内容有以下

36、三个难点：一、给定总体服从的分布，求样本的分布.二、给定总体服从的分布,求一些统计量的分布.三、给定总体服从的分布，构造一个含有待定系数的统计量，并且告诉此统计量的分布，求待定系数.对于以上三个难点,下面结合一定的问题给予重点分析:一、给定总体服从的分布，求样本的分布.这个问题是非常重要的，因为第五章中求参数的最大似然估计中重要的一步就是正确的写出似然函数，也就是样本的联合概率分布列或者联合概率分布密度.例 设总体服从以()为参数的指数分布, 为其一个样本,求该样本的样本密度.分析: 首先应该熟练记忆指数分布的密度函数再根据样本的密度函数公式得到:但是通过多年的观察,发现一部分学生往往错误地写

37、成 注意: 对于解决第一个难点,大家首先应该熟练记忆一些常用离散型随机变量的概率分布列和一些常用连续型随机变量的概率密度;其次大家应该理解样本的联合概率分布列或者是联合概率分布密度应该是一个元函数.二、 对于解决第二个难点，大家应该注意以下几个方面的问题1、熟悉一些分布的重要性质：(1) 设，且相互独立，则;特别,若总体为其一个样本,则近似服从从而有近似服从(2) 设,并且相互独立,则.(3) 设并且相互独立,则对任意的常数,并且不全为0,则.2、熟悉一些分布比如分布、分布、分布的典型模式.三、 对于解决第三个难点，大家还是应该熟悉一些分布比如分布、分布、分布的典型模式，并且会构造出相应分布的

38、统计量.例 设总体是取自正态总体的样本.设则当_时,服从分布,自由度为_.分析: 且相互独立,故且相互独立,从而且相互独立,故有 故应有,自由度为2.习题解析本章的习题大致有以下四种类型：（1） 求样本的联合概率分布列或联合概率分布密度；（2） 求统计量的分布或渐近分布；（3） 已知某统计量服从某个分布，确定某个常数的取值.（4） 求的上侧分位数以及的双侧分位数.下面以习题四中的习题给出具体的解析.P142 Part A 例1 设总体服从上的均匀分布, 为其一个样本,求该样本的样本密度.解: 由于 并且样本中的各个随机变量相互独立与总体同分布,所以例2设总体服从以为参数的几何分布, 为其一个样

39、本,求该样本的离散样本密度.解: 由于并且样本中的各个随机变量相互独立与总体同分布,所以例3设总体的分布函数为,为其一个样本,试以表示该样本的极小值与极大值的分布函数.特别地,当总体服从以为参数的指数分布时,试求与的分布函数.特别地,当总体服从以为参数的指数分布时, 例4 设当总体服从以为参数的泊松分布，为其一个样本,试求样本和解： 由于为其一个样本,所以相互独立都服从以为参数的泊松分布，根据泊松分布的性质：确切服从以为参数的泊松分布.由于相互独立和同分布,由独立同分布的中心极限定理得到:渐近服从.例5 设总体服从,从总体中取出一个容量为6的样本,令试决定常数,使得服从分布,并求分布的自由度.

40、解: 且相互独立,故且相互独立,从而且相互独立,故有 关于求的上侧分位数以及的双侧分位数的问题,只要记住定义查表就可以了,在此不再分析.双基训练一、填空题：1设是取自总体的样本，为样本均值，假定，则 , 2设为来自正态总体的一个样本，则样本均值服从 分布，其概率密度为_3设总体服从正态分布， 为来自该总体的一个样本，则服从 分布.4设为正态总体的样本，分别是该样本的样本均值与样本方差，令，已知 ，则_ 5设总体与总体相互独立且都服从，和分别是来自总体与总体的样本，则统计量服从的分布为_. 二、选择题：1设样本取自正态总体，已知，未知，则下列随机变量不是统计量的是( ) (A) (B) (C)

41、(D) 2. 设样本来自总体,的期望为,且,则有 ( ).(A) (B) (C) (D) 3. 是取自总体的样本，为样本均值，已知，则有( ) (A) (B) (C) (D) 4.,且相互独立，则下列结论正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 5. 设样本取自正态总体，分别是该样本的样本均值与样本标准差，则服从分布的随机变量是( ) (A) (B) (C) (D) 三、计算题：1. 从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02，求总体的标准差.2. 设总体，从总体中抽取简单随机样本，其样本均值为，求统计量的数学期望.附表： (;）答案一、

42、填空题：1、， 2、， 3、，4、2.306, 5. 二、选择题：1、C，2、B，3、C，4、B, 5、D三、计算题：第五章 导学导读本章小结本章介绍了若干常见的统计量及其分布，在此基础上，由样本推及总体，来进行统计推断.统计推断是数理统计的核心部分，包括统计估计和统计假设检验.就数理统计的两个主要方法参数性方法和非参数性方法而言，本章主要介绍参数性方法中的参数的点估计和区间估计，假设检验的基本原理和一般步骤，正态总体的假设检验.本章既有理论又有应用，是“概率论与数理统计”中一个非常重要的部分.§5.1点估计概述一.什么叫点估计估计量、估计值和点估计的定义.教材P145.二.评价估计

43、量的标准1.无偏性有、无偏估计量和渐进无偏估计量的定义.教材P146.2.有效性有效性的定义.教材P148.3.相合性（一致性）相合（一致）估计量的定义.教材P149.§5.2参数的最大似然估计与矩估计一.最大似然函数1.最大似然法的基本思想似然函数，最大似然法，最大似然估计量和最大似然估计值.教材P150.2.最大似然估计的一般求法最大似然估计的求解步骤.教材P151.最大似然估计的不变性.教材P152.二.矩估计1.矩法的基本思想矩估计量和估计值.教材P153.2.矩估计的求法矩估计的一般步骤.教材P153.§5.3置信区间一.置信区间的概念置信区间，置信上、下限，置信

44、水平的定义.教材P155.二.需求置信区间的方法求解置信区间的一般步骤.教材P157.三.正态总体参数的置信区间1.均值的置信区间（1）已知的情形取估计量，的置信水平为的置信区间为.教材P158.（2）未知的情形取估计量，的置信水平为的置信区间为.教材P159.2.方差的置信区间（未知的情形）取估计量，的置信水平为的置信区间为.教材P160.四.大样本情形的渐进置信区间不做要求.教材P161.§5.4假设检验概述一.假设检验问题的提法原假设和备择假设.参数假设检验和非参数假设检验.教材P163.二.假设检验的思想和原理小概率原理.教材P165.三.假设检验的一般步骤一般步骤.教材P1

45、66.四.检验的显著性水平与两类错误显著性水平.第一类错误和第二类错误.教材P167.五.多参数与非参数假设检验问题不做要求.教材P168.§5.5单正态总体的参数假设检验一.均值的检验单侧检验与双侧检验.教材P169.1.方差已知的情形（1）取检验统计量，拒绝域为.（2）拒绝域为.（3）拒绝域为.2.未知的情形（1）取检验统计量，拒绝域为.（2）拒绝域为.（2）拒绝域为.二.方差的检验（未知的情形）（1）取检验统计量，拒绝域为.（2）拒绝域为.（3）拒绝域为.§5.6双正态总体的参数假设检验一.均值得差异性检验1.均已知的情形(1)取检验统计量，拒绝域为.（2）.拒绝域为.（3）.拒绝域为.以上，.2.的情形(1)取检验统计量，拒绝域为.其中.（2）拒绝域为.（3）拒绝域为.3.且未知的情形(1)取检验统计量，拒绝域为.其中.（2）拒绝域为.（3）拒