2008年高等数学考试卷参考解答

1、A 卷参考解答高等数学期末一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、2、3、4、5、二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1、 x2 (ax + b) + x(c sin x + d cos x) ；2、（1，0）；3、4p t 2 f (t 2 ) ；5、1 + ln 2 。4、4a 2 ；三、(8 分) 解：微分方程变形为 x2 y¢ - 3xy¢ + 2 y = x2 ，这是欧拉方程，令x = et ，则方程可化为d 2 yd 2 ydydydy- 3+ 2 y =- 4+ 2 y = e2t.dt 2dtdtdt 2dt先求对应齐次方程的通解，它的特征方程为

2、l2 - 4l + 2 = (l - 2)2 - 2 = 0 ,解得特征根为l1 = 2 +2 ， l2 = 2 -2 ，对应齐次方程的通解为2+ 2 )t(e(2- 2 )t .Y = C e+ C12再求非齐次方程的特解， 由于 l = 2 不是特征根， 所以特解的形式为= Ae 2t ，代入方程，得y*4 Ae 2t - 8Ae 2t + 2 Ae 2t = -2 Ae 2t = e2t ，解得 A = - 1 ，于是微分方程的通解为22+ 2 )t(e(2- 2 )t- 1 e2t ，2y = C e+ C12将自变量换回到 x ，有- 1 x 2 ，2y = C x 2+ Cx 2-

3、 2212其中C1 、C2 为任意常数。1四、（10 分）证明：1（1） lim(x2 + y2 ) sin= 0 = f (0, 0) ， f (x, y) 在（0，0）点连续.x2 + y2x®0 x®01x2 sin- 0f (x, 0) - f (0, 0) = lim1x2（2） f (0, 0) = lim= lim x sin= 0 ；xx2xxx®0x®0x®0类似 fy (0, 0) = 0.1(Dx)2 + (Dy)2é(Dx)2 + (Dy)2 ùsinëûDf - ADx - BD

4、y3 lim = lim Dx®0Dy®0(Dx)2 + (Dy)2Dx®0Dy®0(Dx)2 + (Dy)21= lim(Dx)2 + (Dy)2 sin= 0 ， f (x, y) 在（0，0）点可微.(Dx)2 + (Dy)2Dx®0Dy®0ì2x sin12x1-, x2 + y2 ¹ 0cos¶f¶x= ïx2 + y2x2 + y2x2 + y20,4íïx2 + y2 = 0îlim ¶f = limç 2x sin

5、30;ö12x1-2 cos2 ÷ 不存在x®0 ¶xx®0 èx + yx+ yx + y2222øy®0y®0（ 若取 y = x 的路径趋于 0， lim 2x sin= 0 ，但lim 1 cos不存在）112x2x®0 x2x2x®0 y = xy = xlim ¶f ¹ f (0, 0) = 0 ，即 ¶f 在（0，0）点不连续，类似可得 ¶f 在（0，0）xx®0 ¶x¶x¶yy®0

6、点也不连续.五、(8 分)解：改变积分的秩序，可得222yòò- y2òò- y2dxedy =dyedx0x002ò- y2=yedy0= 1 (1 - e-4 ).2¶u¢æ x öæ y öy¢æ y öf ç÷ + gèø六、(10 分)解： ¶x =ç÷ -ç÷g，yxxxèøèø2¶ 2u1¢ &

7、#230; x öyy 2x3¢æ y öy¢æ y ö¢ æ y öç÷ -g=fç÷ +g ç÷ +xgç x ÷¶x2yyx2èøxx2èøèøèø1¢ æ x öy 2¢ æ y ö=f ç÷ +gyç x ÷x3y

8、32;øèøx¢¢æ x ö¶ 2u¢æ y ö¢æ y ö¢¢æ y ö11y= -f ç÷ +g y 2ç÷ -ç÷ -ggç x ÷¶x¶y2yxxèøxxxèøèøèøx¢ æ x ö¢ &#

9、230; y öy= -f ç÷ -y 2gç x ÷2yxèøèø于是我们有¶ 2ux¢ æ x öx¢ æ x ö¶ 2u +y 2y 2¢ æ y ö¢ æ y ö=f ç÷ -gç x ÷ -f ç÷ -gç x ÷ = 0 .x ¶x 2y ¶x¶y

10、yyx22èøyyxèøèøèø区域W 作球坐标变换，半球面可变为 r = 2R cosj ，于七、(8 分)解：对是区域W 可变为jjrpqjr=Wìü£p£q ，££ R££,0cos20,(2,0íý4îþ于是有òòòWx 2 + y 2 + z 2 dW = òòò r 3 sinjdrdjdqWp2p2 R cos j= 

11、42; dqsin jòòdjr 3dr4000pòpsinj 4R cos jj= 244d40(8 -2 ).= pR45八、(10 分)证明：由于ann1 æ1ö，£a +2 ç2÷n2ènø¥¥因为无穷级数å收敛，而且å 1 收敛，由正项级数收敛的性质可知，级数a 2nn 2n=1n=13¥¥¥12æ1öannanåån=1收敛，故无穷级数å绝对收敛。a +ç

12、2÷收敛，从而可知级数n2n=1 ènønn=1九、(8 分)解：由于an = 2n + 1，因此收敛半径 R 为= lim 2n + 1 = 1，anR = limn®¥ 2n + 3n®¥ an+1¥当 x = ±1时，级数å(2n + 1)(± 1)n 发散，所以收敛区间为(-1,1) 。n=0¥¥¥å(2n + 1)xn = 2å(n + 1)xn- å xn n=0n=0n=0ö¢æ&#

13、165;1= 2çå xn+1 ÷-1 - xè n=0øö¢æx1= 2ç-÷è1 - x ø1 - x21=-(1 - x)21 - x1 + x.(1 - x)2十、(8 分)证明：在曲面 F (x, y, z) = 0 上任取一点(x, y, z) ，在点(x, y, z) 的切平面的法向量为 n = (Fx , Fy , Fz ) ，由于在曲面 F (x, y, z) = 0 上任意点(x, y, z) 上，有F 2+ F 2 + F 2 ¹ 0 ，所以 n ¹ 0 ，则过点(x, y, z) 的切平面方程为：xyzFx (X - x) + Fy (Y - y)