导数复习导数大题练习

1、1、已知函数 f(x)=(2x 一 kx+k) ? e x(I)当k为何值时，/(*)无极值；(II)试确定实数k的值，使/* (X)的极小值为02、已知函数 /(x) =+ Inx (q e R).(I)若。=2,求曲线y = f(x)在x = l处切线的斜率；(II)求八工)的单调区间；(III)设g()=子一2A + 2 ,若对任意玉 e(0,+8),均存在X2 G 0,1,使得/31)v gg)，求Q的取值范围3、设函数 fx) = x-ae x(I)求函数f(X)单调区间；(II)若f(x)-2,/(-2) = m,/(f) = n.(I )试确定 f 的取值范围，使得函数f(x)

2、在-2上为单调函数；(II) 试判断的大小并说明理由；(III) 求证：对于任意的f-2，总存在xoe(-2,f),满足？ )并确定这样的X。的e 3个数7 已知函数 /(x)2= nx-ax2 +(dt-2)x.(I )若 f(x)在x = l 处取得极值，求 a 的值；(II) 求函数 y= /(x) 在屏 , 。上的最大值 .8 已知函数 f(x) = (ax2-x)lnxax2+x. (tzeR).(I) 当。=0时，求曲线y = /(x)在(e,f(e)处的切线方程(e = 2.718.)；(II) 求函数 fCx) 的单调区间 .9、已知函数f(x) = (l-)e(x0),其中e

3、为自然对数的底数.x为.，求a的值.(I )当。=2时，求曲线y = f (x )在(l,f(l)处的切线与坐标轴围成的面积;(II)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积310、已知函数 /*(、)= ax3 - (tz + 2)x2 +6x-3.(1) 当。=1时，求函数f (尤)的极小值；(2) 试讨论曲线y = f(x)与x轴的公共点的个数11已知函数f(x) = exf g(x) = ax + l是不为零的常数且 acR)。(1) 讨论函数F(x) = /(x)-g(x)的单调性；(3 )是否存在正整数 N,使得当neN*且N时，不等式并证明；若不存在，说

4、明理由(2) 当a= 1时，方程f(x).g(x)。在区间-1,1上有两个解，求实数 $的取值范围; -1).(1)求f3)的单调区间；(2)当。0时，设f3)的最小值为g(Q),若g(Q)V t恒成立，求实数t的取值范 围。13、设函数 f(x)=ax 3-(a+b)x 2+bx+c ,其中 a0, b, cER.(I) 若f(!)=0，求函数/W的单调增区间;求证：当OWxWI时，I f，(x)IW max尸(0),广 ?(注：max(a,幻表示q, Z?中的最大值)14、已知函数 /(x) = plnx + (p -l)x 2 +1(I )讨论函数 f 3)的单调性；(II) 当p =

5、1时，/(x) 1 时，求函数 h(x) = f(x)-g(x) 的最小值；(3) 当a=时，不等式/(x)m-g(x)在券:，:上恒成立，求实数 m的取值范围。函数与导数解答题1、解(I) f (x) = (4x 一幻厂+(2 亍一奴 + 幻(一1)厂=:一 2 亍 +(4 + 3 2 幻厂=2(x |)(x 2)广, 3 分.?* = 4 时，f (x) = (x 2)2 厂0,.-. f(.r)在 R 上单调递减，所以， f(x) 无极值 6 分(II) 当 14 时，令 f(x) = -2(x-|)(x-2)e x = 0,得 =|,x2 =2 k(1)k4 时，一 24时，一2 2,

6、有令 f(2) = 0, 得 k=8 所以，由 (1) (2)矢 L k=0 或 8时， f(x) 有极小值 02、解：(I)由已知尸=2 +-(.v0) , 2分f，(l) = 2 + l = 3. *故曲线 y = f (x) 在 x = l 处切线的斜率为 34分(II) f (.r) = a + = (x0)5分X X 当 iZO 时，由于工 0,故 ox + l0, fx) 0所以， f(x) 的单调递增区间为 ( 0,+oo)6分 当 a 0 时，由广 (x) = 0, 得 x = _L.a在区间 (0,-) ,广 3)0,在区间 (-,+oo) /,(x)2 ,故不符合题意 .)

7、 10分当 a0 时， f(x) 在(0,-) 单调递增，在 (- ,+?) 上单调递减， a a故 f(x) 的极大值即为最大值， /(-l) = -l + ln( ) = -l-ln(-fl), 1分a-a所以 21 ln( Q),解得 ci - ?12 分e3、解(I)广 3) = 1 。广 1 1分当。 0, f 3) 在 R 上是增函数 . 2 分当q 0时，令广=0得x = _lnQ3分若 0,从而f 3)在区间(一8,1 InQ)上是增函数若xl In。则一3)v0,从而/*3)在区间(l-l na,+oo)上是减函数综上可知：当cVO时，f(x)在区间(一 go+8)上是增函数

8、。当。0时，在区间(一 8,1 - I no)上是增函数，在区间 (1 In。 , +8) 上是减函数 4分(II) 由(I)可知：当。0时，/(x)0不恒成立 5分又当。 0时， /(%) 在点 x = l-na 处取最大值，且 f (_nQ ) =l-na-aeXna = -Ina 6令一 In。 1故若/(x) 0对xeR恒成立，则。的取值范围是1, +oo) .(III) 证明：(1)由(II)知：当。=1时恒有/*(尤)=尤一广即 x e-19分AA a A a由(1)知：AeA ； AeA ；&-iAeA A A分7分1 axa2-an故 A I% ? 124、W:( I ) /r

9、(x) = ax2 - (a + l)x +1, 1 分由切点P(2,f(2)在直线y=5x 4上可知2 + b = 6,解得8 = 4. -5分所以函数/(.r)的解析式为f (x)= 2.x2 + x + 4. 6分(II) f(x) = (a + l)x +1 = a(x)(x 1) 7分a当0 a1,函数f(x)在区间(一8,1)及(L, +8)上为增函数；aa在区间 ( 1,上) 上为减函数；- 9分a当 a = l 时， 1 = 1,函数 f(x) 在区间 (- oo,+ oo) 为增函数； 10分a当al时，-0,即 f(x)0,贝Ug(x) = a./ 2(a + l)x +

10、3,其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x = g旦1,a 当且仅当 g(l) 0,即 01 时，在 (一 1,1)内 g(x)0, /r(x)0,函数/(x)在区间-1,1上单调递减 9分 若。 0511 分当且仅当;);o，即一 2a 时，在(一 L1 )内 g( W0，f(x)0,函数 f(x) 在区间 -1,1单调递减 . 综上所述，函数f(x)在区间1,1:上单调递减时，。的取值范围是一|vavl口分6、解： ( I )因为 f(x) = (x2 3x + 3)? e+(2x 3)? e =x(x l)? e 1 分由 f(x)On x1 或 x0 ；由 f(x) On 0 x 1,所

11、以 f(.r)在(-oo, 0 ),(1, +oo)上递增，在(0,1)上递减 3 分要使f (x)在-2,f 上为单调函数，则-2t 04分(II)因为 / (x)在(-00,0),(1,+oo)上递增，在(0,1)上递减，f(.r)在x = 1处有极小值 e5分13又 f(-2)=-e,ef (x) 在2,+3) 上的最小值为 f (2) 7 分从而当，一2 时,f( 2)vf(t),即 m4 或 2。 1 时, g(2)? g(f) 0，但由于 g(0)=一耳。一1)2 v 0,所以 g(x) = 0在(-2,0 上有解，且有两解 12 分当t = 1时,g(i)=子一尤=0 =尤=0或

12、尤=1,故g(x) = 0在(-2,t)上有且只有一解；当1 = 4时，g(i)= i2_i_6 = 0m = _2 或尤 =3,所以 g(W = 0 在(2,4)上也有且只有一解 13分综上所述，对于任意的t -2,总存在Xo G (-2,r),满足f “。)= 1)2，且当r4或-2t 1时，有唯一的与适合题意；当lt = x2-x,xg-2j),然后分情况证明-a-1)2在其值域内)7、解： ( I ) V /(x) = In x - ax2 + a- 2)x, / 函数的定义域为 (0,+8) 1 分.r( - 2ax + 愆一2)= 2) x = 二(2x - l)(a1) 3 分X

13、XX?.? f(x)在 X = 1处取得极值，即 f, (l) = (2 1)(。+ 1) = 0, a = -. 5 分当 a = 1 时，在(?,1)内 f(x)0,在(1,+8)内 f(x)O,x = 1是函数y = /(.r)的极小值点.a = 1.6分(II) V cr a, .I 0 a 1.7 分工/ l-2ax2 +(a-2)x _ (2x l)(ax + l)j (x)2ax + ( q 2)=XXX?.?xe(0,+oo), ax +O, f(x)在(0,?)上单调递增；在(：，+oo)上单调递减，9分当0时，f(x)在a2,a单调递增，1 Q/,舞 3) = f(a) =

14、 lna a+a? 2a； 10 分1A?当Cl V 22，即一 a 时，f(x)在(。之,)单调递增，在(一，q单调递减 1 2 2 2 2,? /max 3)=I=-In 2 -色 + 1 In 2 ；11 分4 24/y当-a2，即3京 1时，f3)在尸，。单调递减，/max(x) = / (6Z2) = 2na-a5 +a3 - 2a2. 12 分综上所述，当0 V。时，函数=/*(尤)在/，口上的最大值是 In a-a3 +a2 -2a ;1 5当 Hf,函数y = /*(尤)在a2a 上的最大值是2In a-a5 +a3 -2a2. 13分8 W (I)当 Q = 0 日寸,/(x

15、) = x-xnx , fx) = -Inx f2分所以 /(e) = 0,广(e) = 1,4分所以曲线y = jf(x)在(e,/(e)处的切线方程为y = -x + e5分(II)函数f 3)的定义域为(0,+8)2 1f *(x) = (ax - x) + (2ax -1) In x - tzx +1 = (2ax -1) In x, 6分 当。0 时，2qxIvO,在(0,1)上广 3)0,在(l,+oo)上广 3)0所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上递减； 8分 当 0。0,在(1,) A) 0且仅有广(1) = 0 ,所以/ Xx)在(0,+8)上单调递增； 1

16、2分 当 o-时，在(0,上)和(1,+8)上广 3)0,在(,l) U)4 .10分a0.设X】*为函数/(%)的极大值点和极小值点,贝U尤1 +尤2 =。，尤1工2 =。，11分因为，/(x”f(xj = e5,所以，旦冬室萨nn XyXr. 6Z(x0,得 x0;由尸。)。，八#-1 x +2.当 r? : l-l,e-l W?f W的最大值为 e-2. e8分I 。、故当 w e: -2 时，不等式 f (x) 而恒成立 .(III) 方程 f=子 + 尤 +。, + l-21 n(l + x) = 01 己 g(x) = x - Q +1 - 2 ln(l + 工)，? g1 (%)

17、 = 1 =，1 + x x + 1由 gz(x)0, 得 xl 或 xT ( 舍去 )? 由 g/(x)0, 得一 l0.V 2-21n2 解(1)因为 F(x) =(QX + l)e* ,所以 F, ( ) = aex +(破 + 1)人工=aex + 1 + , 1分当 Q0 时，尸 ( 尤)0 尤一 1 ,a所以F(x)在区间(-oo,-l-l)是减函数，在区间(-1-1,+00)上是增函数；3分aa当QVO时，尸(尤)v 0尤一 1 ,a所以F在区间(-00,-1-!)是増函数，在区间(-1-1,+00)上是减函数；5分aa(2)当a = 1时，由(1)知道F (x)在区间(一8,0

18、)上是增函数，在区间 (0,+oo)上是减函数, 所以 当x = 0时取得极大值 F (0) = I,2又r( -I) = -,F( I) = 0,方程f (xYg(x) = t在区间1,1上有两个解，e 2实数f的取值范围是,1) ;9分e(3)存在N = 24022.由(2)知道当a = 1时，即f: 一上丫+ 1 V 12 3 4所以 /(-!)+ /当 77 24(，22 时,?12分 -I 1j = - x 4022 = 201124)22)211分II I 1 - 1 j H 2 4 时8 8 8 时24 22 2*)2214分以：f(-i)+y |+y |+?2041。12 (

19、I )解：f(x) = aa(x 1), 1 分x + 1 x + 1当 Q = 0 时，/r(x) = 0 得 x ,由 fx) 0 W-I x , a a所以函数f(.r)的减区间为(-1,-),增区间为(-,+oo) ； a a,1、(1x)若一 1。0,此时-1,所以 f(x) = 0,ax + 1所以函数f(.r)的减区间为(-1, +oo),无增区间；综上，当一 I0时，函数f(x)的减区间为(一1,上)，增区间为(L,+oo).6分a a(II)解：由(I )得，g(a) = f(-)-I- (4? + I)In(- + I), 7 分aa因为 a0,所以 g(a)? oAA-0

20、o-(I + -)In(I + -)- 0),贝U /z(x) 0时，h(x) 0 ,故函数/z(x)在(0,+3)上是减函数,所以 /i(x) 0 得 0工一 一 1,故函数h(x)在(0，厂一1)上是增函数，即对 0工 h(Q) = 0 ,与题意不符；综上，A0为所求 12分13、解： (1)由尸 (!)= 。，得 a=b. 1 分故 /()= 履一 2ax2+ax+c.C 1由 f G)=i(3x 4尤+1)=0, 得尤 1=, x2=l - 2分列表：由表可得，函数犬尤)的单调增区间是(-8, J)及(1, +8)4分(2) fr(x) =3。尤 22(1+力)尤+力=3 a(x a

21、+ A)2 一 .3。3a 当 或0时，则广(X)在0,1上是单调函数，3。3。所以广w尸(x)W尸(0),或尸(0)W广W广，且尸(0) +广(l)=a0.所以顷 IWmaxf(0)/(1) 8分当1，即ab2a,则一=W广 Wmaxr (0),广.3a3。(i) 当 a 0412分3。3。所以 l/(x)IWmax 广(0)/(1).(ii)当-b2a 时，则(Z?-)(/?-22 2a)0,即 a +b -ab 即广() a2+护-a3。3a3。3Q所以 I 尸(x)lW max广(0)/(1).综上所述：当 OWxWI 时，iy(x)IWmax_r (0)：，r(l).16分14、解：

22、(I) f(x)的定义域为(0, +8), f (x) = + 2(p l)x= NT) +P 2 分当p l时，fx)Q,故f(x)在(0, +8)单调递增；当p 0时，f (x) 0,故f(x)在(0, +8)单调递减； 4分当 0 vpv 1时，令f(x)=O,解得x =2(尹一1)则0.故f(x)在7畑1)丿时，t I)时，f U) 0,所以当 时，f(x) V奴恒成立=1 + lni奴okZ1 Iri y令 h(x)=,则必 /Z(x) max, 8分In x因为 h(x)=,由 hx) = 0 得尤=1,X且当 x e (0,1)时，hx) 0 ；当 x g (l,+oo)时，hx

23、) l10分 I)由(II)知 当 k = 1 时，有 /(x) x,当尤1 时，/(x) x 即 lnivi l,人n + 1 s + 11 Dn. / 1令尤=,贝Uln ,BP ln(n +1)-In m v nn nnsei 21.31n+11所以 1 n -, In ,，In - ,112 2n n相力口 待 In In F ? ? ? In I - -, ? I 2 n 2 n2 3 + l 2 3 + l)而 In + In dIn = In = ln( +1)I 2 n l 2 n )所以 ln(/z + l)vl + - + - + - + -, (nwN*). ? Jfe&li14分2 3 n15、解：(I)设 f 3) = ox?+AX + C (。更 0),贝 U f (x) = 2ax + b ,(2 分)/(x + 1) = Q(I + 1)2 +b(i + l) + c = ax2 + (la + b)x + a + b + c.由已知，得 2Q 状。 =( 。 + 1)尤 2+(2Q+/?) 尤 +Q + ? + C ,Q + 1 = 0.*. 时，3SQ)O, SQ)是增函数.(11 分)(12 分