导数的概念导数公式与应用

1、导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念： 函数1中，如果自变量在I处有增量二1 ,那么函数值y也相应的有增量厶y=f（x .+ x）-f（x o），其比值匚 叫做3_/（州+山）佩）函数1从到+ x的平均变化率，即匚一。3_/也）-/（可）若-I，二i. _- L，则平均变化率可表示为丄丄二 匚，称为函数|；|从1到的平均变化率。注意： 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当二T取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 二1是自变量：在处的改变量， AxhO ;而3 是函数值的改变量，可以

2、是 0。函数的平均变化率是 0，并不一定说明函数/W 没有变化，应取更小考虑。（2）平均变化率的几何意义（叼）-/（可）图像上两点割线的斜率。函数二J的平均变化率-的几何意义是表示连接函数如图所示，函数的平均变化率j - i的几何意义是：直线AB的斜率。qZT出 _ /（切-血）二 3事实上，. 匸作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念:i. 导数的定义：对函数 y=fW，在点:处给自变量x以增量一，函数y相应有增量若极限曲叟二恤如空二如 存在，则此极限称为在点;处的导数，记作处可导。小）=加叟仏血火）畑=4如即：丄八|工（或 - .）注意： 增量.可以

3、是正数，也可以是负数； 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2. 导函数：如果函数 A = /W 在开区间 （讯） 内的每点处都有导数，此时对于每一个二-1，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数：1 ,称这个函数/（X）为函数 ? = /W 在开区间内的导函数，简称导数。Y注意：函数的导数与在点一处的导数不是同一概念,广仇）是常数，是函数广 在-处的函数值，反映函数r- r0附近的变化情况。3. 导数几何意义：（1）曲线的切线A则有备二伽0二空曲线上一点P（x。，y。）及其附近一点Q（x+Ax,y+Ay），经过点P、Q作曲线的割线PQ其倾斜角为工.当点Q（x+

4、Ax,y .+ y）沿曲线无限接近于点 P（xo，y。），即 x-0时，割线PQ的极限位置直线 PT叫做曲线在点P处的切线。若切线的倾斜角为住，则当 x-0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。卜 Ay t 了（瓦tan C= hm - Im 即：丄-i.（2）导数的几何意义:函数在点X。的导数 他） 是曲线 ? = /W 上点（ 心仏）处的切线的斜率注意:若曲线处的导数不存在，但有切线，则切线与.，切线与轴正向夹角为锐角;/W0切线与轴正向夹角为钝角;切线与丄轴平行（3）曲线的切线方程如果在点；|可导，则曲线心（鬲）处的切线方程为:丿-/（%） =八卯）仃-心4. 瞬时速度:物体运动的速度

5、等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程 度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足 s=s（t）（位移公式），那么物体在时刻t的瞬时速度V，就是物体t到t+ t这段时间内，当 t T0时平均速 卩二s二昭加）化）度的极限，即：一丄z。如果把函数-孑I看作是物体的位移公式），导数-a.表示运动物体在时刻的瞬时速度。规律方法指导i如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法： 作差：求出 -和丄丄 - -1 _/（花）-/（可） 作商：对所求得的差作商，即 二工二 二注意：3 二 /伍）-/佃）_ /佃+&）-了（

6、罚）（1）二二一；匚，式子中口丄、二；的值可正、可负，但口上的值不能为零，二；的值可以为零。若函数为常数函数时， _/（叼）了（可）a :;时，一八门：:YAy _/(x1+Ax)-/(x1)(3)在式子一：.中，当勺取定值,取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当d.J.取定值，山取不（2）在式子 一中，甞与二是相对应的“增量”，即在同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2. 如何求函数在一点处的导数（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”计算函数的增量：-3 _/(兀+&)-他 1)求平均变化率：二i;八小血4佩+网一畑取极限得导数：gQ Ax 曲冲 oAx（2）利用基本初

7、等函数的导数公式求初等函数的导数。3. 导数的几何意义设函数“二: 在点】的导数是，则表示曲线“ 二 在点（厂：）处的切线的斜率。设匚；1是位移关于时间的函数，则时刻的瞬时速度;设 卩吨） 是速度关于时间的函数，则表示物体在时刻的加速度;4. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 求出L / 1在处的导数.； 利用直线方程的点斜式得切线方程为 尸肝/讥)A咼)类型一：求函数的平均变化率1、求 - 1在乍I.二之间的平均变化率，并求i. I,-时平均变化率的值.Ay /(x0+Ax)-/(x0)思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式c二进行操作.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在

8、区间2，2+口：内的平均变化率。【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率:(1) 1，3；1 ， 2；(3) 1，1.1；(4) 1，1.001.【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度(位移s的单位为m)【变式4】过曲线上两点作曲线的割线，求岀当 加二 0一1 时割线的斜率类型二：利用定义求导数、用导数的定义，求函数y = /W =在x=1处的导数。举一反三:【变式1】已知函数（1）求函数在x=4处的导数.1厂戸7、y 二1（2）求曲线二上一点处的切线方程。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数:（1）工；- ；（3）

9、I 二二；/w=-（4）.。3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.举一反三:【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:（1）平行于直线y=4x5 ；（2）垂直于直线 2x6y+5=0;（3）与x轴成135的倾斜角知识点三：常见基本函数的导数公式（1）.一 f （C为常数），/W-o（2）（ n 为有理数）， 11 （3）-，-: : - （4）二；：，；（5-，（6）-；丁 以（7）二：（8）t ，知识点四：函数四则运算求导法

10、则设工均可导（1）和差的导数： m士goorf理（2）积的导数：（3）商的导数:广规）呂g（沂儿二八兀或几恥）二他）沁）知识点五：复合函数的求导法则即复合函数 尸恥） 对自变量：的导数：，等于已知函数对中间变量:厂 了：囂;的导数，乘以中间变量:.对自变量的导数一 I。注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1求复合函数的导数的一般步骤 适当选定中间变量，正确分解复合关系； 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； 把中间变量代回原自变量（一般是X）的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一

11、回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数a1、求下列函数的导数：丄（1 厂；（ 2）二 J（3） .L 上匸丁 一1：丄.：；（4） y=2x33x2+5x + 4举一反三:【变式】求下列函数的导数: = -2si!i-(l-2cos3-)(2)2(3) y=6x3 4x2+9x 6O、求下列各函数的导函数(2) y=x2sinx;(3) y= .；举一反三:【变式11函数 y 二 0+1），0-1）在“I处的导数等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【变式21下列函数的导数(1)2 F +x 1(2)【变式3】求下列函数的导数.（1）y(2)sin x类型四：复合函数的求导、求下列函数导数.(4)+1).举一反三:【变式1】求下列函数的导数:(3) y=ln(4)/(x)=cosx+smx)类型五：求曲线的切线方程4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.举一反三:丿二一（7? 2）【变式1】求曲线在点-处的切线的斜率，并写出切线方程【变式2】已知 一_4 是曲线 上的两点，则与直线 PQ 平行的曲线的切线方程是【变式3】已知曲线I .（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2） 第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点?【变式4】