导数、微分答案

1、导数、微分部分（答案）、选择题（每小题 4分，共20 分）JI + X -1112不连续B连续但不可导、若抛物线y = ax11 B -2、设函数f (x)与曲线2e=xln2xe1 B - C - D2设函数f (X)e在点0 B r(a) C 2fd)y = Inx在x = 0 处(C)x = 0C二阶可导D仅一阶可导相切，贝！JQ等于（C）cD 2e在此处可导，且广3。）= 2,则/?（ % 等于（B）x = a处可导，则limfj + xUF等于（C）105、设函数7*3）可微，则当AxrO时,Ay-dy与Ax相比是（D）等价无穷小B同阶非等价无穷小C低阶无穷小 D高阶无穷小1 设函数

2、 /（x）=,则 f'（0） =02 设函数贝U f 3 设函数/ （ %）在气处可导，且/ （X0） =0 ,广（尤0） =1，则limn/ ，(x 0+-) =1"->83 ?o 4、 曲线y = x 2- 2x + 8 土点（1,7 ）处的切线平行于 x轴，点（；,j ）处4rr5、d -e x = e xdx 三、解答题1、（7分）设函数f(x):=(x-a)(p(x),° 3)在x = a处连续，求 f'（虹f(x)-f(a) (x-a)(p(x),、解:7fa) = lim'v J v 7=hm=(P(a)'TaX-a XT

3、。 x-a2、（7分）设函数f(x)aax=x+a° +aaX ,求 fx)解：ff(x) = a axa +的切线与X轴正向的交角为一。a l xx a2ax a na + a a In ax = smt7i3、（ 8分）求曲线在t =-处的切线方程和法线方程y = cosIt6JT11解：当t =时，曲线上的点为（一，）dy切线的斜率kM氏=斗 -2sin* 2,所以dx匕dx哇cost哇dt切线方程 y-| = -2 （ x-| ） 即 4x + 2y _3 = 0法线方程 y-| = | （x-| ）即 2x-4y + l = 04、 （ 7 分）求由方程 x-y + -si

4、ny = 0所确定的隐函数 y 的二阶导数裳2 dx解：方程的两边对 X求导1 一也+cosy处=0虹一-dx 2 dx dx 2 cosy皿七十曰 罪2. dy 4siny继续求导 一 y = sin y = dx （2-cos y） dx （cos y-2） , 求 yr5、（ 7 分）设函数 y = 3- 。）佝（尤一。 2 产?（尤一。解：两边取对数Iny = a x ln(x-aA + a 2 ln(x- tzln(x方程的两边对X求导-y' = -a + -a + .贝U y x-a x x-a 2 xan2) H +an+ AAy=y(工 + 工 +?+ 土 )=(立(1

5、,)" 工) ,=i x-a.x-a x x-a 2 xan 7=r6、( 10分)设函数f(x)= <ax + b得y(w在处可导x<-7,适当选择的值，使/(+ 0) a + b21 15151=lim(6zx + /?)=f(-Q)=hmx1x-> 2xA 2 ,1 1所以a +b =,b = a244 2,11,1、厂ax + b =lim(IX H - - Q-=lim a(x-5)2F1 XT 4 24 i XTO=lim - 2122A Y 1x x 解：因为可导一定连续，则2 X-21 , 12_X2-lim =1所以 a = i,b = _L即当a

6、=l,b = 一:时，函数/ Xx)在x = |处可导。7 (7分)若y2y(x)+对'(y) = 了 2,其中f (x)为可微函数，求 dy解：两边微分得2yf(x)dy + y2fr (x)dx + f(y)dx + xf r(y)dy = Ixdxdy =8、(7分)设函数f(x)在a,b : 土 连续，且满足/(?) = f(Z7)= 0,f； (a)./?>0,证明：f(x)在(a,。)内至少存在一点 C,使得f (c) = 0证明：因为 f ： (a) ? f: (b)>0,不妨设 f: (a)>0,f : (b)>0'(a) = limf(x)_f(a)=血 /W >0,则存在0, xt+q x-a xT+a x-a当G + )时，!W> 0 ,又因为尤。，所以 /(xj > 0xx-a同理可知存在气。，当xAib-SAb时，丑鱼0,又因为-x 2-bX2<b ,所以/(x 2) < 0 ,取适当小的a】,%,使得a + 8 x