直线与圆锥曲线的综合应用

1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点口对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：(1)直线的斜率不存在，直线的斜率存，(2)联立直线和曲线的方程组;(3)讨论类一元二次方程(4)一元二次方

2、程的判别式(5)韦达定理，同类坐标变换(6)同点纵横坐标变换(7) x,y,k(斜率)的取值范围(8)目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等x2y2311：已知椭圆C：=+0=1(a>b>0)过点(1,),且离心率e=。a2b222(I)求椭圆方程；(n)若直线l : y = kx+m(k#0)与椭圆交于不同的两点1M、N ,且线段MN的垂直平分线过定点 G(- ,0),求 8k的取值范围。后力/、+、*1 b1322解：(I) 离心率 e = 一,.下=1，即 4b =3a2 a 4 4(1)；一，一，一 一 3、1又椭圆过点(1,3),则十2 a9三=1, (1)式

3、代入上式，解得4b22a2 =4, b2 =3,椭圆方程为乙+上=1。43(n)设M(%,y),N%,y?),弦MN的中点A(x0,y0),y=kxm,n222由22得：(3+4k)x+8mkx+4m12=0,3x2+4y2=12;直线l:y=kx+m(k#0)与椭圆交于不同的两点，222222=64mk-4(3+4k)(4m-12)>0,即m<4k+3(1)2由韦达定理得:8mk4m-12XF=-2,x1x2=2-，1 234k21234k24mk3 4k2,y。二 kx0 m 二4mk23 4k23m3 4k2直线AG的斜率为:K AG3m3 4k24mk 13 4k2 824

4、m2-32mk-3-4k222由直线AG和直线MN垂直可得：24m21k=_1,即m=-3+4k，代入(1)式，可彳导(3+4k,<4k2+3,-32mk-3-4k8k8k即k2a工，则ka且或k<-。201010题型：动弦过定点的问题例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1;（I）求椭圆C的标准方程；（n）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线l:y

5、=kx+m与椭圆C相交于A,B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线l过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。22解（I）由题意设椭圆的标准方程为+4=1（aAbA0）ab222cxy，ac=3,ac=1,a=2,c=1,b=3.=143、“y=kxm/口(II)设A(x1,y)B(X2,y2),由S22得3x24y2=12(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,222222A=64mk16(3+4k)(m-3)>0,3+4k-m>02X+x2=-8mkT,Xx2=4(m3)(注意：这一步是同类坐标变换)34k34ky1y2=(kx1+m)(kx2+

6、m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=°(m咚二(注意：这一步叫同点纵、横坐标间的34k变换）丁以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且 kAD kBD=1,-2(Xi +x2)+4=0,yy2/-=t,y1y2+xx2Xi2x2-23(m2-4k2)4(m2-3)16mk,八尸+-2T-+2+4=0,34k234k234k27m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=一与,且满足3+4k2-m2>0当m=Nk时，l:y=k(x_2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k22当m=三时，l:y=k(x1),直线过定点(y,0)综上可知，直线l过定点，定

7、点坐标为(2,0).7练习2(2009辽宁卷文)已知，椭圆C以过点A(1,-),两个焦点为(1,0)(1,0)。2(1)求椭圆C的方程；(2)E, F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：(I)由题意，c=1,可设椭圆方程为,将点A的坐标代入方程：). 9a2 4(a2 -1) 所以椭圆方程力(n)设直线ae=1，解得 a2 =4，22。x y ,十 = 1433方程为：y =k(x -1) + ，代入2_22_32_(3 4k )x 4k(3 -2k)x 4(- -k) -12 =023 设£优£,丫

8、£)尸化尸，丫尸)，因为点A(1-)在椭圆上，所以2(舍去)Xf21-k-3tz43 4k23yE = kxE 一一 k2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以一K代K,可得Xf4(3 k)2 -123 4k2yE 二-kxE k2所以直线 EF 的斜率 Kef = yF - yE = -k(xF +Xe) +2k =1Xf - XeXf - Xe2即直线EF的斜率为定值，其值为 1。12分2题型：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理 决。此类问题不难解决。同类坐标变换，将问题解22例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线

9、M: L+L=1于p、Q两点，且DPu= l DQu,求实数l的取值范围。94uuu uuu解：设 P(X1,y1),Q(x2,y2),Q DP = l DQ(x1,y3)=l (x2,y2-3)即?x1 = l X2浙=3 + l 0-3)22方法方程组消元法又Qp、Q是椭圆一卜1上的点222消去X2,可得(ly2+)-ly2=1-l2即y2=%一46l又Q2£y2£2,2£13l-5£2解之得:-<7.<56l5则实数l的取值范围是:1,5L.5,方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：y=kx+3,k#0,y=kx3,一

10、一一一22由22消y整理后，得(4+9k)x+54kx+45=04x29y2=36_一_，_.2_2、.2一_.P、Q是曲线M上的两点，=(54k)4M45(4+9k)=144k-80>0即9k2.5由韦达定理得:x1x2 -54 k4 9k452 , xix2 = 24 9k一(x1&)2xix2542k2(11)222x1x2x2x145(49k2)36 5(1)2-29k4(42二129k29k2一一11369.一1由得0<2<-，代入，整理得1<2<-，解之得一<九<59k55(1)55总之实数l的取值范围是11,5 IIL51当直线P

11、Q的斜率不存在，即x=0时，易知九=5或九=。5方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大,纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。(07福建理科)如图，已知点F(1,0)，直线l：x=1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 QP QFFP FQ(I)求动点P的轨迹C的方程;(n)过点F的直线交轨迹C于A、B两

12、点，交直线l于点M，已知MA=4AF,AF=九2BF，求%十九2的值。小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法(I)设点P(x,y),则Q(-1,y),由QPqF=FP了Q得:(x+1,0)j2,y)=(x1,y)|j-2,y),化简得C:y2=4x.(n)设直线AB的方程为：x=my+1(m#0).、一，2仅A(xi,yi),B(X2,y2),又M1,m2y + y2 = 4m,2 =(-4m) +12 >0 ,故厂 y1y2 - - 4y2二4x.c联立方程组,y4x,，消去x得：y24m

13、y4=0,x=my1,由mM高了得:%+?y2+2=%y2,整理得:mm一1-Zmy1-Jmy2'1''211十、y2)汩32二_2-"=0my1y2m-4解法二：(I)由QpqF=FP_FQ得：FQIPQPFPQPFj=0PQ-pF)L(PQ+PF)=0,t2+2PQ-PF=0所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.3由已知MMKgMA贝U：=MB人1AF过点A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1,B1,AA1则有:MBBBi由得:AF=,即九+Z2=0.BF题型：面积问题练习2、(山东06文)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上

14、,4。椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为(I)求椭圆的方程；(11)直线1过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AAOB面积取得最大值时,求直线l的方程。2解：设椭圆方程为x2 a2 =1(a b 0). b2(I)由已知得b = cy 2a2=4cL 2.2,2a = b c2ab2、c22=1二所求椭圆方程为二十 y2 = 1.2=1 8kx1 x2 21 +2k26, x2 =21 +2k二 AB=1 k2Xi -X2=1 k2x1 x2)2 - 4x1 x2f6k224原点O到直线l的距离d1k21二 S&db = 一 AB d =216k2 -

15、241 2k22 2 . 2k2 -31 2k2(II)解法一：由题意知直线I的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)y=kx2x22消去y得关于x的方程：(1+2k2)x2+8kx+6=0y=12由直线I与椭圆相交A、B两点，二a。、64k2-24(1+2k2)>0,23解得k2又由韦达定理得216k2-24解法1：对s=两边平方整理得:12k(*)4S2k44(S2-4)k2S224=0整理得:_22_2_2_16(S-4)-44S(S24),04-S20S2_2S24c204S221c八2SM.又S>0,，0cSM.从而S*OB的最大值为S

16、XO2-28k2 49 =04k4此时代入方程（*）得.k所以，所求直线方程为:,.14x-2y4=0.解法2：令m=12k23(m>0),则2k2=m2+3,2.2m2.2224<.当且仅当m=即2mm=2时,SJmax.2,.14一=J此时k=±.所以，所求直线方程为±J14x2y+4=0.§8.4直线与圆锥曲线的综合应用、选择题（每小题7分，共35分）221.AB为过椭圆/+京=1中心的弦，F（c,0）为它的焦点，则FAB的最大面积为（2.A.b2B.abC.acD.bc过点（0,1）作直线，使它与抛物线y2=4X仅有一个公共点，这样的直线有（）

17、A.1条B.2条C.3条D.4条3.过抛物线y2= 2px （p>0）的焦点F且倾斜角为60。的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则1AF的值BFI等于（）A.5B.4C.3D.24.22已知椭圆c的方程为+m2：=1（m>0）,如果直线y=32x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦2，=1（a>0, b>0）的左焦点为Fi,左、右顶点为Ai、A2, P为双曲线上任意一点,点F,则m的值为（）A.2B.2v2C.8D,27325.已知双曲线x2-a则分别以线段PFi,A1A2为直径的两个圆的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有

18、可能、填空题(每小题6分，共24分)6.直线y=kx+1与椭圆"1恒有公共点，则m的取值范围是5m7.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(aw0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为8.如图所示，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于A,B,C三点,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是229.如图，在平面直角坐标系xOy中，Ai、A2、Bi、B2为椭圆点+by2=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线BiF相交于点线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中

19、点，则该椭圆的离心率为三、解答题(共41分)2210.(13分)设AB是过椭圆£+4=1的一个焦点的弦，若AB的倾斜角为60°,求弦AB的长.11. (14分)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另有一条直线l经过P(2,0)及线段AB的中点Q.求k的取值范围；(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.12. (14分)已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2V3),离心率为2.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E(0,-4)的直线l交椭圆P于点R,T,且满足OROT=尊.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.:t8x8. y2= 3xy=V3(x-1),答案1.D2.C3.C4.B5.B6.m>1且m57.y片111 k2 (X+2).;9.24510解依题意，椭圆白一个焦点F为(1,0),则直线AB的方程为代入4x2+5y2=20,得19x230x5=0.设A(X1,y1)，B(x2,y2),ntt305则X1+X2=19,X1X2=-.弦AB的长为19|AB|=叱1+k2弟1+X22-4X1X232四19.11.解(1)将y=kX1代入双曲线方程X2-y2=1,化简，