相似三角形常见模型与经典型例题讲解

1、第一部分相似三角形模型分析、相似三角形判定的基本模型认识（二）8字型、反8字型（四）一线三等角型:（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图，梯形ABCD中，AD/BC,对角线AC、BD交于点O,BE/CD交CA延长线于E.求证：OC2=OAOE.例2:已知：如图，ABC中，点E在中线AD上，/DEB=/ABC.求证：(1)DB2=DE，DA;(2)/DCE=NDAC.例3:已知：如图，等腰ABC中，AB=AC,ADBC于D,CG/AB,BG分别交AD、AC于E、F

2、.最新可编辑word文档求证：BE2=EFEG.相关练习:21、如图，已知AD为4ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD=FBFC.EF是AD的垂直平分线交 AD于M EF、BC的延长线CF± BE 于 F。2、已知：AD是RtABC中/A的平分线，/0=90°,交于一点此求证：（1）AAMtENMD;（2）ND2=NC-NB3、已知：如图，在ABC中，/ACB=90,CDLAB于D,E是AC上一点,求证：EB-DF=AE-DB最新可编辑word文档4 .在AABC中，AB=AC高A®BEX于H,EF_LBC,垂足为F,延长ADiijG,使DG=EF

3、M是AH勺中点。求证：GBM=905 .（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在RtABC,/0=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PDLAR交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且/EP!=/A.设AP两点的距离为x,BEP勺面积为y.（1）求证：AE=2PE;（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABCt目似时，求BEP勺面积.双垂型1、如图，在ABC中，/A=60°,BDCE分另1J是ACAB上的高2、如图，已知锐角ABC,AD、CE分别是B(DE=6。

4、2,求：点B到直线AC的距离。BC3AB边上的高，ABC和BDE的面积分别是27和3,4BDC求证：(1)ABtDACE(2)ADEABQ(3)BC=2ED1、ABC是等边三角形，D、BC长.2、已知：如图，在RtABC中，求证：(1)ABEsACD;一线三等加工E在一条直线上，/dae=120口，已知BD=1,CE=3，求等边三角形的边ADBCEAB=AC,/DAE=45°.(2)BC2=2BECD.A最新可编辑word文档共享型相似三角形AB DC(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重/APQ =90。当CQ=1时，求出线

5、段BP的长.合)，且保持例1:如图，等边ABC中，边长为6,D是BC上动点，/EDF=60(1)求证：BDEACFD(2)当BD=1,FC=3时，求BE例2:(1)在AABC中，AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ=/ABC.若点P在线段CB上(如图)，且BP=6,求线段CQ的长；若BP=x,CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；例3：已知在梯形ABCD中，AD/BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.(1)如图8,P为AD上的一点，满足/BPC=ZA.求证；ABPADPC求AP的长.(2)如果点P在A

6、D边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/BPE=/A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x, CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;当CE= 1时，写出AP的长.例4：如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD=BC=6,AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作NEMF=/B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.(1)求证：MEFBEM;(2)若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3)若EF_LCD,求BE的长.E在AC边上，且(2)相关练习:1、如图，在ABC中，AB=AC=8,BC

7、=10,D是BC边上的一个动点，点/ADE=/C.求证：ABDADCE;如果BD=x,AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量当点D是BC的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在ABC中，AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点，BD=2,E是BC上一动点，联结DE,并作/DEF=/B,射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEs ECF;(2)当F是线段AC中点时，求线段 BE的长;(3)联结DF,如果DEF与DBE相似，求FC的长.3、已知在梯形ABCD中，AD/BC,ADvBC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且B

8、P=2.求证：BEPsCPD；(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合)，且满足/EPF=/C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=X,DF=y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的定义域；(第25题(备用图)4、如图，已知边长为3的等边4ABe，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边&EFG，直线EG，FG交直线AC于点M,N,(1)写出图中与ABEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE=X，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(4)若AE

9、=1 ,试求AGMN的面积.最新可编辑word文档备用图一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3 ,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE _L CP ,交边AB于点E,设PD = x, AE = y，求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。cAO2例2、在AABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,0是AB上的一点，且土=£,点P是AC上的一个AB5动点，PQ_L0P交线段BC于点Q,(不与点B,C重合)，设AP=x,CQ=y，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。【练习13在直角AABC中，ZC=90°AB

10、=5tanB=，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF1DE''4交射线AC于点F(1)、求AC和BC的长(2)、当EFBC时，求BE的长。(3)、连结EF,当ADEF和AABC相似时，求BE的长。【练习2在直角三角形ABC中，/C=90°,AB=BC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合)，DFDDE,DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：DE=DFAD-DE钻/古(2)、当=m,求的值DBDF一，.AD1(3)、当AC=BC=6,=,设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域DB2最新可编辑word文档3【练习4如图，在AABC中，/C=90“，AC=6,tanB=,D是BC边的中点，E为AB边上4的一个动点，作ZDEF=90：EF交射线BC于点F.设BE=x,ABED的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与 ABED相似，求ABED的面积.【练习5】、(2009年黄浦一模25)如图，在梯形ABCD中，AB|CD,AB=2,AD=4,tan