专题18 数列中的奇、偶项问题【一题一专题 技巧全突破】2022高三二轮热点题型专项突破（解析版）.docx

1、数列中的奇、偶项问题iWj考定位数列的奇、偶项问题，是近年来的高考的热点问题，考察了学生的分类与整合能力，考察了学生的探究发现的能力，也是今后考察的热点。专题解析(1) 求通项和求和时，分奇数项与偶数项分别表达；(2) 求S时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k+a2k看作一项,求出S2A，再求S2k-l=S2kQ2k专项突破类型一、数列中连续两项和或积的问题(0?+如1=/(/7)或。"+1=加)；例1-1.已知数列外满足671=1,。+1+。=4机求数列。的前100项和5100；(2)求数列修”的通项公式.解(1)''。1=1,0汁|+07=4

2、，Si(X)=(。+。2)+(。3+。4)I-(。99+CL100)=4X1+4X34X99=4X(1+3+599)=4X502=10000.(2)由题意，。+1+。=4,。+2+。+1=4("+1),由一得，0汁207=4,由。1=1,。1+您=4,所以。2=3.当为奇数时，。=。1+仁?一1)X4=2一1,当为偶数时，0?=您+质一1)X4=2一1.综上所述，07=2一1.练.设各项均为正数的等差数列%的前项和为S，旗=20,且知-1,句成等比数列.(1) 求数列%的公差H；(2) 数列如满足勿+#=%,且+1=%,求数列也的通项公式.【答案】(1)刁=1；b=兰+1+(一1广.

3、24【分析】(1)根据。2，%T，成等比数列可得(-1)2=。2。11，利用“1，表示出$5=2。和(%-1)2=%句，解方程组可求得缶,d,结合>0可得结果;贝ij(%+2-。2+1)+(。2+1-。2)<0'由题意得，+2一。2+1|=Q+2)2>(2+1)2=缶+i,山(%+2_%+|)+(%+1一%)<°明曰3由I，口J得。2+2-a2n+V。，neN,U%+2一。2+1>|%衬一。2又a>a29即a2-a<0,所以当为奇数且n>3时，an-an_x=n2；当为偶数时,-。_1=-.所以%9=(%9_%8)+(%8_%7

4、)+(%7_%)+(%_巧)+口1=99298之+972962+32+1=99+98+97+96+3+2+1=4950.故选：D.类型四、已知条件明确的奇偶项问题.1504-1.已知数列化满足6/1=1,£+一1,为奇数，2记勿=。2，求证：数列加为等比数歹U，并求出数列。的通a,In,冷为偶数，项公式.证明b“+1=。2(+1)=22«+1+2+11=4-1+2=方(。222)+2n=22/7=."为等比数列，且公比q.又b=2*=2,可得”=亍6nn12技n所以，当为偶数时，atJ=h=，厂1，厂1(-i)+i=。(-1)一2(1)=/?项2(1)=一1)_2

5、(_1),可验证6/1=1也符合上式,综上所述，an综上所述，an()2(/?1)，为奇数,n，为偶数.练.己知数列。满足。=<2*+；,为正偶数.2乙(1)问数列。是否为等差数列或等比数列？说明理由;(2)求证：数列"2是等差数列，并求数列也的通项公式.(1)角昆由。I=§咛+；=%+；*=1,02。2=2。二+3=2。1+1=3,22。3=*手+!=*2。3=*手+!=*2+；=5,。4=2。*+3=22+2=8.22.。2=2,。4一。3=3,.。2尹。4一。3,.数列。异不是等差数列.竺虫.丝aaz3.数列W也不是等比数列.证明.对任意正整数，您+1=2您+2

6、,2+i2_2'2数列爵是首项为&公差为;的等差数列,从而对"6N*,ail3,n1f成7=3+2，贝V。2=("+2)2.数列。2的通项公式是6?2=(+2)2广1("小*).-,n=2k-l练.数列%且。练.数列%且。n(居N*),若S为数列肩的前项和，则sin,n=2k42021【答案】30342023【分析】由题意,由题意,当为奇数时,n2+2n2nn+2)riTr;当为偶数时，为=sin丁.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.【详解】,n=2kl解：数列*且。解：数列*且。(居冷),sin,n=2k4当为奇数时,

7、当为奇数时,疽+2一弟当为偶数时,an=sin,%+%+%+%=。，则偶数项和为(%+%+%+%)+(。10+a2+"l4+“16)+，+(%010+0012+。2014+“2016)+2018+“2020=“2018+“2020=%+%=1，月I以2021=(“1+%“2021)+(缶+。4+角)2。)(11111)<33520212023J+1=1011+1=3034202320233034故答案为:盘练.已知S数列%的前项和，=人，且。+%|=(-1)心若湿一翱;=1010-S2X)192U1yn+20)9|(其中"。)，则丁+翕的最小值是()A.2>/2

8、B.4c.2J2019D.2018【答案】B【分析】由Cln+Q+=(1)",可得+角=F,%+“3=22,%+。4=，%+%=42,。2018+。2019=2。1皮，以上各式相加得可求得%+2(%+%+四+。2盅)+。2019,结合绦斜一钦=1°1°一日，根据均值不等式，即20192a)19可求得答案.【详解】Cln+an+=(T)2*%+%=F,%+。3=2之,+%=3之，+=4七,。°()|8+。2019=2018?,以上各式相加得,=(-12+22)+(-32+42)+.+(-20172+20182+2(q+%+%+%+,+“2018)+劣。19

9、=F+23?+4?一2017"+2018,2,209%“2019=(2l)x(2+l)+(43)x(4+3)+(20182017)x(2018+2017),=1+2+3+4+2017+2018=2019x10092$2（）9“2019_1八八。1a而一而一1°°9+面又金奇皿，1009+-=1010-#,2019即一+=2019又.%=九，20191.+=21,(2019（人）+H41九"2019)=1+辿+L.2+2220192019«_J_4Z-2019#'r.,t20192,.工工当且仅当疝显时等号成立,故选：B.练.己知数列0满

10、足=2,但=3且。+2-=1+（T）'盘c对，则该数列的前9项之和A.32A.32B.43C.34D.35【答案】C【分析】讨论为奇数、偶数的情况数列%的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数列的前9项之和.【详解】二当n为奇数时，。2+1-。2一=0，则数列亿2-1是常数列，。2一1=%=2；2n+2当为偶数时，。2+2-=2,贝【J数列%是以。2=3为首项，公差为2的等差数列,4x3t/j+缶+,+%=("1+%+,+"9)+("°+%+%)=2x5+(3x4x2)=34.2故选：C练.设S为数列。的前项和，=(-l)wan-,

11、neN*,则5j+52+5100=1A31A3(2I(X)-11B3"9821D3(、502【答案】A【分析】由递推式求出数列的首项，当Z2时分为偶数和奇数求出。,代入Sn-VTayN后分组，然后利用等比数列的前项和公式求解.【详解】由S=(一1)0-夕,当=1时，S=-q_S，得q=_:当n>2时，=S一S=(一1)%一一(一1)七_，即=(T)0?+另当为偶数时，%当为偶数时，%(¥),所以。=-我(为正奇数),当n为奇数时，。一1=-2。+=(-2)当n为奇数时，。一1=-2。+=(-2)+土=决T，所以(为正偶数),所以-6=，所以-a+a2=2x2=2所以一

12、%+q=2x+=,.,_S=佥，弓00=佥，所以+。|00=2x我=吏.因为S+S2+S3+S®=(0+缶)+(-%+%)+(-%+%)+(“99+000)Ifl-2lS+S2+S3+S®=(0+缶)+(-%+%)+(-%+%)+(“99+000)Ifl-2l(111)+P.+2222,00J1+匝-底+歹1111)+21(X,)2"450J1)OlOOLJ72cl(X)L7故选：A练.已知正项数列%的前项和为S，。=1,且S+S=可；(、2),设小)E+1),则数列勿前项和的取值范围为.S、3、"21【答案】一s，Td一1，一耳【分析】根据s“，,之间

13、关系可得数列%为等差数列并得到为,然后得到如，根据裂项相消可得数列如前项和，最后进行判断即可.【详解】由S”+S”_i=a：,则Sn+l+S”=a,化简可得:(%+1_%一1)(%+1+%)=°，又。>°，所以an+an=1(>2)当=2时，S2+S=q；=>%+角+%=>=2所以-=1符号由故数列%是首项为1,公差为1的等差数列所以%=n,则Sn=+2所以如=2（；）"，+1）=2（_1）11）_+nn+）令设数列也前项和K所以"2-1+捉十*.+(顼；+(顼土-盘为偶数所以K=<72+1-1-一，为奇数+1I12当为偶数

14、时，Tn=一-1,则Tn<-1=-且K>1+13313当为奇数时，L=-1,则=+122综上所述：TnG一|，一1Lfjr3（21故答案为：一3，一1D练.设是数列亿的前项和，若黑=(-1)0+§,则S|+S2+.+Su=【答案】13654096【分析】运用数列的递推式，讨论为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】解：&=（一1）+,当=1时，=S=-巧+&,解得,可得Sn=（一1）”（Sn一S,_i）+£,当为偶数时,S”=S”-S妇+土,即有S/二当为奇数（松3）时，S,=-（f芬可得S,i=2S-§=2.12

15、+i2即有S+S=即有S+S=+0HF0H0+.+1664n1)孔一13651_140964n1)孔一13651_140964公山1365故口木为诙（2）由（1）可得如/一如+n+l,13,13、整理得如+1_5_日=_”一5（_1）_日/可矢口数歹0f-1）-，为等比数列,由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列%的公差为Q%,。6-1，。11成等比数列，二（。6-1）2="11，即（。1+5刁一1）2=（%+刁）（+10）,_825x40=2'17又S5=5%+-d=20,解得：；|或：；-2d=ld=-L17_82%7828427时，13a+12/=0,

16、与>0矛盾，二d=17即等差数列0的公差d=l；（2）由（1）得：。="+1,.展+勿+="+1,即如+1=如+1，+124,又4+1=%=2,解得：=1,.数列如-!（-启是以-.数列如-!（-启是以-31厂彳为首项T为公比的等比数列，如一；（"一1）一：=（一1）'X：,整理可得：b=兰+44"24练.己知数列。的前项和为S，且=1,%+%=2+1（乂），则数列：的前2020项的和为（2020A.20214040B.20214039C.202040412022【答案】B【分析】首先根据己知条件求得。首先根据己知条件求得。然后求得S，利用

17、裂项求和法求得正确答案.【详解】数列M的前项和为s,且=1,。+。=2+1,则缶=3-。1=2.所以an+2+%+=2+3,两式相减得：。+2=2,当为奇数时,-1x2=l+l-2=，2J当为偶数时,dn=2+1x2=2+2=,27所以cin=n,所以数列%是首项为1,公差为1的等差数列.所以S=1故瓦F+i)2=2(1L),n+1所以"/3吐=2(1-！+!-*.+土)=2(1一土),则磁=2(=新n，记S为的前项和，人=。2+。2-n，记S为的前项和，人=。2+。2-故选：B例1-2.在数列。中，己知s=l,%心+1=1，住N*.(1)判断数列勿是否为等比数列，并写出其通项公式;

18、求数列曲的通项公式；求Sffr以'1，。+2解(1)因为affCln+1=所以=2?即。+2=云因为bn+。2-1，所以钏=地4=箜痒竺1-十。2一1所以钏=地4=箜痒竺1-十。2一12'因为。1所以数列勿是公比为亨的等比数列.19Z|*Z2=2，13所以。2=亍。|=。1+。2=13所以。2=亍。|=。1+。2=2'所以=如，仁N*.(2)由口J知0汁2=尹”所以。1，。3，。5，一是以(2=1为首项，万为公比的等比数列；口2,S为首项，;为公比的等比数列，n1n所以。2一1=(；)，Clin=(;)，为奇数,所以=<(3)因为，2=(。1+白3+,+。2-1)

19、+(。2+。4您)ZZ1 14，21S'nCl2n3_32，,33-,为偶数，2巳243，为奇数.2史2练.已知正项数列0的首项。1=,其前项和为S，且=2S.数列也满足:an+l(bi+。2+.+?)=。(1) 求数列J的通项公式；(2) 记&=,证明：V2-<q+勺+乌v2.V%2+2【答案】(1) an=n(ngN*)(2) 证明见解析【分析】(1)根据题意得到"+i=2S和。=2如1(松2),两式相减得=2(论2),解得答案.计算=看习'&=")(+2)'放缩C“<2(士一寿)和勺>2(点一点)，利用裂项相消

20、法计算得到证明.(1)由%+i=2S得%_%=2S”(Z2),两式相减得。+1=2(>2),由苗=1,得角=2,数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列,当为奇数时，。=",当为偶数时，%=h综上所述4=(£N*).(2),a.nn_I由小奶+.*,=«=危"皿+.+如=；,松2,4亏两式相减得U右论2'验证卜S成立，故勿（+）则c=如口+2&(+1)(+2)，2(J+1-插)=2()J("+1)>JnJ+1=50+50X5450X(501)2X4=5200.丹K么c=_<J(.+l)(J+2+Jn+2)J

21、n(n+l)(7i+J-+1)“11111、“1、C故勺+七+.+&<2(1-善.相-箱+.+由-E)=2(1_存)<2,门理J(+l)(+2)(/+yfn)+1)(+2)(Ju+1+n+2)J(.+1)(.+2)111111、11、故q+a+c>2成-忠+箱-孑布一定）=2（善_定）="一点得证类型二、含有（一1）的类型；例2-1.数列。中，<71=1,6/2=2,数列勿满足为=。+1+（l）w，EN*.（1）若数列是等差数列，求数列的前100项和Sioo；（2）若数列勿是公差为2的等差数列，求数列。的通项公式.解（l）''s为等差数

22、列,且Ql=l,。2=2,公差d19ClflZl.1=1,为奇数，4汁1+。=2+1,为偶数，1,为奇数，mb=<、2+1,为偶数,纺的前100项和Sl00=("l+3人99)+(人2+。4bl00)=50+(5+9+13+201)(2)由题意得，加=。2。1=1,公差d=2,'h,t=2n1./?2-1。2-1439CD<bln=。2+1+=4一19由一得，。2+1+。2-1=2,。2+12Cl2n1，乂。=1,。=。3=。5='=1，。2一1=1，。2=42,综上所述,1,为奇数,2一2,为偶数.例2-2设&为数列"的前n项和，S=(

23、1)%求。3；(2)求S1+S2Sioo.解(1)令=4,则$4=。4土，.，.S3=土.令=3,则S3=O3土，.-O±_±。3_。3_23_24,(2)当n=时，a=Cln=SnS1=(一1)S-土-(11=(一1)地+(1)."1+土，即。=(1)也+(1)Q-1+£.(*)当为偶数时，由*式可得0l1+£=O,则0l1=£；，1亍，此时n为奇数.当为奇数时，由*式可得an-=2。+芬=2-an-=2。+芬=2-+±=-L122_i'=*此时为偶数.综上所述，an=歹ry，为奇数,、土，为偶数.Si+S2+S1

24、00=(。1+。2)+(。3+。4)+(。99+。100+)=2申土+我一G+土+）100练擞列。异的通项公式为为=（一1）F（4一3）,则它的前100项之和S100等于（）A.200B.-200C.400D.-400答案B解析Sioo=l-5+9397=4X(-50)=-200.练.已知数歹0。满足勿=1,。2=*3+(1)M+22q+2(1)一1=0,仁N*.2'（1）令bn=ain-y判断。是否为等差数列，并求数列。的通项公式;（2）记数列的前In项和为T&,求Tm.解(1)因为3+(1)M+22g+2(1)一1=0,所以3+(1)22。2-1+2(1)211=0,又bn

25、1，月f以1b。2+112，所以勿是以"1=01=1为首项，2为公差的等差数列.所以人=1+("1)X2=2771,MEN*.(2)对于3+(1)。+2-2缶+2(1)1=0,当为偶数时，可得（3+1）。+22。+2（11）=0,即质=§所以皿。4,。6,是以。2=；为首项，;为公比的等比数列;当为奇数时，可得（3一1）山+2一2，+2（一1一1）=0,所以Ql，Q3，。5，是以Cl=为首项，2为公差的等差数列，所以=(。1+。3H。2一1)+02+14b。2)11n2=nX1-n(一1)X2+1_2=/+1侦类型三、含有亿2，。2-1的类型；例3-1.己知数列为

26、各项非零的等差数列，其前项和为S,”满足$2-|=冻求数列。的通项公式；记"=K（F，求数列如的前项和乙.（2一1）.'。夭。，/.a,t=2n1（EN*）.当为奇数时1n112+1/4+2S亏g盐为奇数.练.已知数列%满足%=1,角=_1+（-1）"，。2+1=。2+3”（CN*）,则数列%的前2017项的和为（）A.J00'2005B.320,6-2017C.31008-2017D.31009-2018【答案】D【分析】根据给定条件求出。2抑与亿2的通项，进而求得土+。2即可求出数列%的前2017项的和.【详解】在数列。中，。1=1,。2=。2一1+（-1）。2+1=。2+3，,则有。2+2=。2+1+（-1）”"=角+3"+（-1）"+1，即。2+2一。2=3+（