人教版高数必修五第11讲：一元二次不等式及其解法（教师版）.docx

1、一元二次不等式及其解法冬大脑体黛）逢教学目标）教学重点：正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点：理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。连趣味引入）知识梳理）.1. 一元二次不等式（1）一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；（2）一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；（3）同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。2. 一元二次不等式与相应的函数、方

2、程之间的关系对于一元二次方程心2+版+。=0（。0）设=屏4次它的解按八0,（）,=0可分为三种情况，列表如下：A>0=0A<0即(%3)24-1<0,故所求不等式的解集为。(4) 原不等式化为2X23x+2>0,37即2(x)2+g>0.xER.故所求不等式的解集为R.23. 已知不等式X22%3<0的解集为A,不等式x2+x6<0的解集为B.(1) 求AC8；(2) 若不等式/+。工+。<0的解集为AC8,求不等式a-x-b<Q的解集.答案：(1)由x2-2%3<0,得一1<x<3,.诲=(1,3).由*+工一6<

3、;0,得一3<x<2,.麟=(3,2),nCB=(1,2).(2)由题意,1ab=04+2。+人=0解得a=lb=22<0,A%2x+2>0,.不等式x2-x+2>0的解集为R.24. 已知不等式q/+/?x+c>0的解集为x|avxv”,其中p>a>0,求不等式c+bxa<Q的解集.答案：.qx2+/u+c>0的解集为x|gVx<K,:月是方程cix1-bx-c=0的两根，且qvO.ch:邸=_,。+月=一,:.c=a邸,/?=q(g+Q)ex2+版+a<Q,aax1a(a+/3)x-a<0,整理，得apx1一(g

4、+")/+1>0.'-侦+尹+时.方程j-(£+*+$=0的两根为土|./(土+*工+力>。的解集为%k>,或x*,即不等式cx2-bx-a<0的解集为x|x>,或xv.25. 解关于x的不等式：56/or。2>0.答案：56axa2>0可化为(7xq)(8i+g)>0.,】aa卜a当a>0时，一gV,.x>y或xVg； 当a<0时，一?>与，?或xV与；当a=0时，xtO.综上所述，当i>0时，原不等式的解集为尤|小>与或xv$；当。=0时，原不等式的解集为xxR且工尹0；当a&l

5、t;0时，原不等式的解集为工|工>一?或x<.26. 解关于尤的不等式*yQ0.mx1答案：原不等式可化为7>0,mx1即x(mx1)>0.当m>0时，解得x<0或x>；当2<0时，解得!vxO;当m=。时，解得工<0综上，当m>0时，不等式的解集为工次<。或x>"；，&当*0时，不等式的解集为x|!<x0；当m=0时，不等式的解集为xx<Q.27. 当"为何值时，不等式(。21)/+(。一1)工一lv0的解集是R?答案：由。21=0,得q=±.当。=1时，原不等式化为一I

6、vO恒成立，.L当Q=1时，满足题意.当a=1时，原不等式化为一2x'IvO,.尤>.当a=1时，不满足题意，故1.当。贝±1时，由题意，得J/MOU=(-1)2+4(6z2-1)<0'3解得一3综上可知，实数。的取值范围是一§vqW1.标程顾问签李：教学主管签李:二次函数y=ax+bx+c（。0）的图象2y-ax+hx+c2y-ax+hx+cI2y-ax+bx+cL一兀一次方程ax+Zzx+c=0（a>。韵根有两相异实根尤,X2（%!<X2）有两相等实根bJCi-2a无实根2ax'+bx+c>0(a>0)的解集x

7、x<xx>x2L当I2打R2ax+bx+c<0(a>0)的解集xx<x<x2)003. 一元二次不等式的解法步骤（1）对不等式进行变形，使一端为0,且二次项系数大于0；（2）计算相应方程的根的判别式；（3）当A>0时，求出相应的一元二次方程的两根；（4）根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。（一看，二算，三写）含参数的一元二次不等式的解法（1）二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；（2）解得过程中，若表达式含有参数且参数的取值影响的符号，这

8、时根据的符号确定的需要，对参数进行讨论；（3）方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。4. 不等式的恒成立问题（1）结合二次函数的图像和性质用判别式法，当尤的取值为全体实数时，一般用此法；（2）从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（3）能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；（4）数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。5. 分式不等式的解法将分式不等式转化为整式不等式求解，若能直接判断出分子或分母的符号，则可求解，否则应化为以下形式：(1) 京润=;"°(2) >0«>/(A：)-

9、g(x)>0*0=%状°(4) ,V0Of(x)g(x)V。*典例讲练)类型一：一元二次不等式的解法；分式不等式的解法；例1.解下列不等式：2x2-3x-2>0解析：.>0,2必3工2=0的根是气=上,花=2,所以不等式2x2-3x-2>。的解集为xx<或x>22答案：x|x<5或x>2练习1.解下列不等式：x2-4x+4>0答案：幻工。2练习2.解下列不等式：/+2x3v0答案：Rx+例2.不等式<3的解集是x解析：由史V3,移项得史-3V0通分得%+13x<0即上耳<0该不等式等价于|(舟*°XXX

10、XI(111即方程2X-x=o的两根为一,0故原不等式的解集为x|xvo或xZ、2)22答案：yvo或xz24练习3.不等式的解集是工1答案：1u3,+8练习4.使不等式x-x2成立的工的取值范围是x答案：（一8,1）类型二：含参数的一元二次不等式的解法例3.解关于尤的不等式破2一（g+i）x+1v0解析：若。=。，原不等式oxl若Q0,原不等式X4或X1a若i0,原不等式0(nX(尤一1)v0(1)当1=1,原不等式0X6。(2)(3)当a1,原不等式=上工1a当0VQV1,原不等式1工1a综上所述，当610,解集为尤|尤1或工1a当。=0,解集为x|xl当Ovovl,解集为（幻1尤上a当。

11、=1,解集为，当3>1,解集为SX|<X<1a答案：当1V0,解集为尤|尤1或尤1a当1=0,解集为尤|尤1当0VQV1,解集为lllvivlIa当1=1,解集为。当Q>1,解集为<X<X<1a练习5.巳知。七则不等式必练习5.巳知。七则不等式必A.B.5q)答案：A(2、<2)C.a,D.,CI)26i+-L+2<0的解集为()a)练习6.若不等式2x2bx-l<0的解集为1)jn2J，则b+m=答案：2类型三：有关不等式恒成立问题例4.关于尤不等式(l+m)x2+/nr+/7t<x2+1对xeR恒成立，求实数秫的取值范围解析

12、：原不等式等价于+mx+m-lvO对尤eR恒成立(1) 当m=0时，不等式为-1<0显然成立(2) 当时，由不等式恒成立得解得m<0或彻£(=-4?(z-l)v03综上，m的取值范围为秫0答案：m<Q练习7.对任意的实数工，不等式mx2-mx-<。恒成立，则实数m的取值范围是()(-4,0)B.(-4,0C.-4,0D.-4,0)答案:B练习8.不等式x2-2x+5>a2-3a对任意实数x恒成立，则实数"的取值范围为()A. 1,4B.(8,2CJ5,+8)C.(00,14,+co)d.2,5答案:A练习9.已知关于i的不等式X2-6ZX+26

13、1>0在R上恒成立，则实数。的取值范围是答案：(0,8)练习10.函数f(x)=J亍一2"尤+1)+3的定义域为R,试求1的取值范围答案：-3,1上当堂检测）1. 若集合A=x|x2-x<0）,B=（x|0<x<3）,则AAB等于（）A.(x|O<x<lA.(x|O<x<lB.(x|0<x<3)C.(x|l<x<3)D.0答案：A答案：A2. 不等式（lx）（3+x）>0的解集是（）A.(-3,1)A.(-3,1)B.(8,-3)U(1,+oo)C.(-1,3)D.(8,-1)U(3,+8)答案：A答案：A

14、3.已知不等式/+or+4Vo的解集为空集，则。的取值范围是（B.-4<a<4B.-4<a<4D.q<4或。4答案：A答案：A4.若0W1,则不等式-（z+x+K0的解集是（）A.x<x<tB.或xVrA.x<x<tB.或xVrC.(x|x<ygJcx>?)D.(x|z<x<y)答案：D答案：D5. 不等式疽+2工一3N0的解集为（）A.(xx1或x3jB.x|1WxW3C.(xx3或D.x|3WxWl答案：C6. 不等式x2-4x-5>0的解集是（）A.xx5或xW1A.xx5或xW1B.xx>5或了&

15、lt;一1C.x|l<x<5)D.x|1WxW5答案：B答案：B7. 不等式一/Nx2的解集为（）A.（x|x2或lB.（x|2<x<l答案：CC.x|2WxWl当堂总结）三a家庭作业）基础巩固1.不等式组1.不等式组X21<0iO的解集颊）B.(x|0<x<3C.xO<x<)D.xl<x<3)答案：C+2/tlx+Hl如果不等式H/+6x+3I对一切实数均成立,则实数s的取值范围是（）A.(1,3)B.(一8,3)C.(8,1)U(2,+8)D.(°°,+°°)答案：A下列选项中，使不等

16、式x<7<x2成立的工的取值范围是（A.(8,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+8)答案：A答案：A4.若jx）=+nvc的函数值有正值,则，的取值范围是（A.mV2或m>2A.mV2或m>2B.-2<m<2C.m乂±2D.l<m<3答案：A5.对于任意实数x,答案：A5.对于任意实数x,不等式（。一2）/2（。一2）x4V0恒成立，则实数a的取值范围（）A.(8,2)A.(8,2)B.(一8,2C.(-2,2)D.(-2,2答案：D6. 不等式芽三<1的解集是答案：（x<4或尤>§7. 若关于x

17、的不等式一+2x>nvc的解集是湘<1<2,则实数m的值是答案：18. 不等式/+x2<。的解集为答案：x2<x<不等式02尤一3V5的解集为答案：x|2<rW1或3Wx<5若不等式履+版+c>0的解集为尤|3<rv4,求不等式bx1-2axc3b<0的解集.答案：履+/?x+c>0的解集为|一3<¥4,a<0且一3和4是方程ax2-bx-c0的两根,_3+4=_g",解得_3X4=£a.不等式bx12axc3/?<0可化为一履+2qx+15qv0,即x22%15<0,

18、/.3<x<5,.所求不等式的解集为3次5.9. 解关于X的不等式X2(Cz+q2)x+q30(q6R).答案：原不等式可化为(尤一。)3。2)0.L当q<0时，ci<cP,x<a或x>tz2；当。=0时，a2=a,xO；当0<qVl时，q2<q,或x>q；当Q=1时，=Q,xl；当。>1时，QVcP,x<a或1*2.综上所述，当ovO或。>1时，原不等式的解集为小V。或工>；当Q<a<1时，原不等式的解集为小<疽或x>a当。=0时，原不等式的解集为4x0;当。=1时，原不等式的解集为工|工公

19、1能力提升10. 如果ajc-bx-c>0的解集为'lx2或x>4),那么对于函数fix)ax1-bx-c有()A.X5)</(2)<A-1)B.犬2)项5)勺一1)C.犬2)勺一1)寸D.只一1)项2)寸答案：C不等式2x2+mx+>。的解集是(x|x>3或尤<2,则m、的值分别是()A.2,12B.2,-2C.2,-12D.-2,-12答案：D11. 函数汽】。*#-】)的定义域是()S，1)U(1,yf2A. 一仍-1)U(1,仍-2,-1)U(1,2B. (-2,-1)U(1,2)答案：A12. 已知关于工的不等式x2-bx-c>0的解集为x|X1或x>29则Z?2+(r=()A.5B.4C.1D.2答案：A不等式x2毅一6q2v0(qv0)的解集为()