矩阵合同变换

1、矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在高等代数里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1:如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B,则积A与B等价，记为AB定义2:设A,B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得BP1Ap,则称A和B相似A：B定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得PTAPB那么就说，在数域F上B与A合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合

2、同变换，相似变换完全相似因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即PQ1Q2LQm。此时P7QmTQnT1LQ1T边为一系列初等矩阵的乘积若BPTAPQ；Q：iLQiTAQiLQm则B由A经过一系列初等变换得到。所以AB,从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式1证明：共A:BBP1AP1del|IB|det|IP1AP|又因为I为对称矩阵所以det|IP1AP|P1|IA|P|1|P1|IA|P|IA|注合同不一定有相同特征多项式定理4:如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相

3、同特征根，则A与B相似且合同论：设A，B为特征根均为1,2Ln，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正矩阵，Q,P使得Q1AQ1L2P1BP1Ln从而有Q1AQP1BPPQ1AQP1BQ1QEPP1E从而有PQ1QP1PEP1PP1E从而(PQ1)1QP1又由于(QP1)(QP1)TQP1(P1)TQTQP1(PT)TQTQQT1QQ1EQP1为正交矩阵所以A:B且AB定时5:两合同矩阵，若即PTAPB,若A为对称矩阵，则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：AB即PTAPB，若对称阵，则ATABT(PTAP)TPTATPPTAPB所以B边为对称阵注：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什

4、么情况下成立呢引理6:对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩|IA|ns,S为的重数.证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根，以其重数以秩|IA|r，则x1x2r n s n r s | I A|M00，线性无关的解向量个数为nr个，即5个Mxn0又因属不同特征根的特征向量线性无关n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量n阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例求一非线性替换，把二次型f (x1, x2, x3 ) 2x1x6x2x32x1x3二次型f(X',X2，X3)矩阵为011A103130对A相同列与行初等变换，对矩阵E,施行列初等变换10

5、0111E110111001101x1113ylx2111y2X3001y3可把二次型化为标准型f(X1,X2,X3)2y；2y；6y32解法(2)212A1032302101020222122此时f(X1,X2,X3)2Z1-Z26Z3此时非线性退化替换为113X12Z1X211z22X3001z3发现在注1:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性注:在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢例3.用可逆性变换化二次型f(X1,X2,X3)( 2X1 X2 X3)(X1 2X2 X3)(Xi X22X3)2解：f : 6x：

6、6X1X2 6X1X3对二次型矩阵为6x2x3标准形fPTA633136301033600109 29212 100929212 0109201212 01001601011182,18218X12y2X2x36181y102118y2001y3注当P改变两行的位置交换后，发现218106330,1811 0 0110363,618 10 1 03360 0 0100 1其余元素也相等，则若有161181定理2:在A为对角线上元素相等, 任意两行，对角阵形式不变。证明：设初等变换的对调变换矩阵为PTAP B ,则调整J,显然 JTJ E JTAJJAJT A于是有BPtAPPTEAEPPT(J

7、TJ)A(JTJ)P(JP)T(JAT)JP(JP)TA(JP)而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，因此任意调整P的行，所得对角阵相同。注以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢2例4.求实对称矩阵A202求可逆阵P使得PTAP为对角阵00220200200212012010A020c2c1020c32c2004E100r2r1110r32r2112010010012001001001112400P112PTAPBB1010001002211P1211我们得到P1TAPB1000定理7：设PTAPB,A对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到则只要调控B中对左的两列，可

8、得到P,使得RTAPB,即P的列与B中元素的对应性。证明：初等调换矩阵为J,显然JTJQB1JTBJJTPTAPJ(PJ)TA(PJ)P11AP1P与P相比，只是列的排列顺序发生了改变P的列与B的对角线上元素具有对应性自己写例定理8:如果对角线上的元素分别扩大C;C；,Cn2得B2,则不要将P中对应的对应角线元素扩大C11，即可得到P2使得P2TAP2B2C1证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为J2(J2对角线上第J个元素C1)形J2C2,则1有B2J2TBJ2(J2TJ2)QB2J2TPTPJ2(PJ2JTAPJ2)P1TAP1B；中第J个元素为B的C2倍而巴 素CJ倍。PJ；,且其耳中对角线J

9、个元素是P中对角线元例：已知对称矩阵A12121111313113求可逆矩阵P,使PTAP且对角形式100131131111001103111012201120解A 01110000311100003017700337011300730对单位阵E进行相应列初等变换得131310P贝U有PT AP373313B1E4则此时有Pi01313得 RT AP1 B而且其本身也有着变换矩阵综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系,多样多样，和结果的不确性，在对其特性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。主要参考文献1北大数学系，高等代数第二版M2上海交大线性代数编写。线性代数（第三版）3张

10、禾瑞高等代数M4付立志对称矩阵对角化相似变换模型5王晓玲矩阵三种关系问联系6BrickellEFAFewResultsinmessageAutheuticationcongressNumerantium198443141154矩阵的合同变换及性质定义：设A,B是数域F上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P使得BPTAP成立，那么B与A合同特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J对角阵证明：数学归纳法当n1时，定理显然成立设n1时，定理对n1阶对称阵成立，A上阶对称囝若A0则A本身已为对角阵不妨设A0(1)讨论A的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行

11、或列初等变换，使得a00Es1LE12E11AE1E2LEs00A1L0, P E1E2 L EsQ这里A1是n1阶对称阵，由归纳假设，存在则有n1阶可逆阵a1，使10Tc200Q1TA1Q12现取Q0cnMQ1a110 L 011a110011ESQc2S MQ1T A1Q1211 10cn00则PTAPQTESTLE2TE1TAE1E2LS2112(2)若aii0,i1,2,L,n，由A0，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i的情怀合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型f(x1,x2,Lxn)xTAX化简，一般都归结为对称实矩阵A的合同变换在特性1：合同

12、变换具有模型化，程序化的简便性定理1：若在对称矩阵A的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时,单位阵成为A 的合同变换矩阵。特性 2 ：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈01例：已知实对称矩阵A00100000T求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵1解由于AtA 且(AP)T(AP)PT A2P可见为使(AP)T (AP) 为对角矩阵， 实质上是使00A0010000 合同于对角矩阵40A2E45r3445 5 c3故可逆矩阵PTA2P(2)当 P121,2121

13、2(AP)T(AP)PT A2P定理3:设PT AP B, A为对称矩阵,B为对角矩阵,若要调换 B的对角线上任意两个R,使得P7AP1 B1,即P的列与P与P1 PJ1相比,元素的位置得到B1,则只要调换P中对应两列，可得到的列与B具有对应性。说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J,显然J1TJ,11TQB1J11BJ1J11PAPJ1(PJ1)APJP1TAP1列的排列顺序不同，因此，P的列与B的对角线上元素具有对应性。特性3:合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。定理4:若要将B的对角线上第j个元素扩大C2得到B2,则只要得P中对应第j列扩大c倍，即得到P2,使得P2TAF2B2证

14、明：设初等变换的倍乘变换矩阵为J2(J2的对角线上第j个元素为c,其余为1)显然j2J2111QB2J2BJ2j2pAPJ2(PJ2)APJ2EaHB2中的第j个元素B的我们发现j合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法(变换矩阵)和结果(对角阵)的二、合同变换的本质在n阶实对称阵A和B的正负惯性指标都一样，则Sa(A,B)有表示为A到B的合同变换矩车构成的集合。引理1：假设实对称矩阵A和B的正负惯性指标都一样，则Sc(A1B)为群证明：对于任意的P1Sc(A,B),P2Sc(A,B)，则存在C1S0(A,B),C2S0(A,B)，使得P1c1c1,P2c1c2因此P1P2(c1c1),P2c1c2，因此P1P2(c1c1)(c1c2)c1(c1c1c2)，而(c1c1c2)1A(c1c1c2)c12(c1)1c11Ac1c11c2c12(c1)1Bc1c2c21Ac2c12Ac2B，则CiC1C2So(A,B)所以PP2Sc(A,B)亦即有Sc(A,B),关于矩阵乘法封闭，易知*A,B)关于矩阵乘法满足结合律，有单位矩阵，下设每个元素都有逆远，假设PSc(A,B)存在C1S0(A,B)，使得PC1C1，所以p1C1CC1(CC11C)，因(CC11)1A(CC11C)C1(C11)C1ACC11CC1(C11)BC