研究生入学考试数学三模拟试题参考答案

1、2005年研究生入学考试数学三模拟试题参考答案、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)x22工f(x2-t)dt(1)设函数f(x)满足f'(lx)=1+x,f(0)=0.则lim2x>0Incosx解应填2由f'(lnx)=1+x=f(x)=1+ex=f'(0)=2,于是xxx0f(x-t)dt0f(u)du0f(u)dulim2=lim2=limx0lncoscx0cosx-1x1014x2limfxx 力-2x3-f (0) = -2,(2)设中(x,y)连续，若f(x,y)=xy邛(x,y)在点(0,0)处关于x,y的偏导数均

2、存在,则中(x,y)应满足.解应填中(0,0)=0.由题设f(x,0)=x平(x,0)在x=0处关于x的导数存在，得邛(0,0)=0.1一.1一.一一已知0f出=2f(x)+1且f=1'则f(x)=，解应填-x+2.,11,、,1x1x1由f(tx)dt=-f(x)1=f(u)du=-f(x)1=f(u)du=-xf(x)x,02x02021 1有f(x)=f(x)+xf(x)+1,即xf(x)-f(x)=-2,2 2解此微分方程，得f(x)=cx+2,由f(1)=1,知c=-1,故f(x)=-x+2.(4)二次型f(x1,x2,x3)=x2+ax2十x2+2x1x2-2x2x3-2a

3、xix3的正负惯性指数都是1,贝Ua=.解应填-211-aA=1a-1,由于r(A)=1+1=2=A=_(a1)2(a+2)=0一a11若a=1,则r(A)=1,不合题意；若a=-2九一1-1-2九EA=-1儿+21=?一(九一3)(九+3)=0=%=0,九2=3,%=3.-21Z-1符合题意，故a=-2.(5)设A,B独立，P(A)=0.5,P(B)=0.6,则P(AUB|aUB)=八5解应填-.P(AB(A B) 一 P(A B)8P(AUb|aUB)=1-P(ABaUB)=1P(AB)5=1一二.P(AB)8(6)设X和S2为总体B(m,p)的样本的样本均值和样本方差，若X-kS2为mp

4、2的无偏估计，则常数k=.解应填1.222由题设，EX=mp,ES=mp(1-p),于是E(X-kS)=mp-kmp(1一p)=mp,知k=1.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1I%+3、.1ln(1+x)sin-,x<0,xx(7)设f(x)=<0,x=0，则f(x)1xc一c一Ssintdt,x>0.、x和(A)(C) 解极限不存在.连续但不可导.应选C.(B)极限存在但不连续.(D) 可导.因为lim f (x) =0 = f (0), lim f (x) = 0 = f

5、(0),所以 f(x)在 x=0 处连续.x_0 一x_0 而f0)不存在，故应选(C).x(8)设函数f (x)在(ho , +电内连续，F(x)= (0(2t-x)f (x-t)dt.如果f (x)是单调增加的偶函数，则 F(x)是(A)单调增加的偶函数.(C)单调减少的偶函数.解应选C.(B)单调增加(D)单调减少的奇函数.的奇函数.一t, F(x) = §(x -2u)f (u)du = xh f (u)du -2fQuf (u)du所以,x|o f (u)du为奇函数,xJgUf (u)du为偶函数，即F(x)为偶函数.又 F (x) = J0 f (u)du xf (x)

6、 = J0 f (u) 一 f (x)du <0 ,即 F(x)单调减少.因此，选(C).X x 上2(9)设a和b为常数，且Jjme 彳e dt + a = b，则(A)a=0, b=1(B)a=-1 , b=1(C)a = ,b - -12(D)Vna = -，b = 02解应选D由于ax .2=1im；0 e dt=- 2e dt 二-x ex x q2班1° e dt+a=xm-x-e=-lim =0一二2、x故应选(D).222122、(10)设f(x)连续可导，D:x+y<r，则hmj»1f(x+y)dxdy等于rbrd(A)二f(0)(B)f(0)

7、(C)2二f(0)(D)2二f(0)解应选A.2二r21 oocdu.cf(：)：d：f(r2)rlim211f(xy)dxdy=lim2=2二lim=：f(0).r0r2DJ0'r2J0'2r故应选(A).1二(11)设正项级数工4的部分和为Sn,又Vn=，已知级数工Vn收敛，则n1Snn1oO(A) £Un收敛n 1od(B) U Un发散n 1oOcO(C)£(1)nUn条件收敛(D)£(Un由Un)收敛n1n1解应选B.由收敛的必要性知，limVn=0,于是limSn=°0,故应选(B).n)二二n)二二(12)设A为mn阶矩阵，

8、考虑以下命题：Ax=0只有零解；Ax=b有唯一解;A的行向量组线性无关；A的列向量组线性无关.则有(A)二二.(B)二二.(C)=二.(D)=.解应选B.Ax=b有唯一解，知r(A)=r(A七)=n,于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选(B).(13)设A为n阶矩阵，考虑以下命题：1)A与AT有相同的特征值与特征向量；2)若AB,则A,B有相同的特征值与特征向量；3)若A,B有相同的特征值，则A,B一定相似于同一个对角矩阵；4)若A,B有相同的特征值，则r(A)=r(B).成立的命题有(A)1个(B)2个.(C)3个.(D)0个.解应选D.A与AT有相同的特征值但特征向

9、量不相同；AB,则A,B有相同的特征值但同样特征向量不一定相同；A,B有相同的特征值，但A,B不一定可对角化，从而不一定相似于同人”00100一个对角矩阵；A,B有相同的特征值，推不出r(A尸r(B),如A=,B=.故1。0_100_应选(D).(14)设(X,Y)为二维随机变量，则X与Y独立的充要条件为(A)X与Y独立.(B)X2与Y2独立.(C)X3与Y3独立.(D)X4与Y4独立.解应选C.若X,Y独立，则X与Y、X2与Y2、X3与Y3、X4与Y4均独立；但反过来，只有X3与Y3独立时，才可推导出X与Y独立，即P(X<x,Y<y)=P(X3<x3,Y3三y3)=P(X3

10、<x3)P(Y3<y3)=P(X<x)P(Y三y)故应选(C).三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分8分)x设f(x)=limtsing(lnx+)g(lnx),其中g(x)具有二阶导数,且t二ttf(x)=冗Inx,g(0)=g(0)=0,求g(x).解令u=lnx=g"(x)+g'(x)=x=(exg'(x)'=xex=exg(x):xexdx=xex-exC1=g(x)=x-1Ge。Ci=1二g(x)二;x2-x-e«1.(16)(本题满分9分)设函数f(x)在闭区间

11、0,1上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足xf'(x)=f(x)+坦x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,2求函数y=f(x),并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.解直接解微分方程，或f(x),xf(x)-f(x)3a3a2=2-f(x)=-xCx.xx22由f(x)的连续性知f(0)=0.又由已知条件1 32-13 C2= 0(-ax Cx)dx =-ax x2.C2=4 一 a.3c因此，所求函数为f(x)=ax(4-a)x.21212116、旋转体的体积为V(a)=冗f(x)dx=(a+a+)n，令030331

12、1.1.一V(a)=(一a+)n=0=a=5.又V"(a)=n>0,故当a=-5时，旋转体体积最15315小.(17)(本题满分8分)b设f(x)在区间a,b上可导，且ff(x)dx=b-a,f(a)-af(b)-b>0.证明：存a在S(a,b),使f'(Z)=1.x证令F(x)=f(t)tdt=F(a)=F(b)=0,F'(x)=f(x)-x且aF (a)F (b) 0.不妨设F (a) > 0, F b) >0,则F (a)= lim - x jaF-(b); ximbF(x) x -a F(x) (a,a 1), F(Xi) 0,-x -

13、bx2(b - 2,b),F(X2) <0=c (Xi,X2),F(c)=0=1(a,c), 2 (c,b),F (；) = F (%) = 0.n琏FY)=0.即结论。(18)(本题满分8分)、一2f函数f(x,y)二阶偏导数连续，满足=0,且在极坐标系下可表成f(x,y)=h(r),其fx.:y中r=Jx2+y2,求f(x,y).解由题设，有f=h'(r)Ef=h"(r)x+h'(r),(与)上，根据.xr；x.yrrrf1.124=0,得h(r)h(r)=0=h(r)=-C1r+C2,故.:x；:yr2122、f(x,y)=-C1(xy)C2.2(19)(

14、本题满分9分)71.一.设a0=1,a1=2,a2=-,an+=一(1+)an(n之2).证明当x<1时，帚级数2n1oO£anxn收敛，并求其和函数.n=0解an±=|_n±2T1,所以£anxn在(-1,1)内收敛.ann+1nm由an4t=-一2an,可得递推式：an=Z(-1)n(n+1),n=3,4，n16是S(x)-1-2x7x2八7(T)n(n1)xn2n6所以=1 - 2x 7 x22_1一 (1 x)22(1t3I),S(x) = -2(1(1 x)3T),x(20)(本题满分13分)设ot1,ot2,a3,a4为四维列向量组，且

15、a1,a2,a3线性无关，«4=0（1+a2+2a3.已知方程组（一a2,a2+a3,-a1+ac（2+u3）x=a4有无穷多解，（1）求a的值；（2）用基础解系表示该方程组的通解.解由已知，得矩阵10-1、（口1一口2，口2十口3,91+a2+口3）=（口1,口2,口3）-11a<011>M0-1、的秩小于3,又a1,a2,a3线性无关，所以，矩阵-11a不可逆，得a=2.'011方程组(%-«2，«2+a3,71+a2+«3)X=«4化为10(叫尸243) -1 1<01所以，原方程组与方程组-1、1、2x=(Q1

16、,%,%)1，因为a1,a2Q3线性无关,1)8/10-1"1'-112x=1同解.<011J-1、1、1、1、2X=1的通解为C-1+21<1j.,10容易求得方程组-11<01（21）（本题满分13分）是三阶矩阵A的三个特征值，其对应的特征向量依次为证明：(2)把用线性表出，并求31-0I-0= A = P 0PT+P 6 PT+P0j -90PT9(2)，从而= An- i 3An： 2 2An： 3 = '：L 322 2合3-2 -1= 3n' 2 +6n 2 2-31 J一29n -12 3n，-6n +- 9n32 3n，+2

17、6n - 9n3.-3nJ +2 6n +- 9n.3(22)(本题满分13分)-A.设Xf(x)=rMqcxHF,对X作两次独立观察，其值分别为X1,X2,ee令丫二一Q Xi >1(i =1,2)求A及PX1<0,X2<1.(2)求丫与丫2的联合分布律二2解(1)由f(x)dx=13A=.X1与X2独立nPX1<0,X2<1=PX1<0PX2<1.011=f(x)dxf(x)dx=arctaneq)q)冗(2)P(Y1=0,Y2=0)=P(X11,X21)=(1-arctane)2nP(Y1=0,Y2=1)=PY=1,Y2=0=P(X1<1,

18、X2>1)22、=arctane(1arctane)2 一2二(一 a r c t e)n ji1_2P(Yi=1,丫2=1)=P(Xi<1,X2<1)=(,f(x)dx)（23）（本题满分13分）设总体X服从指数分布，概率密度为1.,、 af(x) =1Ix飞 x -0,x : 0（X1,X2，Xn）为取自总体X的简单随机样本。证明min Xi仍服从指数分布;1 lin(2)求常数C使Z=CminXi为l0的无偏估计;1 M_n指出Z与X哪个更有效。解my”:Fmin(x) =1 - 1 -F(x)nnxf，、盘飞x之0,fmin(x)=<日e,0,X0.(2)eEZ

19、=CEminXi=CC=n.1: nn1 1DZ=n2-(一)2=b2,dx=一日2,X比DZ更有效。nn2005年研究生入学考试数学四模拟试题参考答案一、填空题(本题共6小题，每小题4分，菌分24分.把答案填在题中横线上)(1)设曲线y=f(x)与y=sinx在原点相切，则极限lim,；nf()=n二；n解由题设，f(0)=0,f'(0)=1，于是一2一”2f()-f(0)-lim.nf()=limn2=2f(0)=、；2.Tnn2(2)由拉格朗日中值定理有ex-1=xex'x),其中0<(x)cl,则limg(x)=解ln(ex-1)-lnxxe=lim(xQex-1

20、xsinx,0<x<2设f(x)=3",D是全平面，贝UJJf(x)f(yx)dxdy=0,其他D2x22解JJf(x)f(yx)dxdy=gdxjxsinxsin(yx)dy=(1cos2).Dn设A=(aj)n：Jn,(n之2),A的伴随矩阵A*的秩为1,且£aj=0(i=1,2,，n),j1贝UAx=0的通解为.解由题设，秩r(A)=n-1,于是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为n-r(A)=1,而nZaj=0(i=1,2,，n)表明Ax=0有解(1,1,，1)T,故Ax=0的通解为k(1,11，1)T.j10-2(5)已知-2是A =2x-2222=b

21、(4 + x) = 0,知 x=-4.-2 -b-21-2的特征值，其中b为不等于零的任意常数，则bx=-22解由题设，有2EA=2-2-x2-2(6)设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(BA)=0.4,则P(ABAUB)=解由题设知P(AB)=0.2,于是P(A-BAb)=PAb(AB)=IhP(AB)P(AB)P(A)-P(AB)1=.P(A)P(B)-P(AB)3二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)13.1ln(1+x)sin-，x<0,xx(7)设f(x)=«0,x=0，

22、则f(x)1x0一Ssintdt,xaSx0(A)极限不存在.(B)极限存在但不连续.(C)连续但不可导.(D)可导.解应选C.因为limf(x)=0=f(0),lim+f(x)=0=f(0),所以f(x)在x=0处连续.x0一x0而fl。)不存在，故应选(C).(8)设f(x)有连续导数且lim-f(x)=a#0,又F(x)=，(x2-t2)f(t)dt.当xt0时，F'(x)与xn是同阶无穷小，则n等于(A)1.(B) 2.(C) 3.(D) 4.解应选C.xF'(x) = 2x f dt,于limlimx 0 xnx Qx2 o f (t)dtlim -2 吏 0=. n

23、 - 2 = 1 = n = 3.x Q(n -1)x(9)设a和b为常数，且上2 edt + a = b,则(A)a=0, b=1(B)a=-1, b=1(C)yi JIa = - , b = -12(D),b -0解应选D由于a-xlim：<x .2e 出=一,二2 一 、二 e dt = -，12.L2 ,.e dt a=M.x-e= 7im L=0x > 2 v x故应选(D).(10)设 z = f (x,y)sinxycos，. y 2 (yT)cosx1 sin x sin(y -1),则等干(0,1)4(A)-1(B)Icos v 3(C)1(D)解应选(A).当x

24、=0时，z=f(0,y)=(-y1),1sin(y7),：z:y(0,1)=-1 -sin(y -1) (y -1)cos(y -1)21 sin(y -1)yd = -1(11)若在0,1上有f(0)=g(0)=0,f(1)=g(1)=aA0,且f"(x)A0,g"(x)<0,I 11II =jf(x)dx,I2=g(x)dx,I3=axdx的大小比较关系是(A)Ii-I2-I3.(B)I3-I2-Ii.(C)I2-I3-Ii.(D)I2-Ii-I3.解应选(C).f"(x)>0,f(x)凹,g"(x)<0,g(x)凸,于是g(x)之

25、ax之f(x),xw0,1,从而有I2I3I1.(12)设A为mMn阶矩阵，考虑以下命题：Ax=0只有零解；Ax=b有唯一解；A的行向量组线性无关；A的列向量组线性无关.则有(A)二二.(B)二二.(C)=二.(D)=.解应选(B).Ax=b有唯一解，知r(A)=r(A：b)=n,于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选(B).(13)设A,B,C两两独立且P(A),P(B),P(C)三(0,1),则A,B,C不相互独立的充分条件是(A)A与BC独立(B)C与AUB独立.(C)B与AC独立.(D)AB与AC独立.解应选(D).若AB与AC独立，则P(ABAC)=P(AB)P

26、(AC),即2_P(ABC)=P(AB)P(AC)=P(A)2P(B)P(C)=P(A)P(B)P(C)可见此时A,B,C不相互独立。应选(D).(14)设随机变量X,Y,Z相互独立，且XN(1,2),YN(2,2),ZN(3,7),记a=PX<Y,b=PY<Z,则有(A)a>b.(B)a<b.(C)a=b.(D)a,b的大小关系不能确定解应选(A).X-YN(-1,4),Y-ZN(1,9)，于是一X-Y11.,1一Y-Z11.,1a=PX<Y=P-<-=6；),b=PY<Z=P-<二=6(二)，222333可见a>b.三、解答题(本题共9

27、小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分8分)x(t)设可导函数x=x(t)由方程sin-邛(u)du所确定，其中可导函数中(u)A0且9(0)=中'(0)=1,求x“(0).解将t=0代入方程，可得x(0)=0.在方程两边对t求导，得cost邛(x(t)x'(t)+平(t)=0,于是得x'(0)=2,在此方程两边再对t求导,sint邛'(x(t)x'(t)邛(x(t)x“(t)+中'(t)=0,于是可得x"(0)=3.(16)(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在A,B两个市场销售，售价分别为P

28、i和P2；销售量分别为q1和q2;需求函数分别为q1=3-0.5p1,ffiq2=2-3p2总成本函数为C=5+2(q1+q2).若A市场的价格对B市场的价格弹性为2,且p2=1时,5=3/16.试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？Pi(P2)。32解P2-7=2=Pi=P2.Pi(P2)16收益为：R=p1q1-p2q2利润=-0.5p2-4p1-3pf8P2-5问题转化为求L在条件16P1=3p2下的最大值考虑拉格朗日函数222、F(Pl,P2,)=-0.5pi4P1-3p28P2-5(Pi-2p2)二p1+4+人=0令fPi=-6p28-4,p2=0；P2216Pi

29、=3P2解得Pi=3,P2=4.由于可能极值点唯一，且问题必存在最大值，因此当Pi=3,P2=4时，利润最大.(17)(本题满分9分)已知方程logax=xb存在实根，常数a>l,b>0,求a,b应满足的条件一、，b.1-bxIna1-b解设f(x)=logax-x,f(x)=,驻点xo=().xInabIna当0cx<x0时，f(x)>0,f(x)单调增加；当x0<x<"时，f'(x)<0,f(x)单调减少，f(x0)是最大值.又Jim+f(x)=野/(x)=%所以f(x0)20,即有_|n(b|na)父Qu|n(bina)<

30、-1,故a,b应满足条件：。<|naw.blnablnabe(18)(本题满分9分)二2二2二二已知函数u=u(x,y)满足方程-=0,试选择常数a,b使得通过变换22:xcyexcyz=ueax+y把原方程化为以z为未知函数的方程，且其中无一阶偏导数项解ax byz =ue ,-uz(axby)-uz(axby)=(7-az)e，=(-bz)e，xexcycy-2-2-2-2-二u-zc-z24axby);u-ZZ2、_Yaxby)TT=(-2a+az)e，TT=(-2b+bz)e,:xexex二y二y二y,2_2代入原方程，得 号-零；:x；:y_(1 2a) (2b -1) (a2

31、 - b2 a b)z = 0.x:y因无一阶偏导数项，故1 +2a = 0,2b1 = 011,：2z：2za=_，b=.故原方程化为等气=0.2二x二y(19)(本题满分8分)设f连续且满足f(t)=t2+11f(，x2+y2)dxdy,求f(t).x2y2f22二工、t2t解f(t)=t+(dJf(r)rdr=t+2nl0rf(r)dr,于是f(t)=2t2二tf(t),f(0)-0.解此一阶线性微分方程，得f(t)=e3t2(-e-t2+C).冗112由于f(0)=0，得C=.从而f(t)=(e业-1).(20)(本题满分13分)设向量组%=(1,1,1,3)T,«2=(-1-3,5,1)T,«3=(3,2-1,p+2)T,：4=(-2,-6,10,p)T.(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量a=(4,1,6,10)T用%,1a2,豆3,豆4线性表出；(2)p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.-1-13-2410-2-1-4-3解%?2尸3尸4,5T00101000p21P1(1)当P=2时，向量组口142,63