(完整word版)数值分析考试复习总结汇总,推荐文档

1、第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念例题 :当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?答 : 实际问题 - 数学模型 - 数值方法 - 计算结果在这个过程中存在一下几种误差 :建立数学模型过程中产生 :模型误差 参数误差选用数值方法产生 :截断误差计算过程产生 :舍入误差传播误差6设 a0.937 关于精确数 x 有 3 位有效数字，估计 a 的相对误差 . 对于f ( x)1x ，估计 f (a) 对于 f ( x) 的误差和相对误差 .解 a 的相对误差：由于| E( x) | x a110 3.Er ( x)x a ,2xEr

2、( x)1 1021 102.（ Th1）2918f ( a) 对于 f (x) 的误差和相对误差 .| E( f ) | | 1 x1 a |=a x2110 3= 1031 x1 a 20.25| Er ( f ) | 10 31 a 4 10 3 .2 有效数字基本原则 :1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母 ( 不用很大的数做分子 )例题 :4改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）111x ,对 | x |1;2 x1x（2）x1x1 ,对 x1;xx（3）1cos x,对 x0,| x |1 .x解(1) 22 (1x) (12).(2)2 x.xx( x 1 x

3、x 1 x )1cos xsin 2xsin x(3)xx(1cos x).1 cos x第二章拉格朗日 插值公式 （即公式（ 1）npn ( x)yi l i ( x)i 0插值基函数（因子） 可简洁表示为n( xx j )n( x)l i ( x)0 ( xix j )( x xi ) n ( xi )jjinn其中 :n ( x)( xx j ),nxi( xix j ) .j0j0ji例 1n=1时，线性插值公式(x x1)( xx0 ) ，P1( x)y0 ( x0x1)y1 ( x1x0 )例 2n=2时，抛物插值公式P2 (x)y0(x x1 )( x x2 )y1(x x0 )

4、( x x2 )( x0x1 )( x0x2 )( x1 x0 )( x1x2 )y2( xx0 )( xx1 )( x2x0 )( x2x1 )牛顿（ Newton）插值公式由差商的引入，知（1 ） 过点 x0 , x1 的一次插值多项式 为p1 ( x)f (x0 )c1 ( xx0 )其中cf ( x1 )f (x0 )f x0, x p1 ( x) f ( x0 ) f x0 , x1 ( x x0 )1x1x01（2 ） 过点 x0 , x1 , x2 的二次插值多项式 为p2 ( x)p1 (x)c2 (xx0 )( xx1 )其中f ( x 2 )f ( x1 )f ( x1 )

5、f ( x0 )x 2x1x1x 0f x0, x1 , x 2 c 2x 2x0p2 ( x) p1 ( x)f x0 , x1 , x2 ( x x0 )( x x1 )f ( x0 )f x0 , x1 ( xx0 )f x0 , x1 , x2 ( xx0 )( xx1 )重点是分段插值 :例题 :1. 利用 Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式 （结果要简化）：（ 1）xi-101/21fi-3-1/201（ 2）xi-101/21fi-3/2001/2解(2)：方法一 . 由 Lagrange插值公式L3 (x)f0 l 0 (x)f1 l1 ( x)f 2 l

6、2 (x)f 3 l 3 ( x)可得：L3 (x)x2 ( x1 2)方法二. 令L3 ( x)x( x1 2) (AxB)由L3 ( 1)3，L3 (1)1 ， 定 A，B （称之为待定系数法）2215. 设 f ( x)x2 ，求 f (x) 在区间 0,1 上的分段线性插值函数fh ( x) ，并估计误差，取等距节点，且 h 1/ 10.解f (x)x2 ，xiih， i0, 1, 10 ， h110设xi xxi1，则：fh ( x)xxi 1f ( xi 1 )xxif (xi )xixi 1xixi1(i h)2x(i1)h(i1)h) 2xihhh( 2i1) xi (i1)1

7、0100误差估计：fmax ( x ih ) ( x (i 1)h) .| f ( x) f h ( x) |2!ix x (i 1)h第三章最佳一致逼近 :(了解 )最佳平方逼近主要分两种情形：1. 连续意义下在空间 L2 a,b 中讨论2. 离散意义下在 n 维欧氏空间 Rn 中讨论，只要求提供 f 的样本值1. 最佳逼近多项式的 法方程组设 L2 a,b 的 n1维子空间 Pn =span1, x, x2, xn ,其中 1, x, x2, xn 是 L2 a,b 的线性无关多项式系 .fL2 a,b ，设其最佳逼近多项式* 可表示为 :n对*ai* xii0由( f* ,)0,Pnnx

8、i , x j ) 0, j0(1)n( fai*i0n( f , xi ),即( xi , x j )a*ji0(1)n（*2 ）j 0其中( xi , x j )bx j dxbdx,( f , xi )bf ( x) xi dxx ixi jaaa称(*2) 式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.由 xi ni 0 的线性无关性，可证明G 正定，即上述法方程组的解存在且唯一.11 、 求 f (x)cosx ， x0, 1 的一次和二次最佳平方逼近多项式 .解： 设 P1* ( x)a0a1 x ， P2* (x) b0b1 x b2 x 2分别为 f (x) 的一次、二次最佳平

9、方逼近多项式。( f , g)1g( x)dx内积f ( x)0计算如下内积：(1, 1) 1, (1, x) 1, (1, x2 )123121221( x, x), (x, x ), ( x , x )345(1, f )0, ( x, f )22 , ( x2 ,f )2 2建立法方程组：a01 a101224(1)2，得： a0， a11 a01222() a1223*( x)1224x于是P122b0( 1)b110b223(2)1b01b1122b223411b112b04b2235b012b124， b2 0 ,于是： P2 ( x)1224解得：2，222 x .第四章1 为什

10、么要进行数值积分 ?常用哪些公式 ,方法 ?答 : 梯形复化求积公式和simpson复化求积公式 .2: 方法好坏的判断 : 代数精度误差分析1. 代数精度的概念bn定义若求积公式 f ( x)dxwi f (xi ) （* ）对所有次数m 的多项式ai 0是精确的，但对 m 1次多项式不精确，则称（ * ）具有 m 次代数精度。等价定义若求积公式（* ）对1, x, x2 , xm 是精确的，但对 xm 1 不精确，则（ * ）具有 m 次代数精度。3: 误差1 等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定 ，均匀分布 ,系数 wi ,i0(1)n 待定利用插值多项式pn (x) 近似代

11、替f ( x) ，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式2 给定节点 数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss 求积公式公式特点：系数 wi , i0(1)n 和节点 xi ,i0(1)n均待定3 分段插值多项式n ( x) 近似代替 f (x) （分段求积） 复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之：分段低次求积公式 -称为复化求积法两类低次（ n4 ）求积公式：1. Newton Cotes 型：矩形、梯形、 Simpson 、Cotes 公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss 型： 一点

12、、两点、三点 Gauss 求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss 公式复化梯形公式（ Tn ）T nh f ( x0 )f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x 2 )f ( xn 1 ) f ( x n )2n 1h f ( a ) 2baf ( x k )f ( b ),h2k 1n复化辛甫生公式 : （每个 ek 上用辛甫生公式求积）S nh f ( x 0 )4 f ( x 1 )f ( x1 ) f ( x 1 ) 4 f ( x 3 )f ( x 2 )622f ( x n 1 )4 f ( x n1)f( x n )2h f ( a )nn14f ( x k1)21f

13、( x k )f ( b )6k12k其中hb a ， xk 1/ 2 为 e k 的中点n复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：bhnf (a)f (b)4 f (x1 )2 f (x )f ( x)dxa6k1k2k复化柯特斯公式C nh32 f ( x 1 )12 f ( x 1 )32 f ( x 3 )7 f ( x1 ) 7 f ( x 0 )90424 ( 7 f ( x1 )32 f ( x 5 )12 f ( x 3 )32 f ( x 7 )7 f ( x 2 )424 7 f( x n 1 )32f ( x n3 )12f ( x n1 )32 f (

14、x n 1 )7 f ( x n1 )424hn1nn14f ( x k )32f ( x k3 )12f ( x k1 ) 7 f ( a )90k1k14k12n32f ( x k 1 )7 f ( b )k14其中， hba ， xk1为 x, x 的中点，n2k 1 kxk41， xk 43为 xk1, xk 的四等分的分点自适应复化求积法计算时，要预先给定n 或步长 h ，在实际中难以把握因为， h 取得太大则精度难以保证，h 太小则增加计算工作量 .自适应复化梯形法的具有计算过程如下：步 1 n1, hb a , T1h f ( a ) f ( b )2步 2nTf (xk21 )

15、k 1T 21 T1h T22步 3判断|T2 T1 |？若是，则转步5 ；步 4n2n, hh / 2, T1 T2 ，转步 2；步 5输出T2 .第五章1: 常用方法 :(1). 直接解法：Gauss 逐步（顺序）消去法、Gauss主元素法、矩阵分解法等；(2). 迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解 .经典迭代法Jacobi迭代法、 GaussSeidel迭代法、逐次超松弛（ SOR ）迭代法等； . Krolov 子空间的迭代法根据 A的对称性，又分为：A 对称正定 -共轭梯度法A 非对称 - BICG、 GMRes( 最小残量法 ) .解一类特定背景问题的迭代法多重网格法2

16、: 几类迭代法优缺点比较 :3: 迭代方法目标：求解 Axb其中， A 非奇异。基本思想 ：把线性方程组 Axb 的解 x ，化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步骤 ：1将 A分裂： A:BC ， 其中， B非奇异2构造迭代格式AxbBxbCxBx(k 1)b Cx( k)x( k 1)Gx( k )g其中 GB 1C ，称之为 迭代矩阵 , g B 1bx( k 1)x( k )B 1 (b Ax( k ) )其中， bAx(k ) 为 x( k ) 的残余向量此时， GIB 1 A ,gB 1b常用的迭代方法将 A (aij ) 分裂为ADLU

17、其中Ddiag (a11 ,a22 , , ann )000a 12a 1nLa 210， U0,a n 1,na n1a n , n 1000Jacobi迭代方法若 aii0 ，迭代格式x( k 1)G Jx( k )g其中Jacobi迭代矩阵： GJD 1(LU )g D 1b式可写为分量形式xi( k 1) 1 binaij x(jk ) , k0 .（*1 ）aiij1ji方法（ *1 ）或称为 Jacobi 迭代方法 .Gauss Seidle 迭代方法若 aii0 ，迭代格式x( k 1)GG x (k )g其中，Gauss-Seidel迭代矩阵： GG(DL) 1Ug(DL) 1

18、b其分量形式xi(k 1)1i1nx(jk ) , i biaij x (jk 1)aij1,2, n . （*2 ）aiij1j i1即，在计算新分量 xi( k 1)时，利用新值 x(jk 1) ， j1,2, i 1。迭代法（ *2 ）或称为 Gauss Seidel迭代方法 。超松弛方法 (SOR) 方法定义 SOR 方法的迭代格式如下：zx( k 1 )1i1( k 1)n( k ) b ia ij ,ia iix ja ij x jj1ji 1( k 1)( k 1)(1) xi( k ),i1,2, n（*3 ）izi称为松弛因子，1即为 GS 方法.其矩阵形式x( k1)Gx(

19、 k ) g其中，SOR 法的迭代矩阵： G ( D L) 1(1 ) D U g ( D L) 1b .第七章1: 解非线性方程与方程组的方法 :1. 准确方法如：用求根公式对n4 次的代数多项式求根。但： 绝大多数的方程并无准确方法可用。如：n5次的代数多项式并无求根公式。2. 数值方法（实际中大多采用）基本思想：设法找到一个能收敛到方程的解的序列。(1).区间套法二分法。(2). 迭代法： .简单迭代法； . Newton 迭代法 ;3. 割线法 ;4.加速算法。2: 收敛条件 :二分法无条件简单迭代法条件 :定理 1如果(x) 满足以下条件 :1)x a, b ,(x)a,b ;2)常

20、数 L:0L1,使得对任意两点x1, x2a, b ,都有( x1 )( x2 )L x1x2 ,则:方程 (*) 在 a,b上的解存在唯一 ,且对任给的初值 x0 ,由迭代过程 (*)所产生的序列xk收敛到 .例题 :2.为求方程 x3x 21 0在 x01.5附近的一个根， 设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（ 1） x11 / x 2 ，迭代公式xn111/ xn2（ 2） x31x 2 ，迭代公式xn1(1xn2 )1 / 3 ，（ 3） x 21/( x1) ，迭代公式xn1 1(xn 1)1/ 2 ，试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？解：取 x0

21、1.5的邻域 1.3, 1.6 来考察(1)( x)11/ x2 ，( x)2 / x32 /1.330.9011 ，故迭代公式 (1) 收敛 .(2)1( x) (1 x 2 ) 3 ,(x) 2x /3(1 x2 )2 / 3 2 1.6 /3(1 1.32 )2 / 30.5515 ，故迭代公式（ 2）也收敛。(3)( x)1/( x1)1 / 2,(x)1/2( x1)3 / 2 1/ 2(1.61)3 / 21.07582871故迭代公式（ 3）发散 .由于( x0 ) 越小，越快地收敛于根，故（ 2）式收敛最快。第八章解一阶常微分方程的常用方法:Euler方法Runge-Kutta

22、方法2 阶常微分方程边值问题的差分方法1 三类边值问题1）第一类边值问题：y ( x)f ( x, y( x), y ( x),axb ，（3.1）y( a), y(b)。(3.2)2）第二类边值问题：y ( x)f ( x, y( x), y ( x),axb ，（3.3）y ( a),y(b)。(3.4)3）第三类边值问题：y ( x)f ( x, y( x), y ( x), ax b ，（3.5）y ( a)0 y(a)1,y (b)0 y(b)1 ，(3.6)其中，0,00,000。2差分格式的建立针对方程（ 3.1 ）而言 .Step 1取 a, b的离散节点 :ax0x1xN b , 第 m步步长 hmxm xm 1 , 一般可取等步长 :hmh , m1,2,N .Step 2将y ( xm ) 用二阶差商、y ( xm ) 用一阶差商近似：y ( xm )y(xm 1 )2 y(xm )y(xm 1 ) ,m1,2,N，h2y ( xm )y( xm 1 )y( xm 1 ) ,m1,2, N .2h理由：由 Taylor 展开，有y( xm 1 )y( xmh)y(xm ) hy ( xm )h2y ( xm )h3y ( xm )2!3!h4y(4 ) ( m ),xmmxm 14!y( xm 1 ) y( xmh) y(xm ) hy ( xm )h2