(完整版)特殊的平行四边形与圆专题+答案

1、1如图，在 ABC 中， AC BC ，点 D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点，将 ADE 绕点 E 旋转 180得 CFE ，则四边形 ADCF 一定是 ( A )A 矩形B菱形C正方形D 以上都不对2如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点 (不与 A ，B 重合 )，连接 PD，将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90得线段 PE，连接 BE ，则 CBE 等于 45.3如图， 点 E 是正方形 ABCD 内一点， 连接 AE ，BE ，CE ，将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到 CBE的位置若 AE 1， BE 2， CE 3，则 BEC 1354如图，将矩形

2、ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形AB C D的位置，旋转角为(0 90)若1 110，则 20 .5.如图 8,A 、B 、C、D 四个点在同一个圆上,四边形 ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有 (C)A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对ACDOOBCABOCABD6.如图 ,AOB=100 ,则 A+ B 等于 (C)A.100 B.80 C.50 D.40 7.如图 ,A 、B、C 三点都在 O 上,点 D 是 AB 延长线上一点 , AOC=140 ,CBD的度数是 (C)A.40 B.50 C.70 D.110 8.如图 ,AB为半圆O 的直径 ,弦 AD 、

3、 BC相交于点P,若CD=3,AB=4, 求 tan BPD 的值 .CPDAOB连接 BD, 则 AB 是直径 , ADB=90 . C= A, D= B, PCD PAB, PDCD .PBAB在 Rt PBD 中 ,cosBPD= PDCD=3,PBAB 4设 PD=3x,PB=4x,则 BD= PB2PD 2(4 x)2(3x) 27 x , tan BPD= BD7x7 .PD3x3一、特殊的平行四边形动点问题1.如图，在 Rt ABC 中， ACB 90，过点 C 的直线 MN AB ，D 为 AB 上一动点， 过点 D 作 DE BC ，交直线 MN 于点 E，垂足为点 F，连接

4、 CD ， BE.(1)求证： CE AD ；(2)当 D 运动到 AB 的中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若 D 运动到 AB 的中点，则 A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？说明你的理由解： (1)证明： DE BC ， DFB 90. ACB 90， ACB DFB ， ACDE.MN AB ，即 CEAD ，四边形 ADEC 是平行四边形， CE AD(2)四边形 BECD 是菱形，理由：D 为 AB 的中点， AD BD. CE AD ， BD CE. BD CE ，四边形 BECD是平行四边形DE BC ，四边形BECD 是菱形(3)

5、当 A 45时，四边形 BECD 是正方形， 理由： ACB 90， A 45， ABC A 45.四边形 BECD 是菱形， DBE 2 ABC 90，菱形 BECD 是正方形故当 A 45时，四边形 BECD 是正方形2在矩形 ABCD 中， AB 4 cm， BC 8 cm， AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD ， BC 于点 E， F，垂足为 O.(1)如图，连接AF， CE. 试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长(2)如图，动点AFB和 CDEP， Q 分别从各边匀速运A ， C 动 一两点同时出发，沿周，即点 P 自A F B A 停止，点 Q 自 C D E C 停止在运

6、动过程中，已知点 P 的速度为 5 cm/s，点 Q 的速度为 4 cm/s，运动时间为 t s，当以 A ， C， P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值(第 3题)解： (1)四边形 ABCD 是矩形， AD BC ， CAD ACB ， AEF CFE. EF 垂直平分AC ，垂足为点O， OA OC ， AOE COF. OE OF ，四边形AFCE 为平行四边形又 EFAC ， ?AFCE 为菱形设 AF CF x cm ，则 BF (8 x)cm ，在 Rt ABF 中， AB 4 cm，由勾股定理得 42(8 x)2x2，解得 x 5， AF 5 cm(2)显然，

7、当 P 点在 AF 上， Q 点在 CD 上时， A ，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理： P 点在 AB 上， Q 点在 DE 或 CE 上时，也不可能构成平行四边形因此只有当P 点在 BF 上， Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP ， CQ ，则以A ， P，C ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC QA. 点 P 的速度为 5 cm/s，点 Q 的速度为 4 cm/s，运动时间为 t s， PC 5t cm ， QA (124t)cm.4 5t 12 4t，解得 t 3.以 A ，P， C ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t 433.ABC

8、是等腰直角三角形，BAC 90， P， Q 分别是AB ，AC 上的动点，且满足BP AQ ， D 是 BC 的中点，连接 AD ，PD，PQ，DQ.(1)求证： PDQ 是等腰直角三角形；(2)当点 P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形？请说明理由4. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点 O，AC 20 cm，BD 12 cm，两动点 E，F 同时以 2 cm/s的速度分别从点A ，C 出发在线段AC 上相对运动，点E 到点 C，点 F 到点 A 时停止运动(1)求证：当点 E，F 在运动过程中不与点O 重合时，以点 B，E， D， F 为顶点的四边形为平

9、行四边形；(2)当点 E，F 的运动时间t 为何值时，四边形 BEDF 为矩形？解： (1)证明：连接DE ，EB ，BF ，FD.两动点E， F 同时以 2 cm/s 的速度分别从点A ， C出发在线段AC上相对运动，AE CF.平行四边形ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点O， OD OB ， OA OC( 平行四边形的对角线互相平分 )， OA AE OCCF 或 AE OA CF OC ，即 OE OF，四边形 BEDF 为平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形 )，即以点 B， E， D， F 为顶点的四边形是平行四边形(2)当点 E 在 OA 上，点 F 在 OC

10、 上， EF BD 12 cm 时，四边形 BEDF 为矩形运动时间为t ， AE CF 2t ， EF 20 4t 12， t 2；当点 E在OC上，点 F在OA 上时，EF BD 12 cm ， EF 4t 20 12， t 8.因此，当点 E，F 的运动时间t 为 2 s 或 8 s 时，四边形 BEDF为矩形二、圆相关的证明与求值问题1. 如图 ,AB 是 O 的直径 , 且 AB=6,C 是 O 上一点 ,D 是 BC? 的中点， 过点 D 作 O的切线， 与 AB、AC的延长线分别交于点 E. F，连接 AD.(1) 求证： AF EF；(2) 填空：当 BE=_时，点 C 是 A

11、F 的中点；当 BE=_时，四边形 OBDC是菱形 .2. 如图，在 ABD中， AB=AD，以 AB 为直径的 F 交 BD于点C，交 AD于点 E， CGAD于点 G，连接 FE， FC.(1) 求证： GC是 F 的切线；(2) 填空：若 BAD=45,AB= 2 2 ，则 CDG的面积为 _.当 GCD的度数为 _时，四边形EFCD是菱形 .3. 已知：如图 ,AB 为 O的直径 , 点 P 是 O上不与 A,B 重合的一个动点 , 延长 PA到 C, 使 AC=AP,点 D 为 O上一点 , 且满足 AD PB，射线 CD交 PB延长线于点E.(1) 求证： PAB ACD；(2)

12、填空：若 AB=6，则四边形ABED的最大面积为 _；若射线 CD与 O的另一个交点为F，则当 PAB的度数为 _时，以 O， A，D， F 为顶点的四边形为菱形.4.如图，在Rt ABC 中，C90，点D 是AC的中点，且ACDB90 ,过点A, D作e O ，使圆心O 在AB 上，e O 与AB 交于点E （ 1）求证：直线 BD 与 e O 相切；（ 2）若 AD : AE 4:5, BC 6 ,求 e O 的直径5.如图，在 ABC 中， C=90， ACB 的平分线交 AB 于点 O，以 O 为圆心的 O 与 AC 相切于点 D（ 1）求证： O 与 BC 相切；（ 2）当 AC=3

13、 ， BC=6 时，求 O 的半径 .6. 如图， AB 是 O 的直径， AM ，BN 分别切 O 于点 A ，B， CD 交 AM ，BN 于点 D ，C，DO 平分ADC （ 1 ）求证： CD 是 O 的切线；（ 2 ）若 AD=4 ， BC=9 ，求 O 的半径 R7. 如图，在等腰ABC中， AB=AC，以 AB 为直径作 O 交边BC于点 D，过点 D 作 DE AC交 AC于点 E，延长 ED交 AB的延长线于点F.（ 1）求证： DE是 O的切线；（ 2）若 AB=8， AE=6，求 BF 的长 .8. 如图， AB是O的直径，点 C、 D 在O上， A=2BCD，点 E 在

14、 AB的延长线上， AED=ABC（ 1）求证： DE与O 相切；（ 2）若 BF=2， DF=，求O 的半径解：（ 1）证明：连接OD，AB 是O的直径， ACB=90， A+ABC=90， BOD=2BCD， A=2BCD， BOD=A， AED=ABC， BOD+AED=90， ODE=90，即ODDE，DE与O相切；（ 2）解：连接 BD，过 D 作 DHBF 于 H，DE与O相切， BDE=BCD， AED=ABC， AFC=DBF， AFC=DFB， ACF 与 FDB 都是等腰三角形，FH=BH= BF=1，则 FH=1， HD=3，在 RtODH中，+=，即+=，OD=5，O

15、的半径是59. 已知，如图， AB 为O 的直径， PD 切O 于点 C，与 AB的延长线交于点 D，DEPO 交 PO延长线于点 E，连接 PA，且 EDB=EPA（ 1）求证： PA是O 的切线；（ 2）若 PA=6， DA=8，求O 的半径（ 1 ） 证 明 ： EDB=EPA ， DEPO， EDO=APO，DEO=90又 POA=DOE， APO EDO， PAO=DEO=90又 OA是半径， PA 是O的切线；（ 2）在RtPAD 中，若PA=6， DA=8，根据勾股定理得：PD=10，PD与 PA都为圆的切线， PC=PA=6， DC=PD-PC=10-6=4 ，在 RtCDO中

16、，设 OC=r，则有 DO=8-r，根据勾股定理得： （ 8-r ）2=r 2+42，解得： r=3 ，则圆的半径为310. 如图， AB是O 的直径，点 C、 D 为半圆 O的三等分点，过点 C 作 CEAD，交 AD的延长线于点 E（ 1）求证： CE是O 的切线；（ 2）判断四边形 AOCD是否为菱形？并说明理由（ 1）连接 AC，点 CD是半圆 O的三等分点，=， DAC=CAB， OA=OC， CAB=OCA， DAC=OCA，AEOC（内错角相等，两直线平行）， OCE=E，CEAD， OCE=90， OCCE， CE是O的切线；（ 2）四边形 AOCD为菱形理由是： = ， DC

17、A=CAB， CDOA，又 AEOC，四边形 AOCD是平行四边形， OA=OC，平行四边形 AOCD是菱形11. 如图，已知直线 PA交O于 A、B 两点，AE是O的直径，点 C 是O上一点，且 AC平分 PAE，过 C 作 CDPA，垂足为 D.（ 1）求证： CD为O 的切线；（ 2）若 DC+DA=6，O的直径为 10，求弦 AB的长。（ 1）证明：连接 OC，OA=OC， OCA=OAC，AC平分 PAE， DAC=CAO， DAC=OCA，PBOC，CDPA， CDOC， CO为O半径， CD 为O的切线；（ 2）解：过 O作 OFAB，垂足为 F， OCD=CDA=OFD=90，

18、 四 边 形DCOF 为 矩 形 ，OC=FD， OF=CDDC+DA=6，设 AD=x，则 OF=CD=6-x，O的直径为10， DF=OC=5， AF=5 -x ，在 RtAOF中，由勾股定理得 +=即 +=25，化简得 -11x+18=0 ，解得 =2， =9CD=6-x 大于 0，故 x=9 舍去， x=2，从而 AD=2， AF=5-2=3，OFAB，由垂径定理知， F 为 AB的中点， AB=2AF=612.AB 为O 直径， BC 为O 切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC求证： DC为O切线；若 AD?OC=8，求O 半径 r 试题解析：证明：连接ODOA=OD， A=ADOADOC， A=BOC， ADO=COD， BOC=COD在 OBC与 ODC中， OBC ODC（ SAS）， OBC=ODC，又 BC 是O的切线， OBC=90， ODC=90， DC 是O的切线；连接 BD在 ADB与 ODC中，2 ADB ODC，AD：OD=AB：OC，AD?OC=OD?AB=r?2r=2r，即 2r 2=8，故 r=2 13、如图， ABC 内接于 O， AB为直径， E 为 AB延长线上的点，作ODBC 交 EC的延长线于点D，连接 AD（ 1）求证：