(完整版)等差数列知识点总结及练习(学生版)

1、等差数列知识点总结一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示2等差数列的通项公式若等差数列 n 的首项是1，公差是，则其通项公式为an1( 1)d ( ).aadann m d p3等差中项 x y如果三个数x， ，组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则.A yA24等差数列的常用性质(1) 通项公式的推广： an am ( n m) d( n， m N* ) (2) 若 an 为等差数列，且 mn p q，

2、则 am an ap aq( m， n， p， qN* ) (3) 若 an 是等差数列，公差为 d，则 ak ，ak m， ak 2m，(k， mN* ) 是公差为 md的等差数列(4) 数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，也是等差数列(5) S2n 1(2 n 1) an.nd(6)若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 2 ；若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 ( 中间项 ) 5等差数列的前n 项和公式n a a若已知首项 a1和末项 an，则Sn1n2，或等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d，则其前 n 项和公式为 Sn1 n n1.na2d6等差数列的前n 项和公

3、式与函数的关系S2n2n，数列 a 是等差数列的充要条件是S AnBn( A B为常数)n d 2 a1dnn2，7最值问题在等差数列 an 中， a1 0， d0，则 Sn 存在最大值，若a1 0， d 0，则 Sn 存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：Sn a1 a2a3 an，Sn an an1 a1，na1 an得： Sn.2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1) 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a 2d， a d， a， a d， a 2d，.(2) 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a 3d，a d，ad，a 3

4、d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1) 定义法：对于 n2的任意自然数，验证 an an 1 为同一常数；(2) 等差中项法：验证 2an 1 an an 2( n3， n N* ) 都成立；(3) 通项公式法：验证 an pnq；(4) 前 n 项和公式法：验证SnAn2 Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列1回顾：1已知等差数列 a n 中， a3=9， a9=3，则公差 d 的值为（）AB 1CD 12已知数列 a n 的通项公式是an=2n+5 ，则此数列是（）A 以 7 为首项，公差为2 的等差数列B 以 7 为

5、首项，公差为5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为2 的等差数列D 不是等差数列3在等差数列 a 中， a =13 ， a =12，若 a =2，则 n 等于（）n13nA 23B24C 25D 264两个数 1 与 5 的等差中项是（）A 1B 3C 2D5（ 2005?黑龙江）如果数列 a n 是等差数列，则（）A a1 +a8 a4+a5B a1+a8=a4+a5C a1 +a8 a4+a5D a1a8=a4a5考点 1: 等差数列的通项与前n 项和题型 1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】 给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例 1】已知 an为等差数列，

6、a158, a6020 ，则 a75对应练习 ：1、已知an 为等差数列，amp, anq （ m, n, k 互不相等），求 ak .2、已知 5 个数成等差数列，它们的和为5 ，平方和为 165 ，求这 5 个数 .题型 2：已知前n 项和 Sn 及其某项，求项数.【解题思路】 利用等差数列的通项公式an a1(n1)d 求出 a1 及 d ，代入 Sn 可求项数 n ；利用等差数列的前4 项和及后4 项和求出a1an ，代入 Sn 可求项数 n .【例 2】已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， a49, a96, Sn 63 ，求 nSn 18n3 n( n1)63n16, n27

7、24 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，求这个数列的项数 n .对应练习： 3、若一个等差数列的前24. 已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， a11,a47, Sn 100 ，则 n.题型 3：求等差数列的前 n 项和【解题思路】（1）利用 Sn 求出 an ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（ 2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例 3】已知 Sn 为等差数列 an的前 n 项和， Sn 12nn 2.（ 1） a1 a2 a3 ；求 a1a2a3a10 ；求 a1a2a3an .对应练习： 5、已知 n为等差数列an的前 n 项

8、和， 10100，求 110 .SS100, S10S考点 2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法： an1and （ n N， d 是常数）an是等差数列；2、中项法： 2an1anan 2 ( nN )an是等差数列；3、通项公式法：anknb （ k, b 是常数）an是等差数列；4、项和公式法：SnAn 2Bn （ A, B 是常数，A0 ）an 是等差数列 .【例 4】已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， bnSn(nN) .n3求证：数列bn 是等差数列 .解：对应练习： 6、设 Sn 为数列an 的前 n 项和， Snpnan (n

9、N ) ， a1a2 .（ 1） 常数 p 的值；（ 2） 证：数列 an 是等差数列 .考点 3 : 等差数列的性质【解题思路】 利用等差数列的有关性质求解.【例 5】1、已知Sn 为等差数列an 的前 n 项和， a6100 ，则 S11；2、知 Sn为等差数列 an的前 n 项和， Snm, Sm n(n m) ，则 Sm n.对应练习： 7、含 2n1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）A. 2n1B. n1C. n1D. n 1nnn2n8. 设 Sn 、 Tn 分别是等差数列an、 anSn7n2a5.的前 n 项和，n，则b5Tn3考点 4： 等差数列与其它知识的综

10、合【解题思路】 1、利用an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出 Tn 后，判断Tn 的单调性 .【例 6】已知 Sn为数列 an的前 n 项和， Sn1n 211n ；数列 bn满足： b311 ，22bn 22bn 1 bn ，其前 9 项和为 153.4 数列 an、 bn的通项公式；设 Tn 为数列cn的前 n 项和， cn6，求使不等式 Tnk 对n N 都成立的最大正( 2an11)( 2bn 1)57整数 k 的值 .对应练习： 9. 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和， a13 ， Sn Sn 12an (n2) .数列 an 的通项公式；数列an 中是否存在正整数k ，使得不等式 akak 1 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010 广雅中学 ) 设数列an是等差数列，且a28 ， a155 ， Sn 是数列an的前 n 项和，则A S10S11B S10S11C S9S10D S9S102.在等差数列an 中， a5120 ，则 a2a4a6a8.3.数列 an 中，