202X版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5

1、一二维形式的柯西不等式第三讲柯西不等式与排序不等式学习目标1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点二维形式的柯西不等式思考思考1(a2b2)(c2d2)与与4abcd的大小关系如何？那么的大小关系如何？那么(a2b2)(c2d2)与与(acbd)2的大小关系又如何？的大小关系又如何？答案答案(a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考思考2当且仅当当且仅当ab且且cd时，时，(a2b2)(c2d2)4ab

2、cd，那么在什，那么在什么条件下么条件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?答案当且仅当答案当且仅当adbc时，时，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考思考3假设向量假设向量(a，b)，向量，向量(c，d)，你能从向量的数量积与，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理梳理(1)二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定理定理1：假设：假设a，b，c，d都是实数，那么都是实数，那么(a2b2)(c2d2) ，当且仅当当且仅当adbc时，等号成立时，等号成立.二维形式的柯西不等式的推论：二维形式的柯西不等式的推论：(acbd

3、)2|acbd|ac|bd|(2)柯西不等式的向量形式定理2：设，是两个向量，那么 ，当且仅当是 ，或存在实数k，使k时，等号成立.(3)二维形式的三角不等式零向量当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立.|推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据P1P2P3的边长关系有|P1P3|P2P3|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.题型探究类型一利用柯西不等式证明不等

4、式证明证明a1，a2，b1，b2R，证明反思与感悟利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要反思与感悟利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进展变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往将待证不等式进展变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法配方、数形结合等方法.跟踪训练跟踪训练1为锐角，为锐角，a，bR，证明例例2假设实数假设实数x，y，z满足满足x24y2z23，求证：，求证：|x2yz|3.证明因为证

5、明因为x24y2z23，所以由柯西不等式得所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.证明反思与感悟反思与感悟(1)抓住柯西不等式的特征抓住柯西不等式的特征“方、和、积，构造使用柯西方、和、积，构造使用柯西不等式的条件不等式的条件.(2)此类题也可以用三角不等式，把此类题也可以用三角不等式，把ABO的三个顶点分别设为的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可即可.将上面三个同向不等式相加，证明类型二利用柯西不等式求最值例例3假设假设3x4y2，试求，试求x2y2的最小值及最小值点的最小值及最小值点.解由

6、柯西不等式解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，解答反思与感悟利用柯西不等式求最值反思与感悟利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的构造特征，是利用柯西不等式求解的前提先变形凑成柯西不等式的构造特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；条件；(2)有些最值问题从外表上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上有些最值问题从外表上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能到

7、达目的，但在有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能到达目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否那么就会出现错误盾，否那么就会出现错误.屡次反复运用柯西不等式的方法也是常用技屡次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一巧之一.跟踪训练跟踪训练3a，bR，且，且9a24b218，求，求3a2b的最值的最值.解由柯西不等式，得解由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2，9a24b218，36(3a2b)2.|3a2b|6.解答达标检测1.a，bR，a2b24，那么3a2b的最大值为

8、A.4 B.2C.8 D.91234解析解析(a2b2)(3222)(3a2b)2，当且仅当，当且仅当3b2a时取等号，时取等号，所以所以(3a2b)2413.所以所以3a2b的最大值为的最大值为解析答案52.a0，b0，且ab2，那么A.ab B.abC.a2b22 D.a2b23答案12345解析解析(a2b2)(1212)(ab)24，a2b22.解析123459最小值为9.解析答案12345解析解析(a2b2)(m2n2)(manb)225，m2n25.当且仅当当且仅当anbm时取等号时取等号.解析答案证明证明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acos bsin )2，|acos bsin |1.12345证明5.a2b21，求证：|acos bsin |1.1.利用柯西不