(完整word版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档

1、例1、 已知函数表x-112f ( x)-304求 f ( x) 的Lagrange二次插值多项式和 Newton二次插值多项式。解：（1） 由题可知xk-112yk-304插值基函数分别为l 0x x1x x2x 1 x 211x2(x)x1x0x211 12xx06x x0x x2x 1 x 211x2l1 (x)x0x1x21112xx12l 2x x0x x1x 1 x 11x1( x)x0x2x12121x 1x23故所求二次拉格朗日插值多项式为2L2 ( x)yk lk xk 03 1 x 1 x 2 01 x 1 x 24 1 x 1 x 16231x1 x24 x1 x 123

2、5 x23 x7623（ 2） 一阶均差、二阶均差分别为1fx0fx1303f x0, x1x0x1112fx1fx2044f x1, x2x1x212f x0, x1f x1, x2345f x0, x1 , x22x0x21 26均差表为xkf ( xk )一阶二阶-1-3103/22445/6故所求 Newton二次插值多项式为P2 x f x0f x0 , x1 x x0f x0 , x1, x2 x x0 x x13x151 x13x265x23x7623例2、设f ( x)x23x2 ，x0,1 ，试求 f ( x) 在0, 1 上关于( x) 1 ，span 1,x的最佳平方逼近

3、多项式。解：若span 1,x，则 0 ( x)1 ， 1( x)x ，且 ( x)1 ，这样，有1110 ,01dx1,1 , 1x2 dx00311 ,1x2230 ,11, 0xdxf , 03x2 dx020619f , 1x x23x2dx04所以，法方程为11a02311a0232626，经过消元得1a11901 a11234123再回代解该方程，得到 a14 ， a01162故，所求最佳平方逼近多项式为S1* ( x)114 x6例3、 设 f ( x)ex ， x0,1 ，试求 f (x) 在0, 1 上关于(x)1 ，span 1,x 的最佳平方逼近多项式。解：若span 1

4、,x，则0 ( x)1 ，1( x) x ，这样，有10 ,01dx10111,1x2dx03110 ,1,10xdx021f ,0ex dx1.718301xex dxf ,110所以，法方程为11a01.7183211a1123解法方程，得到 a00.8732 ， a11.6902 ，故，所求最佳平方逼近多项式为S* ( x)0.87321.6902 x1例4、 用 n 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分9xdx 。1解：（1）用 n 4的复合梯形公式由于 h2， fxx ， xk12k k1,2,3，所以，有9T4xdx1h f 1 23f xkf 9 2k12 123579217.2

5、2773（2）用 n4 的复合辛普森公式由于 h2 ， fxx ， xk12kk 1,2,3， x1k29S4xdx1h f 1334f x12f xf 9 6kkk02k11424682351317.332122k k0,1,2,3 ，所以，有73例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。12x13x23x31518x13x2x315x1x2x36解：先消元123315A b1831151116r1r21831151233151116m2,第1行（ m ）第 2行 第2行18 311521321017 35m1 ,第1行（ m ）第 3行 第3行31183107 617 1831 6r2

6、r318311507 617 1831 6017 35m326,第2行（ m32）第 3行 第3行18 3115707 617 1831 60022 766 7再回代，得到 x33 ， x22 ， x1 1所以，线性方程组的解为x1 1， x22， x33例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。41 x1 x1 x941526311x21x38x14531x1x22x382解：设111456100u11u12u13111Al21100u22u23LU345l31l32100u331122则由 ALU 的对应元素相等，有u1， u1， u1，114121365l u1l214， l u1l

7、312 ，21113331 112l u12u221u221，l uu1u1 ，2146021 132323455l31u12l32u221l3236 ， l31u13l32u23u332u331315因此，111100456ALU410011360452361001315100y19b ，即 4解 Ly10y28，得 y19， y24 ， y31543y382361111456x1911解 Uxy ，即 0x24 ，得 x3177.69， x2476.92 ， x1 227.086045x3154001315所以，线性方程组的解为x1227.08， x2476.92， x3177.695、若

8、A 是 nn 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵 U ，使ALU 唯一成立。（）、当 n8 时， Newton cotes 型求积公 式会产生数值不 稳定性 。（）bnAi f ( xi )f (x)dx3、形如 ai1的高斯（ Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为 2n1。 （）210A111、矩阵012的范数 A 2 。（）2aa0A0a05、设00a，则对任意实数 a0 ，方程组 Axb 都是病态的。（用）（）6、设 AR nn ， QRn n ，且有 QT QI （单位阵） ，则有 A 2QA 2。（）7 、 区间 a, b 上 关于 权函 数 W ( x) 的

9、 直交 多项式 是存 在的，且 唯 一 。（）1、（）2、（）3、（）4、（）5、（）6、（）7、（）8、（）一、判断题（ 10×1）1、 若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 AX b 一定可以使用高斯消元法求解。 (× )2、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根x* 附近是平方收敛的。()3、 若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式naiiaij(i1,2,., n)j1ji则解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。(× )4、 样条插值一种分段插值。()5、 如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。(

10、)6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。(×)68、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(× )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(× )1.用计算机求10001 时，应按照 n 从小到大的顺序相加。（）n 1n10002.为了减少误差 ,应将表达式 20011999 改写为2进行计

11、算。（ 对）200119993.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题一、填空题：410A14A1、01 4，则 A的LU 分解为。11410A1 4115 41答案：04 15156 152 、已 知 f (1)1.0,f ( 2)1.2, f (3) 1.3 ，则 用辛普生 （辛 卜生 ）公式 计算求 得3f ( x)dx _。1,用三点式求得 f (1)答案： 2.367，0.253、 f (1)1,f (2)2, f (3) 1，则过这三点的二次插值多项式中x

12、2 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案： -1，L2 ( x)1 ( x2)( x3) 2(x1)( x3)1 ( x 1)( x2)22、近似值 x*0.231关于真值 x0.229 有( 2)位有效数字；47、设 f ( x) 可微 , 求方程 xf ( x) 的牛顿迭代格式是 ()；5xn1xnxnf ( xn )1f ( xn )答案6、对 f ( x)x3x1,差商 f 0,1,2,3(1),f 0,1,2,3,4(0)；7、计算方法主要研究 (截断)误差和 (舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0 在区间 (a,b)内的根时，二分n 次后的误差限为ba(2 n 1)；、

13、已知f(1)，则二次Newton插值多项式中x2系数为 (0.15 )；102，f(2)3，f(4) 5.91 f ( x)dx11 f ( 3 1)f ( 3 1)0 f (x)dx、 两点式高斯型求积公式0(22323)，代数精11度为( 5 )；12、 解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零 )。y 1034613、x1( x1)2( x1)3为了使计算的乘除法次数尽量地少， 应将该表y10 (3 (4 6t)t)t , t1达式改写为x1，为了减少舍入误差，应将表达式220011999 改写为20011999。、 用二分法求方程 f (

14、x)x3x10在区间 0,1 内的根 ,进行一步后根的所在区间14为0.5， 1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。1xdx ,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为15、 计算积分 0.50.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309 ，梯形公式的代数精度为1 ，辛卜生公式的代数精度为3。3x15x2116、 求解方程组0.2 x14x20 的高斯塞德尔迭代格式为x1(k1)(1 5 x2(k) ) / 3x2(k1)x1(k 1) / 20，该迭8(M)=1代格式的迭代矩阵的谱半径12 。17、 设 f ( 0)0, f (1)16, f(2)46 ,则 l1

15、 (x)l1 (x)x( x2)， f (x) 的二次牛顿插值多项式为N 2 ( x)16x 7 x( x 1)。bnAk f ( xk )f ( x)dx、 求积公式a的代数精度以 (高斯型)求积公式为最高，具18k0有(2n1)次代数精度。5、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求f ( x)dx( 12)。19120、设 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 f (1)(2.5)。21、如果用二分法求方程x3x40 在区间 1,2 内的根精确到三位小数，需对分（10 ）次。23、 l 0 ( x), l 1 ( x), l n (x

16、) 是以整数点 x0 , x1 , xn 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nl k (x)k026、改f xnnxk l j (xk )( x j )，当 n( xk4xk23)l k (x)4x 23)。( 1 ) ，k 02时 k 0(x变 函 数 f ( x)x 1x( x 1 ) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确1x 1x。27、若用二分法求方程f x0 在区间 1,2 内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分10次。1ex dx0629、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过10 ，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。x1 1.6x2130 、写出求 解

17、方程组0.4x1 x22x1k 111.6x2k01.6x2k120.4x1k 1 , k0,1,，迭代矩阵为00.64A5443,则 A31、设9。的Gauss-Seidel迭代公式，此迭代法是否收敛收敛。482482U016A257001136的 A232、设矩阵LU ，则U。933、若 f ( x )3x 41134、数值积分公式35、线性方程组2x1 ，则差商f 2,4,8,16,323。2 f ( 1) 8 f (0)f (1)f ( x )dx29的代数精度为。1210151x211103的最小二乘解为1。321321041033A2040021135分解为 A36、设矩阵LU ，

18、则U2。二、单项选择题：1、 Jacobi 迭代法解方程组 Ax b 的必要条件是（C）。A A 的各阶顺序主子式不为零B( A)1C aii0, i1,2, nDA1223A051、设007，则 (A)为(C )2A 2B 5C 7D 33、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A2B5C3D44、求解线性方程组Ax=b 的 LU 分解法中， A 须满足的条件是 (B)。A 对称阵B 正定矩阵C 任意阵D 各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是 (A )产生的误差。A. 只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量D数学模型准确值与实际值6、 3.141580 是的有 ( B

19、 )位有效数字的近似值。A 6B 5C 4D 77、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是 (C)误差。A 模型B 观测C 截断D 舍入108、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A 控制舍入误差B 减小方法误差C防止计算时溢出D 简化计算x3、用1+31x所产生的误差是 ( D)误差。近似表示9A 舍入B 观测C 模型D 截断10、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A 5B 6C 7D 8则抛物插值多项式中x2的系数为 ( A )。11、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,A 05B 05C 2D -212、三点的高斯型求积公

20、式的代数精度为(C)。A3B4C5D213、( D ) 的 3 位有效数字是0.236×102。(A) 0.0023549× 103(B) 2354.82× 102(C) 235.418(D) 235.54×10114、用简单迭代法求方程f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x) ，则 f(x)=0 的根是( B)。(A) y=(x) 与 x 轴交点的横坐标(B) y=x 与 y=(x) 交点的横坐标(C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标(D) y=x 与 y= (x) 的交点3x1x2 4x31x12x29x3015、用列主元消

21、去法解线性方程组4x13x2x31 ，第1 次消元，选择主元为( A) 。(A) 4(B) 3(C) 4(D)916、拉格朗日插值多项式的余项是 ( B),牛顿插值多项式的余项是 ( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx1)(x x2) (xxn 1)(xxn)，f ( n1)( )Rn (x) f ( x) Pn (x)1)!(B)( n(C) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx0)(x x1)(x x2) (xxn 1)(xxn) ，f(n1)( )(x)Rn ( x) f ( x) Pn ( x)n 1(D)(n1)!17、等距二点求导公式f (x1)(

22、A )。11f ( x1 )f ( x0 )f ( x1 ) f ( x0 )f ( x0 ) f ( x1 )f ( x1 )f ( x0 )( A )x0(B)(C)( D)x0x1x0 x1x0 x1x118、用牛顿切线法解方程f(x)=0 ，选初始值 x0 满足 (A),则它的解数列 xnn=0,1,2, 一定收敛到方程f(x)=0 的根。(A ) f (x0 ) f ( x)0(B) f ( x0 ) f ( x)0(C) f ( x0 ) f ( x)0(D) f (x0 ) f ( x)019、为求方程x3x21=0 在区间 1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立

23、相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。x 2x11,迭代公式 : xk 11(A)xk 1x11, 迭代公式 : xk111x22(B)xk(C) x31x2,迭代公式: xk(12)1/ 31xkx31x 2 , 迭代公式 : xk11xk2xk21(D)xk21、解方程组 Axb 的简单迭代格式x(k1)Bx( k)g 收敛的充要条件是（）。（ 1）( A)1,(2)( B)1 ,(3)( A)1,(4)(B)1bn(b a)Ci( n ) f ( xi )f ( x)dx( n )22、在牛顿 -柯特斯求积公式：ai0中，当系数 C i是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，

24、当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（ 1） n8 ， （ 2） n7 ， （3） n10 ，（ 4） n6，23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（ 1）二次；（ 2）三次；（ 3）四次；（ 4）五次25、取31.732 计算 x(31)4，下列方法中哪种最好？（）1616(A) 28163 ；(B) (423) 2；(C)(4 2 3)2；(D) (3 1)4。27、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）xi1.52.53.5f ( xi )-10.52.55.08.011.5(

25、A) 5；(B) 4；(C)3；(D) 2。bf ( x )dxA1 f ( x1 ) A2 f ( x 2 ) A3 f ( x3 )a28、形如的高斯（ Gauss ）型求积公式的代数精度为（）12(A) 9；(B) 7；(C)5；(D)3 。29、计算3 的 Newton迭代格式为 ()xk 1x k3xk3xk 1xk2x k3xk ； (B)xk 1xk 1xk 。(A)222 xk ； (C)2xk ； (D)330、用二分法求方程 x 34x2100在区间 1, 2 内的实根，要求误差限为110 32，则对分次数至少为 ()(A )10；(B)12 ；(C)8；(D)9 。932、设 l i ( x ) 是以 xkk(k0,1,L ,9) 为节点的 Lagrange插值基函数，则(A) x ；（ B） k ；（ C） i ；（D）1。33、 5 个节