(完整word)《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用,推荐文档

1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【典型例题】【例 1】 下列各式1）1, 2) 5,3)x22, 4) 4,5) ( 1)2 ,6) 1 a,7) a22a 1 ，53其中是二次根式的是（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）2A 、 aB、10C、 a 1D 、 a 12、在a 、 a2b 、x 1 、 1 x2、3 中是二次根式的个数有_个【例2】若式子1x有意义，则 x 的取值范围是3举一反三：1、使代数式x3 有意义的 x 的取值范围是（）x4A 、 x>3B、 x3C、 x

2、>4D 、 x3 且 x422、使代数式x 2 x 1 有意义的 x 的取值范围是【例 3】 若 y=x5 +5x +2009 ，则 x+y=第 1页总 10页举一反三：1 、若x11x(xy)2 ，则 xy 的值为（）A 1B 1C 2D 32 、若 x、y 都是实数，且y=2 x332 x4 ，求 xy 的值3 、当 a 取什么值时， 代数式2a 1 1 取值最小，并求出这个最小值。知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性： a( a 0) 是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2.(a) 2aa(0) 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可

3、以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a) 2 (a0)3. a2a(a0)|a|注意：（ 1 ）字母不一定是正数a(a0)（ 2 ）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（ 3 ）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式a2|a|a( a0)aa(0) 的区别与联系a(a与 ( a) 20)（ 1 ）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2） (a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数（ 3 ）a 2和 (a) 2 的运算结果都是非负的【典型例题】第 2页总 10页【例 4】 若

4、 a 220，则 a b cb 3 c4举一反三：1、若 m3( n1) 20 ，则 m n 的值为。2、已知 x, y 为实数，且x13 y20 ，则 xy 的值为（2）A 3B 3C 1D 13、已知直角三角形两边x、 y 的长满足 x2 4 y 25y6 0 ，则第三边长为 .、若 a b1 与20054a2b4 互为相反数，则ab_。（公式 (a) 2a(a0) 的运用）【例5】 化简： a1(a3) 2的结果为（）A、 4 2aB、 0C、2a 4D 、4举一反三：244m21 、 在实数范围内分解因式 :x3 =； m4 =x49 _, x222x2_（公式 a 2aa(a0)a(

5、a的应用）0)【例6】 已知 x2 ,则化简x24x4 的结果是A 、 x 2B、 x 2C、 x 2D 、 2 x举一反三：1、根式 (3)2的值是 ()A-3B3 或 -3C 3D 92、已知 a<0，那么a2 2a 可化简为（）A aBaC 3aD 3a第 3页总 10页3 、若 2 p a p 322a2，则a3等于（）A.5 2aB.12aC.2a5D. 2a 14 、若 a 3 0，则化简a 26a94a 的结果是（）(A)1(B)1(C)2a 7(D)7 2a5 、化简 4x24x12x23得（）（ A） 2 （ B） 4x 4（C） 2（D ） 4x 4a 22a16 、

6、当 a l 且 a 0 时，化简a 2a7 、已知 a 0 ，化简求值：4 (a1 )24 (a1) 2aa【例 7 】如果表示 a， b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简a b +(ab)2的结果等于（）ba oA 2bB2bC 2aD 2aa1012举 一 反 三 ： 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ： 化 简 ：a 1(a 2)2_ 【例 8】化简 1xx28x16 的结果是2x-5 ，则 x 的取值范围是（）（ A） x 为任意实数（ B） 1x4（ C） x1（ D ） x1举一反三： 若代数式(2a) 2(a4)2 的值是常数2 ，则 a 的取值

7、范围是（） a 4 a 2 2 a 4 a2 或 a 4【例 9】 如果 aa22a11 ，那么 a 的取值范围是（）A. a=0B.a=1C.a=0 或 a=1D.a1举一反三：第 4页总 10页1、如果 aa26a 93 成立，那么实数a 的取值范围是（）A.a0B.a3;C.a3; D.a32、若( x3)2x 3 0 ，则 x 的取值范围是（）（ A ） x 3（ B） x3（C） x 3（D ） x 3【例a2的结果是（）10 】 化简二次根式 aa 2（ A ）a2(B)a 2(C)a 2(D)a 21、把二次根式 a1）化简，正确的结果是（aA.aB.aC.aD.a2、把根号外的

8、因式移到根号内：当bx ； (a1)1。b 0 时，x1a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1 、最简二次根式：（ 1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号【例 11 】 在根式 1)a2b2 ;2)x ;3)x2xy;4)27abc ，最简二次根式是（）5A 1) 2)B 3) 4)C 1) 3)D1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、 45a , 30, 21,40b 2 , 54, 17( a2b 2 ) 中的最简二次根式是22、下列根式中，不是最简二次根式的是（） A7B3C 12。D 2

9、第 5页总 10页3 、下列根式不是最简二次根式的是( )A. a2 1B. 2 x 1C.2bD. 0.1y44 、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？3ab(1)3a2 b(2)2(3)x 2y 2(4)ab( ab)(5)5(6)8xy5 、把下列各式化为最简二次根式：(2) 45a2 bx 2y(1)12(3)x【例 12 】 下列根式中能与3 是合并的是 ()A.8B. 27C.2 51D.2举一反三：1 、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）1C、22A 、3和 18B、 和a b和abD、 a 1和 a 1332、在二次根式： 12 ；23 ；2 ； 27 中，能与

10、 3 合并的二次根式3是。3 、如果最简二次根式3a 8 与17 2a 能够合并为一个二次根式, 则 a=_.知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】1 分母有理化定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。第 6页总 10页有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa 来确定，如：a与a ，ab与ab ，ab 与ab 等分别互为有理化因式。 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 。 如 ab 与 ab ，ab与ab ，axby与axby 分别互为有理

11、化因式。3 分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【例 13 】 把下列各式分母有理化1431113（ 1 ）（ 2 ）7（ 3 ）12（ 4 ）5048325【例 14 】 把下列各式分母有理化2x28a2b5（ 1 ）（2 ）（ 3） x（ 4 ）a58x3 ya bx3b2【例 15 】 把下列各式分母有理化：（ 1 ）2（2）53（ 3）3315322323小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与第 7页总 10页知识点五：二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】

12、1 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab =a · b （ a0 ， b 0 ）2 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a · b ab （a 0， b 0 ）3 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a =a （ a 0 ，b>0 ）bb4 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。a a= （ a 0 ，b>0 ）b b注意 ：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要

13、考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】【例 16 】化简(1)916(2)1681(4)9x2 y2 ( x0, y0 )【例 17 】计算（ 1）（ 2 ）（3）（4）第 8页总 10页xx【例 20 】 能使等式x 2x2 成立的的 x 的取值范围是（）A 、 x 2B、 x0C、 0 x 2D、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】1.同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。2. 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。3. 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例 20 】计算（ 1） 32175 20.5 31； （2） 101220543245；22753457（3） 3211753 14 1；（ 4 ）1 631273283482147853223247第 9页总 10