(完整版)物理学教程第三版第一章质点运动学

1、第一章质点运动学1 -1质点作曲线运动,在时刻 t 质点的位矢为 r ,速度为 v ,速率为 v,t 至 (t t)时间内的位移为r , 路程为s, 位矢大小的变化量为r ( 或称 r ),平均速度为v ,平均速率为 v (1) 根据上述情况 ,则必有 ()(A) r= s = r(B) r s r ,当 t 0 时有 dr = ds rd(C) r r s,当 t0 时有 dr = dr sd(D) r s r ,当 t 0 时有 dr = dr = ds(2) 根据上述情况 ,则必有 ()(A) v =v , v =v(B) v v , v (C) v =v , v v(D) v v ,

2、v =vv分析与解(1) 质点在 t至 (t t)时间内沿曲线从 P 点运动到 P点 ,各量关系如图所示,其中路程s PP,位移大小r PP,而 r r - r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)但当t 0 时 ,点 P无限趋近 P点 ,则有 dr ds,但却不等于 dr 故选 (B) (2)由于r s,故rs,即 v v tt但由于 dr ds,故 drds ,即 v v 由此可见 ,应选 (C) dtdt1 -2一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y)的端点处 ,对其速度的大小有四种意见,即d r22(1)dr； (3)d

3、s ；(4)dxdy；(2)dtdtdtdtdt下述判断正确的是 ()(A)只有 (1)(2) 正确(B) 只有 (2)正确(C) 只有 (2)(3) 正确(D) 只有 (3)(4)正确分析与解dr 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率, 在极坐标系中叫径向速dtdr率通常用符号 vr表示 ,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然dtds22坐标系中速度大小可用公式vvdxdy计算 ,在直角坐标系中则可由公式dtdtdt求解故选 (D) 1 -3 质点作曲线运动 ,r表示位置矢量 , v表示速度 ,a表示加速度 ,s 表示路程 , a表示切向加速度对下列表达式,即(1)d

4、v /dt a ； (2)dr /dt v；(3)d s/dt v； (4)d v /dt a 下述判断正确的是 ()(A) 只有 (1) 、 (4)是对的(B) 只有 (2)、 (4) 是对的(C) 只有 (2)是对的(D) 只有 (3) 是对的分析与解dv 表示切向加速度 a ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速dtdr 在极坐标系中表示径向速率度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；vr(如题 1-2 所dt述 )； ds 在自然坐标系中表示质点的速率v；而 dv 表示加速度的大小而不是切向加速度adtdt 因此只有 (3)式表达是正确的故选 (D) 1 -4 一个质点在做圆

5、周运动时 ,则有 ()(A) 切向加速度一定改变 ,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变 ,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变 ,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变 ,法向加速度不变分析与解加速度的切向分量 a起改变速度大小的作用,而法向分量 na 起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变, 相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于a 是否改变 ,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时 , a恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a为一不为零的恒量 ,当 a 改变时 ,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选 (B) 1

6、-7 已知质点沿 x轴作直线运动 ,其运动方程为x2 6t 22t3,式中 x 的单位为 m,t的单位为 s求：(1) 质点在运动开始后 4.0 s内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t 4 s时质点的速度和加速度分析 位移和路程是两个完全不同的概念 只有当质点作直线运动且运动方向不改变时位移的大小才会与路程相等质点在 t 时间内的位移 x 的大小可直接由运动方程得到：,x xt x0 ,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时 ,位移的大小和路程就不同了为此,需根据 dx0 来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出 0 tp 和dttp t 内的

7、位移大小x1 、 x2,则 t 时间内的路程 sx1x2 ,如图所示 ,至于 t 4.0 s 时质点速度和加速度可用dx和d 2x两式计算dtdt2题1-5图解(1) 质点在 4.0 s内位移的大小xx4x032 mdx0(2) 由dt得知质点的换向时刻为t p2 s (t 0不合题意 )则x1x2x08.0 mx2x4x240 m所以 ,质点在 4.0 s时间间隔内的路程为sx1x248 m(3) t4.0 s时vdx48 m sdt t4.0sad2 x36 m.sdt 2t4.0 s121 -8已知质点的运动方程为r2ti(2t 2 ) j ,式中 r 的单位为 m,t 的单位为求：(1

8、) 质点的运动轨迹；(2) t 0 及 t 2时 ,质点的位矢；(3) 由 t 0 到 t 2内质点的位移 r 和径向增量 r；分析质点的轨迹方程为y f(x), 可由运动方程的两个分量式x(t)和 y(t)中消去 t 即可得到对于 r、r 、r、s 来说 ,物理含义不同,(详见题 1-1分析 ).解(1) 由 x(t) 和y(t)中消去 t 后得质点轨迹方程为y21 x24这是一个抛物线方程,轨迹如图 (a)所示(2) 将 t 0和 t 2分别代入运动方程 ,可得相应位矢分别为r02 j,r24i2 j图 (a)中的 P、Q 两点 ,即为 t 0和 t 2时质点所在位置(3) 由位移表达式

9、,得rr2r1(x2x0 )i ( y2y0 ) j4i 2 j其中位移大小r( x)2(y)25.66 m而径向增量 rrr2r0x22y22x02y022.47 m题 1-6图1 -9质点的运动方程为x10t30t 2y15t20t 2式中 x,y 的单位为 m, t 的单位为试求： (1)初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解(1)速度的分量式为dx1060tv xdtv ydy1540tdt当 t 0时, v0 x -10 m · -1 , v0y 15 m ·

10、-1 ,则初速度大小为v02218.0 m s 1v0 xv0 y设 v0与 x 轴的夹角为 ,则tan v0 y3v0 x2123 ° 41(2) 加速度的分量式为axdv x60 m s2aydv y40 m s2dt,dt则加速度的大小为aax2ay272.1 m s 2设 a 与x 轴的夹角为 ,则tan ay2ax3 -33° 41或(326 ° 19)1 -11 质点沿直线运动 ,加速度 a 4-t2 ,式中 a的单位为 m· -2,t的单位为 如果当 t3时 ,x 9 m,v 2 m · -1 ,求质点的运动方程分析 本题属于运动

11、学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下dv和 vdxadt 和 dxvdt 如 a a(t)或 v v(t),则可用积分方法解决 由 a可得 dvdtdt两边直接积分如果a 或 v不是时间 t的显函数 ,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知 ,应有vtdadtv 0v0得v4t1 t 3v0(1)3xdxt由x0vdt0得x2t 21 t 4v0tx0(2)12将 t 3时 ,x 9 m,v 2 m· -1代入 (1)、 (2) 得v0 -1 m · -1 ,x0 0.75 m于是可得质点运动方程为x2t 21 t 40.75

12、121 -20 一半径为 0.50 m的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比在t 2.0 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m ·-1求： (1)该轮在 t 0.5的角速度 ,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在 2.0内所转过的角度分析 首先应该确定角速度的函数关系 kt2依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,(t)确定后 ,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移解因 R v,由题意 t2 得比例系数kv2 rad s 3

13、t 2Rt2所以 (t )2t 2则 t 0.5 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为 2t 20.5 rad s 1 d 4t2.0 rad s 2dtatR1.0 m s 2总加速度aanaRe 2RenttaR 221.01 m s 22R在 2.0内该点所转过的角度 0222dt2 t3025.33 raddt02t031 -21 一质点在半径为 0.10m的圆周上运动 ,其角位置为 24t 3 ,式中 的单位为rad,t 的单位为 (1)求在 t2.0时质点的法向加速度和切向加速度(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时, 值为多少？(3) t为多少时 ,法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到解(1) 由于