小学奥数知识系列之 - 扑克牌中的数学游戏-

1、小学奥数知识系列之-扑克牌中的数学游戏有一种叫“24点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家,深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉,把A、J、Q、K分别看作1点,11点、12点、13点,或者将它们均看1点,其余牌面是几点,就是几点。玩的规则不尽相同,其中有一种方法是:(1四个人每人抓到13张牌,每人每次从手中任意抽取一张牌。(2参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行+、-、×、÷、(运算,使结果为24。(3谁先列出,谁就得1分,牌入底;若四人均无法列出,则无人得分,牌也入底。(4再次每人任意抽取一张牌,再次按(2(3规则进行。(5重复(2、(3、(4,直至每人手中13张

2、牌全部用完为一局,得分多者为胜。例如,抽出的四张牌为3、4、7、11,可以这样计算:(7-4×(11-3=3×8=24,或(7+11÷3×4=18÷3×4=6×4=24这是一种非常有趣的游戏,下面我们一起来试一试:例1 抽出下面四组牌:(A,J,Q,K分别为1点,11点,12点,13点(12,3,4,5 (23,4,5,10(3K,7,9,5 (4J,6,Q,5你能算出24点吗?分别:要想比赛获胜,必须有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得,如2×12=24,4×6=24,3×8

3、=24,18+6=24,30-6=24这样就可以把问题转化成怎样使用4个数,凑出两个数的问题,其中有一点值得大家注意,就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。解:(1依据2×12=24,可得2×(3+4+5=24,(2依据3×8=12,可得3×(10÷5×4=24,(3依据4×6=24,可得(13-7×(9-5=24,(4依据18+6=24,可得(11-5+(6+12=24说明:上面各题的解法并不一定是唯一的,如依据4×6=24,也可得第(2组为4×(10×3÷5=24,可是,

4、就因为这样,才非常激烈、刺激。例2 如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“19”中的同一数字的牌,请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”?怎样算?分析:四人抽出同一数字的牌有9种情况,4个1,4个3,4个44个8,4个9,现在的问题转化为如何使四个相同的数字(19中的一个填加运算符号,得“24”的问题。由于4个数字相同,用乘法关系最后求得“24”就不太容易,应考虑+、-关系,27-3= 24,25-1=24,20+4=24,12+12=24经过尝试,我们发现,4个1,4个2,由于数太小,无法算出“24”,而4个7,4个8,4个9由于太大,也无法算出。其余可以实现。解:依据27-3=24 ,可得3

5、15;3×3-3=24,依据20+4=24 ,可得4×4+4+4=24,依据25-1=24 ,可得5×5-5÷5=24,依据12+12=24 ,可得(6+6+(6+6=24,说明:有些不能算出24,可能是由于我们知识水平的限制,而并非真的不能,如请同学们想一想4个10,4个11,4个12,4个13你能求解吗?由上面的例子,我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题,下面我们就来研究。例3 填上适当的运算符号,使算式成立(14 4 4 4=5(24 4 4 4=6(34 4 4 4=7(44 4 4 4=8(54 4 4 4=9(64 4

6、4 4=10分析:(14 4 4 4=5,最后一个4前面是三个4,如可凑出1,1+4=5,如可凑出20,20÷4=5,4×4 +4=20,因此可求解。(24 4 4 4=6,最后一个4前面是三个4,如可凑出2,2+4=6;即(4+4÷4 =2,因此可求解。(34 4 4 4=7,前面两个4+4=8,后面两个4得1即可求解,4÷4=1刚刚好。(4和(6可利用(3的思路稍加变化就可以求解。(54 4 4 4=10,最后一个4,前面如是6,6+4=10可求解,但不易做到。如前面是40,40÷4=10也可以求解,44-4=40,数字连用在这类题目中是常

7、用的一种技巧。(题目中没有限制,当然是可以这样做的。解:(1(4×4+4÷ 4=5(2(4+4÷4+4=6(3(4+4-4÷4=7(4(4+4×4÷4=8(5(4+4+4÷4=9(6(44-4÷4=10说明:(1,(2,(6中的解题思路是一种倒推的方法,这是一种常用的,行之有效的方法同学们加以掌握。(4,(5中解题思路是依据数字的特点,这种方法,依赖于良好的数感,需要大家经过一段时间的训练才能获得。例4 不用(,且运算符号不超过三次,添在适当位置,使下面的算式成立。9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000分析:

8、不使用(,运算顺序只能从左往右,先×、÷后+、-;运算符号不超过三次,就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近1000,可选999,1000-999=1,后面6个 9要得到“1”,就很简单了999÷999,问题可求解;还可以用另一种方法接近1000, 9999÷9=1111,1111-1000=111,后面9999想办法等于111,999÷9=111,问题也可解出。解:999+999÷999=10009999÷9-999÷9=1000说明:先靠近所求数,再进行适当调整,这是一种非常行之有效的方法,在数字比较多

9、时常常用到。当然此题还有其它方法,同学们可以用上面的思路再试一试。例5 填入适当运算符号,使下式成立。9 8 7 6 5 4 3 2 1=1000分析:此题中91九个数字各不相同,位置固定,初看与前面的例题有很大不同,但是经仔细读题,认真分析,我们可以发现,做此题时,+、-、×、÷(均可使用,运算符号用多少次没有限制,数字可以连用,也可以分开,条件很宽松。由于1000数比较大,我们也采用例4中靠近结果,再凑较小数的方法解决。可以用987+6=993,再用5 4 3 2 1凑成7即可,这个方法就很多了。还可以取前边987和后边的21相加得1008,中间的6 5 4 3 凑成8

10、就行了。解:987+6+5-4+3×2×1=1000987+6+5+4-3+2-1=1000987+6+(5-4×(3×2+1=1000987+6+5+(4-3×2×1=1000987-(6-5+4+3+21=1000说明:此题还有许多解决,但不论哪种方法,都遵循先靠近结果,再凑较少数的原则,大家可以再想想,你还能想到什么方法?例6 在下列算式中合适的地方,填上括号,使算式成立。(14+5×6+8÷4-2=30(24+5×6+8÷4-2=39(34+5×6+8÷4-2=21(

11、44+5×6+8÷4-2=140分析:(1从最后一步逆推,减2前面的式子得32,还从后面入手,这就需要4+5×6 +8,填上适当的括号得128,尝试发现括号的填法有两种(4+5×6+8,4+5×(6+8,分别得128,74,因此括号的填法为(4+5×6+8 ÷4-2=30(2从最后一步逆推,减号前面的式子要得41,还从后面入手要求4+5×6+8=41×4这是无法实现的。从前面入手考虑,就应设法使5×6+8÷4-2=35,还从前面想这就需要6+8÷4-2=7,可从这样实现(6+

12、8÷(4-2。因此括号的填法为4+5×(6+8÷(4-2=39(3从后面减2前面的式子得23才能有解,可4+5×6+8÷4无论如何填加括号,都不可能现实。把4-2放在一个括号里等于2,i除号前面的式子就要得42,通过观察容易发现,4+5×6+8按顺序计算就可得42,所以此题括号的填法是(4+5×6+8÷(4-2 =21(4140比较大,应充分发挥“×”的作用,使“×”左右两侧的因数尽可能大,即(4×5×(6+8=280,再缩小2倍,就是所求结果,正好“÷”后面4-2

13、=2,所以此题括号的填法是(4×5×(6+8÷(4-2=140解:(1(4+5×6+8÷4-2=30(24+5×(6+8÷(4-2=39(3(4+5×6+8÷(4-2=21(4(4×5×(6+8÷(4-2=140说明:填括号时既可以用“(”,也可以根据需要用“”,从一端想起经过尝试,淘汰,最终可以找到解题方法。阅读材料数学符号的起源数学除了记数以外,还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚,但数量多得多。现在常用的200多个,初中数学书里

14、就不下20多种。他们都有一段有趣的经历。例如:(1加号曾经有好几种,现在通用“+”号。“+”号是由拉丁文“et”(“和”的意思演变而来的。也有人说,卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后,当把新酒灌入大桶的时候,就在“-”上加一竖,意思是把原线条勾销。这样就成了个“+”号。到了十五世纪,德国数学家魏德美正式确定:“+”用作加号,“-”号用作减号。(2乘号曾经用过十几种,现在通用两种。一个是“×”,最早是英国数学家奥屈特1631年提出的;一个是“”,最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为:“×”向拉丁字母“X”,加以反对,而赞成用“ ”号。到了十八世纪

15、,美国数学家欧德莱确定,把“×”作为乘号,他认为“×”是“+”斜起来写,是另一种表示增加的符号。(3“÷”最初作为减号,在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“:”表示除或比,另外有人用“-”(除线表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的代数学里,才根据群众创造,正式将“÷”作为除号。(4十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得:用两条平行而又相等的直线来表示两数量相等是最合适不过的了,于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。1591年,法国数学家韦达大量使用这个符号,才逐渐为人们接受

16、。练习题1.在“24”点游戏中提出了下面几组牌,你能很快求出“24”吗?(11,3,5,7 (22,5,7,9(31,3,9,10 (410,4,10,4(5K,Q,J,J (6Q,10,Q,1分析:(410×10=100是4的25倍,100-4=96,正好是4的24倍,所以可以这样做(10×10-4÷4=24(5K,Q,J,J即13,12,11,11,依据25-1=24可得13+12-11÷11=24(6Q,10,Q,1即12,10,12,1,依据12×2=24可得12×(12-10×1=24解:(1(5+7×(

17、3-1=24 (25×7-9-2=24(3(1+10×3-9=24 (4(10×10-4÷4=24(513+12-11÷11=24 (612×(12-10×1=242.在“24”点游戏中,抽出了下面两组牌,你能求出“24”吗?(13,3,7,7 (21,5,5,5分析:(1用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”,是否就没有办法了呢?当然不是,用乘法分配律的方法就可以求解(3+3÷7×7=3×7+3÷7×7=24(2用同样的方法求解(5-1÷5×5=5&#

18、215;5-1÷5×5=24解:(1(3+3÷7×7=24(2(5-1÷5×5=24说明:熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易,这里安排这两个题是为了开阔同学们的眼界,拓宽同学们的思路。3.抽的四张牌恰好是“19”中从大到小连续排列的四张,这样的牌能算出“24”吗?分析:符合要求的组合有六组:即9,8,7,6;8,7,6,5;6,5,4;6,5,4,3; 5,4,3,2;4,3,2,1不难发现它们均可求出24点。解:(1依据4×6=24得8÷(9-7×6=24(2依据2×12=24得(7+5&#

19、215;(8-6=24(3依据2×12=24得(5+7×(6-4=24(4依据4×6=24得2×(3+4+5=24(5依据4×6=24得1×2×3×4=24说明:这个例子告诉我们不论从大到小,还是从小到大,连续取“19”中任意四个数均可凑成“24”。4.添上适当的运算符号,使算式成立。(16 6 6 6=1 (26 6 6 6=2(36 6 6 6=3 (46 6 6 6=4(56 6 6 6=5 (66 6 6 6=6分析:(1根据A÷A=1,可得许多种解,如(6+6÷(6+6=1或(6

20、15;6÷(6×6 =1(2根据1+1=2,可得6÷6+6÷6=2(3根据18÷6=3,可得(6+6+6÷6=3(4根据6-2=4,可得6-(6+6÷6=4(5根据30÷6=5,可得(6×6-6=5(6根据0+6=6,可得6×(6-6+6=6或(6-6×6+6=0解:(1(6+6÷(6+6=1 (2(6÷6+(6÷6=2(3(6+6+6÷6=3 (46-(6+6÷6=4(5(6×6-6÷6=5 (6(6-6×

21、;6+6=05.用7个7组成4个数,并使运算结果为1007,7,7,7,7,7,7=100分析:首先要使一部分接近100,777÷7=111,111-100=11,后面的777凑成11就可以了77÷7=11,所以可以这样解:777÷7-77÷7=1006.在9个9之间填适当的运算符号,使下面算式成立。9 9 9 9 9 9 9 9 9=2008分析:先要想办法使一部分靠近“2000”,999+999=1998,2008-1998=10,后面的三个9凑成10即可。解:999+999+9÷9+9=2008说明:前六个数也可以用其他方法求得1998,

22、如999×(9+9÷9=1998这种题目往往不只一种解法。7.填上适当的运算符号,使算式成立。9 8 7 6 5 4 3 2 1=2007分析:结果较大,先用一部分凑出与2007相接近的数,即654×3=1962而2007-1962 =45,现在我们要办法使9,8,7,2,1凑成45,而45-21=24,9+8+7=24。解:9+8+7+654×3+21=20078.在1115之间,选择恰当位置,填上适合的运算符号,使算式结果为100。11 12 13 14 15=100分析:原题的意思是使下式成立:1 1 12 13 14 15 =100取121靠近1

23、00,11+121-31=101,415凑成“1”即可有解,(4+1÷5=1。还可以取111靠近100,111-21=90,3 1 4 1 5 凑成10即可有解,3-1+4-1+5=10此题还有许多方法,请同学们自己试一试。解:11+121-31-(4+1÷5=100或111-21+3-1+4-1 +5=1009.现有的牌为110,请从中选牌,每张牌只用一次,使下列“24”点游戏成立。(1+×6+11=24(2(+5×2+=24(3(×10-÷4+11=24(4×3-÷2=24(5×5-4÷4=24(613+×3-10=24分析:观察这六个算式,我们发现(5,(6很好确定所选牌是5和7。再观察余下的四个算式,(4×3-÷2=24,×3>24,可取9,10,取10时,÷2的方块在110中无值可取,所以×3只能取9,另一个中可以取6。再来观察(3(×10-÷4=24 24×4=96,所以×10-=96,×10100, 110中,只能取10,另一个方中就只能取4。接下来看(1+×6+11=24,24-11=13,+×6=13,×6<