(完整版)第二章导数与微分部分考研真题及解答

1、第二章 导数与微分2.1 导数的概念01.1)设 f(0)=0 ，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为（ B ）（A ） lim 1 f (1cosh)存在（ B ） lim1 f (1eh ) 存在h 0 hh 0 h1sinh) 存在（ D ） lim1f (h) 存在（C） lim f ( h f (2h)h 0 hh 0 hf ( x)03.3) 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且f (0)存在，则函数g( x)x(A)在 x=0 处左极限不存在 .(B)有跳跃间断点 x=0.(C)在 x=0 处右极限不存在 .(D)有可去间断点 x=0. D 03.4) 设函数 f (x)x

2、31(x) ，其中( x) 在 x=1 处连续，则 (1) 0是 f(x)在 x=1 处可导的A(A) 充分必要条件 .（ B）必要但非充分条件 .(C) 充分但非必要条件.(D) 既非充分也非必要条件.05.12)设函数 f (x)lim n 13 n,) 内 C x，则 f(x)在 (n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点 .05.34)以下四个命题中，正确的是C(A)若 f( x) 在（ 0，1）内连续，则f(x) 在（ 0， 1）内有界 .(B)若 f ( x) 在（ 0， 1）内连续，则f(x)在（ 0， 1）内有界 .(C)

3、若 f(x) 在（ 0，1）内有界，则f(x) 在（ 0， 1）内有界 .(D)若 f ( x) 在（ 0， 1）内有界，则f ( x) 在（ 0， 1）内有界 .(取 f(x)=1 ， f ( x)x 反例排除 )xf xfh2106.34)设函数在 x=0 处连续 ,且lim2,则（C）n0h(A)f00且f '0存在 (B)f01且 f ' 0存在(C)f00且f '0存在(D)f 01且 f'0存在07.1234)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是：（ D）（反例： f ( x)x ）(A)若 limf ( x) 存在，则 f(0)=0

4、.(B)若 limf ( x)f (x) 存在，则 f(0)=0.x0xx0x(C)若 limf ( x) 存在，则 f(0)存在 .(D)若 limf (x)f (x) 存在，则 f (0) 存在x0xx0x04.2)设函数 f (x) 在（,）上有定义 , 在区间 0,2上 ,f ( x)x( x24) , 若对任意的 x 都满足 f ( x)k f(x2) , 其中 k 为常数 .( ) 写出 f ( x) 在 2, 0上的表达式 ; ( ) 问 k 为何值时 , f ( x) 在 x0处可导 .【详解 】( ) 当 2 x0 , 即 0 x2 2时,f ( x)k f ( x2)k(x

5、2)( x2)24kx (x 2)( x4).( ) 由题设知f (0) 0.f(0)limf (x)f (0)lim x(x24)4x 0x0x0xf(0)limf (x)f (0)limkx( x2)( x4)8k .x 0x0x0x令 f (0)f(0) , 得 k1即当 k1时 ,f ( x) 在 x0处可导 .222.2 导数的运算法则06.2)设函数 g ( x)可微 , h(x)e1g( x) ,h (1)1, g (1) 2, 则 g(1)等于 C（A） ln31（B ）ln31（C）ln21（D ） ln2103.3)已知曲线 yx 33a 2 xb 与 x 轴相切，则 b

6、2 可以通过 a 表示为 b 24a6 .03.3)设 f (x)xcos 1 ,若 x0,其导函数在 x=0 处连续，则的取值范围是2 .0,x 若 x0,04.1)曲线 y=ln x 上与直线 xy1垂直的切线方程为yx1 .04.4)设 yarctan exlne2 x1，则 dye2 xdx05.2)设 y(1 sin x) x ，则 dyx=dxe1x 1e2.1.09 农）设 f ( x) ln(4 xcos2 2x) ，则 f ( ) =48110.2) 已知一个长方形的长l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加，则当l12cm ， w5cm 时，它的对角

7、线增加速率为3cm/s2.3 高阶导数06.34) 设函数f ( x)在 x2 的某领域内可导, 且 fxe f x, f21 , 则 f 2 2e3（复合求高阶导）07.234)设函数 y1, 则 y( n) (0) =1 ( 1)n n!( 2)n .2x33310.2)函数 yln(1 2x) 在 x0 处的 n 阶导数 y( n) (0)2n ( n1)!2.4 隐函数导数由参数方程确定的函数的导数01.2) 设函数 yf ( x) 由方程 e2 x ycos(xy)e 1 所确定，则曲线yf ( x) 在点 (0,1) 处的法线方程为x2 y2003.2)设函数 y=f(x)由方程

8、xy2 ln xy 4 所确定，则曲线y=f(x)在点 (1,1) 处的切线方程是x-y=0.08.1)曲线 sinxyln( yx)x 在点 (0,1) 处的切线方程是yx102.1)已知函数 yy( x) 由方程 ey6xyx21 0 确定，则 y (0)-2209.2)设 yy( x) 是方程 xyeyx1确定的隐函数，则dy2|x0 =-3dx06.2)设函数 yy(x)由方程 y1xey 确定，则 dyedx x 002.2)已知曲线的极坐标方程是r1cos ，求曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程 .07.2)曲线xcostcos2 t , 上对应于 t4的点处的法线斜率为1

9、2.y1sin tx12t 2 ,d2y.03.2)设函数 y=y(x)由参数方程u(t1) 所确定，求y1 2 ln t edx21udux 9【详解 】由 dye1 2ln t212et， dx4t ，dt12 ln t t2 ln tdtdydy2ete得dt12 ln t,dxdx4t2(12 ln t )dt所以d 2 yd ( dy ) 1= e(112 1dx2dtdxdx22 ln t )2t4tdt=e2 .4t2(12ln t)当 x=9 时，由 x12t 2 及 t>1 得 t=2, 故d 2 yee2 .dx2x 94t2(12 ln t )2t216(12 ln

10、 2)07.2)已知函数 f(u)具有二阶导数，且f(0)1，函数 y=y(x)由方程 yxey 11 所确定，设 zf (ln ysin x) ，求 dz,d 2 z0 .dx x0dx2x【详解 】 dzf(lnysinx)( ycos )，dxyxd 2zf( ycos x)2f( y yy 2sin x)dx2yy 2在 yxey 11 中 , 令 x= 0得 y=1 .而由 yxey11两边对 x 求导得yey 1xey1 y0再对 x 求导得yey1 yey 1 yxe y 1 y 2xey 1 y0将 x=0, y=1 代入上面两式得y (0)1, y (0)2.故dzx 0 f

11、 (0)(00)0,dxd2 zf(0)(21)1.dx2x 010.2)设函数 yf ( x) 由参数方程x2tt 2， (t1) 所确定，其中(t) 具有 2 阶导数，y(t )且 (1) 5,(1) 6, 已知 d 2 y3，求函数 (t ) .2dx24(1t)2.5 微分及其应用02.2)设函数 f (u) 可导， yf ( x2 ) 当自变量 x 在 x1 处取增量 x0.1时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则 f (1)（ D）（A ） -1.（ B）0.1.（ C）1.（D ） 0.5.06.1234)设函数 yf (x) 具有二阶导数， 且 f (x)0, f ( x

12、)0 ， x 为自变量 x 在 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若x0 ，则 A (A) 0dyy.（B） 0ydy.(C)ydy0.（D ） dyy0.弹性07.34)设某商品的需求函数为Q 1602P ，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ D ）(A)10.(B) 20.(C) 30.(D) 40.01.34)设生产函数为 QAL K , 其中 Q 是产出量， L 是劳动投入量， K 是资本投入量， 而A,均为大于零的参数，则当Q1时 K 关于 L 的弹性为09.3)设某产品的需求函数为

13、Q=Q(P) ，其对应价格P 的弹性=0.2，则当需求量为1000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加12000元10.3) 设某商品的收益函数为R( p) ，收益弹性为 1p3 ，其中p 为价格，且 R(1)1 ，则p 3 1R( p)pe 32 p20.02.4)设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减少函数： Q Q( p), 其需求弹性p2192（1）设 R 为总收益函数，证明dRQ (1) .（2）求 p6 时，总收益对价格的弹性，并dp说明其经济意义 .04.34)设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格 P(0 , 20)，Q 为需求量 .(I) 求需求量对价格的弹性Ed ( Ed > 0) ；(II)推导 dRQ(1 Ed ) ( 其中