(完整版)数列题型全归纳(附知识点)

1、数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第n 项（也叫通项）记作an ；数列的一般形式：a1 ， a2 ， a3 ，an ，简记作an。例：判断下列各组元素能否构成数列（ 1） a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。（ 2）通项公式的定义：如果数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如： 1 ，2 ，3 ，4， 5，1111：1，2

2、345an =n （ n7， nN数列的通项公式是），数列的通项公式是an =1 （ nN ）。n说明： an 表示数列， an 表示数列中的第n 项， an =fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， an = (n1,n2k 11) =(k Z) ；1,n2k不是每个数列都有通项公式。例如，1， 1.4 ，1.41， 1.414 ，（ 3）数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f (n) 当自变量n

3、从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值f (1), f (2), f (3),，f (n) ，通常用an 来代替fn ，其图象是一群孤立点。例：画出数列an2n1 的图像.（ 4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（ 1）1， 2， 3，4， 5， 6，(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,（ 5）数列 an 的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系

4、： anS1(n1)SnSn 1 (n 2)例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n 23 ，求数列 an 的通项公式练习：1根据数列前4 项，写出它的通项公式：（ 1） 1， 3， 5，7；（2） 221， 321， 421， 521 ；2345（ 3）1，1，1，1 。1*22*33*44*5（ 4） 9， 99， 999， 9999 （ 5） 7， 77， 777， 7777，(6)8, 88, 888, 88882数列 an 中，已知 ann2n 1 (n N )3（ 1）写出 a1, ， a2 ， a3 ， an 1 ， an 2 ；（ 2） 79 2 是否是数列中的项？若是，是

5、第几项？33（ 2003 京春理 14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 . 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（ 1）（ 4）（ 7）（）（）5. 观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.A40个B45个 C50个 D55 个2 条直线相3 条直线相4 条直线相交，最多有 1交，最多有 3交，最多有 6个交点个交点个交点二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个

6、数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为anan 1d (n 2) 或 an 1and (n 1) 。例：等差数列 an2n1 ， anan 1题型二 、等差数列的通项公式：ana1(n 1)d ；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0 为递增数列， d0 为常数列， d0为递减数列。例： 1.已知等差数列an中， a7a916， a41，则 a12等于（）A15 B 30 C 31 D 642. an 是首项a1，公差d3的等差数列，如果an2005，则序号 n 等于

7、1（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 6703.等差数列 an2n1,bn2n1 ，则 an 为bn 为（填“递增数列”或“递减数列” ）题型三 、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中Aa b2aba ， A ， b 成等差数列A即： 2an 1an an 2（ 2anan m an m ）2例：1（ 06全国 I ）设 a是公差为正数的等差数列，若 a1a2a3 15 ，a1a2 a380 ，则 a11a12a13n（）A 120B 105C 90D 752. 设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项的

8、和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A 1B.2C.4D.8题型四 、等差数列的性质：（ 1）在等差数列 an 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（ 2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（ 3）在等差数列an中，对任意 m ， nN， anam( nm)d ， danam(mn) ；nm（ 4）在等差数列an中，若 m ， n ， p ， qN 且 mn pq ，则 aman a paq ；题型五 、等差数列的前n 和的求和公式： Snn(a1an )na1n(n 1) d1 n2（ a1d ） n 。2222( Sn An 2Bn( A, B

9、为常数 )an是等差数列 )递推公式：Sn(a1 an )n(aman ( m 1) ) n22例： 1. 如果等差数列an 中， a3 a4a512 ，那么 a1 a2 .a7（A）14（B）21（ C）28（D）352. （ 2009 湖南卷文）设Sn 是等差数列an的前 n 项和，已知 a23 ， a611，则 S7 等于 ( )A 13B 35C 49D 633.（ 2009全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S972 , 则 a2 a4 a9 =4.（ 2010重庆文）（ 2）在等差数列an中， a1a910 ，则 a5 的值为（）（A）5（B） 6（C）8（D）

10、105.若一个等差数列前3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，若 S1221，则 a2 a5a8 a117.（ 2009全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 a55a3 则S9S58（ 98 全国）已知数列bn是等差数列，b1=1，1+2+ + 10=100.bbb（）求数列bn的通项 bn；9. 已知 an数列是等差数列，a1010 ，其前 10 项的和 S1070 ，则其公差 d 等于 ( )21C.12AB3D.33310. （ 2

11、009陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为 sn , 若 a6s3 12 , 则 an11（ 00 全国）设 an为等差数列， Sn 为数列 an的前 n 项和，已知 S7 7，S15 75，Tn 为数列 Sn n的前 n 项和，求 Tn。12. 等差数列an 的前 n 项和记为 Sn ，已知 a1030， a2050求通项 an ；若 Sn =242，求 n13. 在等差数列 an 中，（1）已知 S848, S12 168, 求 a1和 d ；（ 2）已知 a6 10, S55, 求 a8和 S8 ；(3) 已知 a3 a15 40, 求 S17题型六 . 对于一个等差数列：（ 1）若

12、项数为偶数，设共有2n 项，则 S 偶S 奇 nd ； S奇an；S偶an 1（ 2）若项数为奇数，设共有2n1项，则 S 奇 S 偶 an a中 ； S奇n。S偶n1题型七 . 对与一个等差数列，Sn , S2n Sn , S3nS2n 仍成等差数列。例： 1. 等差数列 a 的前 m项和为30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（）nA.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为。3已知等差数列an 的前 10 项和为 100，前 100 项和为10，则前110 项和为4. 设 Sn 为等差数列an的

13、前 n 项和， S414， S10 S730，则 S9 =5（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 S3 1 ，则 S6 S6 3S12A 3B 1C 1D 110389题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1and(常数）（ nN ）an是等差数列中项法：2an 1anan 2（ n N)an 是等差数列通项公式法：ankn b(k ,b为常数 )an是等差数列前 n 项和公式法：SnAn 2Bn( A, B为常数 )an是等差数列例： 1.已知数列 an 满足 an an 12 ，则数列 an 为 （）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差

14、数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列 an 的通项为 an2n5 ，则数列 an 为 （）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n 24 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n2 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列 an 满足 an2 2an 1 an 0 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数

15、列D.无法判断6. 数列 an 满足 a1 =8， a42，且 an 2 2a n 1 an 0 （ nN ）求数列 an的通项公式；7（ 01 天津理， 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且Sn=n2，则 an 是（）A. 等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九 .数列最值（ 1） a10 ， d 0 时， Sn 有最大值； a10 ， d 0时， Sn 有最小值；（ 2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函数Snan2bn 的最值；可用二次函数最值的求法（n N）；或者求出an

16、中的正、负分界项，即：若已知 an ，则 Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0an0an 10或。an 10例： 1等差数列an中， a10，S9S12 ，则前项的和最大。2设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，已知a312， S120， S130求出公差 d 的范围，指出 S1， S2， ， S12 中哪一个值最大，并说明理由。3（ 02 上海）设 an（ n N* ）是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且S5 S6， S6 S7 S8，则下列结论错误 的是（）A. d 0B. a 0C.S SD.S 与 S 均为 S 的最大值79567n4已知数列an 的通项 n98 （

17、 nN ），则数列an 的前 30 项中最大项和最小项分别是n995. 已知 an 是等差数列，其中 a131，公差 d8。（ 1）数列 an 从哪一项开始小于0？（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值，并求出对应n 的值6. 已知 an 是各项不为零的等差数列，其中a10 ，公差 d0 ，若 S100 , 求数列 an 前 n 项和的最大值7. 在等差数列 an 中， a125 ， S17S9 ，求 Sn 的最大值题型十 . 利用 anS1( n1)SnSn 1(n求通项2)1. 数列 an 的前 n 项和 Snn21（ 1）试写出数列的前5 项；（ 2）数列 an 是等差数列吗？（3）

18、你能写出数列 an 的通项公式吗？2已知数列an的前 n 项和 Snn2则4n 1，3. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；4. 已知数列 a中，前 n 和1nSn(n 1)( an 1) 1a1 3，2求证：数列an是等差数列求数列an 的通项公式5. （ 2010 安徽文）设数列 an 的前n项和 Sn2，则a8的值为（）n（ A） 15(B) 16(C)49（D） 64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示 ( q0) ，

19、即： an 1 ： an q(q 0) 。一、递推关系与通项公式递推关系： an 1 an q通项公式： ana1 qn 1推广： anamq n m1 在等比数列an 中 , a14, q2 ，则 an2 在等比数列an 中 , a712,q3 2 , 则 a19_.3. （ 07 重庆文）在等比数列 an 中， a2 8， a164，则公比 q 为（）（A）2（B）3（C）4（ D）84.在等比数列an中， a22 ， a5 54 ，则 a8 =5. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a13 ，前三项和为21，则 a3a4 a5 （）A33 B72 C84 D189二、等比中项：若

20、三个数a, b, c 成等比数列，则称b 为 a与 c 的等比中项，且为bac，注： b2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.23 和 23 的等比中项为 ()( A)1( B)1(C )1(D)22. （ 2009 重庆卷文）设an是公差不为0 的等差数列， a1 2且 a1, a3 , a6 成等比数列，则an 的前 n 项和 Sn =（）A n27nB n25nC n23nD n2n443324三、等比数列的基本性质，1. （ 1） 若 m n pq，则 am ana p aq (其中 m, n, p, q N )（ 2） qn man ， an 2an m an m ( n N

21、 )am（ 3） an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（ 4） an既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列 .例： 1在等比数列an中 , a1 和 a10 是方程 2 x25x 10 的两个根 , 则 a4 a7 ( )( A)52(C )112( B)2( D )222. 在等比数列an，已知 a15 ， a9 a10100 ，则 a18 =3. 在等比数列an中， a1 a633， a3 a432， anan 1求 an若 Tn lg a1lg a2lg an ,求 Tn4. 等比数列 an 的各项为正数，且a5 a6 a4a718,则 log 3 a1 lo

22、g 3 a2L log 3 a10 （）A12B10 C 8D 2+ log 3 55（. 2009 广东卷理）已知等比数列 an 满足 an0, n1,2,L ，且 a5a2 n 522n (n3) ，则当 n1时， log 2 a1log2 a3Llog 2 a2n1（）A. n(2 n1)B.(n1)2C.n2D.(n1)22. 前 n 项和公式na1(q1)Sna1 (1qn )a1an q( q1)1q1q例： 1.已知等比数列 an 的首相 a15 ，公比2.已知等比数列 an 的首相 a15 ，公比和 Snq 2 ，则其前 n 项和 Sn1q，当项数n 趋近与无穷大时，其前n 项

23、23. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已 a26, 6a1a3 30 ，求 an 和 Sn4（ 2006 年北京卷）设 f (n) 2 2427210 L23n 10 (n N ) ，则 f (n) 等于（）A 2 (8n 1)B 2 (8n 1 1)C 2 (8n 31)D 2 (8n 4 1)77775（ 1996 全国文， 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3S6 2S9，求数列的公比q；6设等比数列 an 的公比为q，前n 项和为Sn，若 Sn+1,S n， Sn+2 成等差数列，则q的值为.3. 若数列 an 是等比数列， Sn 是其前 n 项的和，

24、kN *，那么 Sk ， S2kSk ， S3kS2k 成等比数列 .如下图所示：S3 ka1 a2a3akak 1a2ka2k 1a3kS kS2 k SkS3 kS2 kS6S9例： 1.（ 2009 辽宁卷理）设等比数列an 的前 n项和为 Sn ，若S3=3 ，则S=678A. 2B.3C.3D.32.一个等比数列前n 项的和为 48，前 2 n 项的和为60，则前 3 n 项的和为（）A 83B 108C 75D 633.已知数列 an是等比数列，且Sm10， S2m30，则 S3m4. 等比数列的判定法（ 1）定义法： an1q（常数）an为等比数列；an（ 2）中项法： an2a

25、n an( an0)an 为等比数列；12（ 3）通项公式法：ank q n ( k, q为常数）an为等比数列；4Snk(1qn) （ k ,q为常数）an 为等比数列。（ ）前 n 项和法：Snkkqn （ k, q为常数）an为等比数列。例： 1.已知数列 an 的通项为 an2n ，则数列 an 为 （）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列 an 满足 an 12an an 2(an0) ，则数列 an 为 （）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列 an 的前n项和 s22n 1 ，则数列

26、an 为（）nA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5. 利用 anS1(n1)SnSn 1 (n求通项2)例： 1. （ 2005 北京卷）数列 a 的前 n 项和为 S，且 a =1，1an 1Sn， n=1， ， ，求a ，nn1323， 4 的值及数列 的通项公式a aan2. （ 2005 山东卷）已知数列an 的首项 a15, 前 n 项和为 Sn ，且 Sn 1Snn5(nN * ) ，证明数列an1 是等比数列四、求数列通项公式方法（ 1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 an 满足：a37, a5a726

27、，求 an ；2. 已知数列 an 满足 a12,anan 11(n1) ，求数列 an 的通项公式；3.数列 an 满足 a1 =8， a42，且 an 22an 1a n0 （ nN ），求数列an 的通项公式；11an 的通项公式；4. 已知数列 an 满足 a1 2,2 ，求数列an 1an5. 设数列 an 满足 a111，求 an 的通项公式0 且11 an 11 an6. 已知数列 an 满足 an 12an, a1 1 ，求数列 an 的通项公式。an27. 等比数列 an 的各项均为正数，且2a13a21， a3 29a2 a6 ，求数列 an 的通项公式8. 已知数列 an

28、 满足 a12, an3an 1 (n1) ，求数列 an 的通项公式；9. 已知数列 an 满足 a12， a24且 an 2 an2N ），求数列an 的通项公式；an 1 （ n10. 已知数列 an 满足且 an 1 5n 12(an 5n ) （n N），求数列an的通项公式；a1 2，11. 已知数列 an 满足 a12，且 an 152n 123(an52n2) （ nN ），求数列an 的通项公式；12. 数列已知数列an 满足 a11 , an 4an 1 1(n 1). 则数列an 的通项公式 =2（ 2）累加法1、累加法适用于： an 1anf ( n)a2a1f (1)

29、若 an 1 anf (n) (na3a2f (2)2) ，则LLan 1anf (n)n两边分别相加得an 1a1f (n)k1例： 1.已知数列 an 满足1, aa1，求数列 an 的通项公式。1n 1na4n2122. 已知数列 an 满足 an 1an2n1， a11，求数列 an 的通项公式。3. 已知数列 an 满足 an 1an23n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。4. 设数列 an 满足a1 2， aan3 2 2n 1，求数列 an 的通项公式n 1（ 3）累乘法适用于：an 1f ( n) an若an 1f (n) ，则a2a3f (2)，Lan1f ( n)a

30、na1f (1)，L ，a2anan1a1nf (k )两边分别相乘得，a1k 1例： 1.已知数列nn满足an 12( n 1)5 a ， a 3，求数列n的通项公式。an1 a 2.已知数列an 满足 a12n，求 an 。， an 1an3n 13.已知 a13， an 13n1 an (n 1) ，求 an 。3n2（ 4）待定系数法适用于 an 1qanf ( n)解题基本步骤：1、确定f (n)2、设等比数列an1 f (n) ，公比为3、列出关系式an 11 f (n1)2 an2 f (n)4、比较系数求1 ， 25、解得数列an1 f (n) 的通项公式6、解得数列an 的通

31、项公式例： 1. 已知数列 an 中， a11,an2an 11(n2) ，求数列an 的通项公式。2.（ 2006 ，重庆 ,文,14）在数列an中 ， 若a11,an 12an3(n1)，则该数列的通项an_（福建理22.本小题满分14分）已知数列an满足 a1,a2a1(n N* ). 求数列an3. 2006.1n 1n的通项公式；4.已知数列 an 满足 an 1 2an3 5n， a16 ，求数列 an的通项公式。解：设 an 1 x 5n 12( an x5n )5. 已知数列 an 满足 an 13an52n4， a11，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1y3(anx2ny)6.已知数列an 中， a15, an 11 an(1 )n 1 ，求 an6327. 已知数列 an 满足an 12an3n24n 5， a1 1，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1 x(n1)2y(n1)z 2(an xn2yn z)8. 已知数列 an 满足 an 12an4 3n 1， a11，求数列an 的通项公式。递推公式为an 2pa n 1qa n （其中 p， q 均为常数）。先把