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文档简介

1、§6 行列式按行（列）展开对于三阶行列式来说，容易验证：这样，三阶行列式的计算就归结为二阶行列式的计算。我们现在要利用行列式的性质来证明：（）阶行列式的计算总可以归结为较低阶的行列式的计算。我们将要得到的结论，不但能进一步简化行列式的计算，而且也具有重要的理论地位。首先引入余子式和代数余子式的概念。定义 在阶行列式中，将元素所在的第行与第列划去后，余下的阶行列式称为元素的余子式，记作. 若记，则称为元素的代数余子式。例如，在三阶行列式中，元素的余子式和代数余子式分别为 引理 一个阶行列式，若其中第行所有元素除外都是零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即证明 先证位于第1行第1列

2、的情形，此时又由于，于是.下证一般情形，此时为了利用前面的结果，将的行列作如下调换：先将的第行依次与第行、第行、第1行对调，这样，就调到原来的位置上，调换的次数为；再将第列依次与第列、第列、第1列对调，这样，就调到原来的位置上，调换的次数为. 总之，经过次调换，将调到左上角所得到的新行列式，而元素在中的余子式仍然是在中的余子式. 由于位于的左上角，于是利用前面的结果，应有所以定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 （）或 （）证明 由行列式的性质5可得 于是由定理1得 （）同样可按列证明得 （）定理3称为行列式按行按列展开法则，利用这一法则并结合行列式的性

3、质，可以简化行列式的计算。例1 计算行列式解 保留，把第3行其余元素变为0，再按第3行展开： 例2：计算下列行列式（未写出的元素都是0）解 按第1行展开，得 于是得到一个递推公式所以 例3 计算阶Vandermonde行列式解 从最后一行开始，后行减去前行的倍，得按第1列展开，并将每列的公因子提出，从而得到上式右端的行列式是一个阶Vandermonde行列式，于是得到一个递推公式从而有 例4 计算，其中解 定理3推论 行列式的某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 （）或 （）证明 将行列式按第行展开，得将上式中的（）换成，则当时，上式右端行列式中有两行元素完全相

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