《材料力学教学》my期末疑难

1、期末疑难. 基本假设基本假设小结小结单辉祖：材料力学2构件是由连续、均匀与各向构件是由连续、均匀与各向同性材料制成的可变形固体同性材料制成的可变形固体连续性假设：构件所占有的空间内处处充满物质构件所占有的空间内处处充满物质 （密实体）（密实体）均匀性假设：材料的力学性能与其在构件中的位置无关材料的力学性能与其在构件中的位置无关 （力学性能与位置无关）（力学性能与位置无关）各向同性假设：材料沿各个方向的力学性能相同材料沿各个方向的力学性能相同 （力学性能与受力方向无关）（力学性能与受力方向无关）.内力是连续分布力基本变形：轴向拉压，扭转，弯曲.轴力：1.拉力为正，压力为负2.变形后,横截面仍保持

2、平面,仍与杆轴垂直,仅沿杆轴相对平移 拉压平面假设拉压平面假设3.2045max 20cos 2sin20 00max 最大应力最大应力分析分析.材料拉伸试验：结构钢、低碳钢、硬铝为塑性材料；铸铁、陶瓷、工具钢为脆性滑移线滑移线滑移线滑移线.塑性材料：材料屈服时，试件表面出现与轴线约成45度的线纹（滑移线）；应力达至强度极限后，试件某一局部显著收缩，产生所谓缩颈；压缩时：越压越平脆性材料：拉伸时，断口垂直于试样轴线，断裂发生在最大应力作用面脆性材料耐压：压缩破坏形式为剪断，断口方位角约为5560度，由于存在较大切应力，断口光滑。.单辉祖：材料力学7应力集中因数nmax K max最大局部应力最

3、大局部应力 n 名义应力名义应力 )(ndbF 板厚板厚对于脆性材料构件，当对于脆性材料构件，当 max b 时，构件断时，构件断裂裂 对于塑性材料构件，当对于塑性材料构件，当 max达到达到 s 后再增加载荷，后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度分布趋于均匀化，不影响构件静强度.拉压杆轴向变形的基本公式AFN ll EA 杆截面的杆截面的 拉压刚度拉压刚度 l 伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 E 在比例极限内，拉压杆的轴向变形在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴，与轴力力 FN 及杆长及杆长 l 成正比，与乘积成正比，与乘积 EA 成反比成反比胡克定律.单辉祖：材料力

4、学9 横向变形与泊松比横向变形与泊松比拉压杆的横向变形bbb 1bb E 泊松比试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内， ，并异号并异号 泊松比泊松比 ) 5 . 00 ( E 横向变形横向变形横向正应变横向正应变.单辉祖：材料力学10 轴向拉压轴向拉压应变能应变能 线弹性杆线弹性杆的外力功的外力功 ddfW fW0d 2FW 线弹性拉压杆的外力功线弹性拉压杆的外力功EAlFlFW222N 线弹性杆的线弹性杆的拉压拉压应变能应变能EAlFWV22N f.单辉祖：材料力学11 拉压与剪切应变能密度拉压与剪切应变能密度2ddddyzxV 单位体积内应变能单位体积内应变能应变能密度应变能密

5、度Ev222 2ddddyzxV Gv222 拉压应变能密度剪切应变能密度zyxddd2 zyxddd2 .引起应力的非力学因素Tll T 1. 温度变化温度变化.min/rkWmN9549nPM 扭转 ：各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动圆轴扭转平面假设.单辉祖：材料力学14静力学方面静力学方面TAA d pddGITx d2p AAI xGdd pIT TAxGA ddd2 应力与变形公式应力与变形公式极惯性矩极惯性矩max pmaxWT RIWpp 抗扭截面系数抗扭截面系数RITITRpp 公式的适用范围：公式的适用范围：圆截面轴；圆截面轴；

6、 max p.RT202 d2000 RRT 202 R 薄壁圆轴：.单辉祖：材料力学16 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 d2d AAAId2p 空心圆截面44p132 DI 实心圆截面324pdI 43pp1162 DDIW163pdW Dd 2/2/2d2Dd .单辉祖：材料力学17 韧性材料与脆性材料扭转破坏时，韧性材料与脆性材料扭转破坏时，其试样断口有着明显的区别。韧性其试样断口有着明显的区别。韧性材料试样最后沿横截面剪断，断口材料试样最后沿横截面剪断，断口比较光滑、平整。比较光滑、平整。 铸铁试样扭转破坏时沿铸铁试样扭转破坏时沿45螺旋面断开，断口呈细小颗粒螺旋面断开

7、，断口呈细小颗粒状。状。 .单辉祖：材料力学18 圆轴合理强度设计圆轴合理强度设计1. 合理截面形状合理截面形状若若 Ro/ 过大过大将产生皱褶将产生皱褶空心截面比空心截面比实心截面好实心截面好2. 采用变截面轴与阶梯形轴采用变截面轴与阶梯形轴注意减缓注意减缓应力集中应力集中.单辉祖：材料力学19 圆轴扭转变形圆轴扭转变形pddGITx xxGIxTd)()(dp xxGIxTld)()( p pGITl 圆轴扭转变形一般公式GIp圆轴圆轴截面扭转刚度截面扭转刚度，简称简称扭转刚度扭转刚度常扭矩等截面圆轴 pd lxGIT .单辉祖：材料力学20 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件pddGITx

8、 maxp GIT圆轴扭转刚度条件 单位长度的许用扭转角单位长度的许用扭转角 注意单位换算注意单位换算:)/m( 180m/rad 1 一般传动轴，一般传动轴， = 0.5 1 ( )/m注意单位换算！注意单位换算！.单辉祖：材料力学21 矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴圆轴平面假设不适用于非圆截面轴试验现象 截面翘曲截面翘曲, 角点处角点处 为零为零, 侧面中点处侧面中点处 最大最大.单辉祖：材料力学22应力分布特点 横截面上角点处，切应力为零横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边截面周边 横截面周边长边中点处，

9、切应力最大横截面周边长边中点处，切应力最大021 0 21 故故0n 0 n 故故.单辉祖：材料力学23弹性力学解2tmaxhbTWT max1 3thbGTlGITl 系数系数 , , , , 表表长边中点长边中点 最大最大 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 0.141 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 1.000 0.930 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753

10、0.745 0.743 0.742 0.742 0.742 .单辉祖：材料力学24狭窄矩形截面扭转33 GhTl 2max3 hT h中心线总长中心线总长时时当当 10 h推广推广.单辉祖：材料力学25解：1. 闭口薄壁圆管闭口薄壁圆管RT202 闭闭 302RGTl 闭闭例 7-1 试试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设设 R020 例例 题题2. 开口薄壁圆管开口薄壁圆管202233 RThT 开开303233 GRTlGhTl 开开3. 抗扭性能比较抗扭性能比较6030 R闭闭开开1200320 R闭闭开开闭口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好闭口薄壁杆的

11、抗扭性能远比开口薄壁杆好.单辉祖：材料力学26 闭口薄壁杆扭转应力与变形闭口薄壁杆扭转应力与变形假设 切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线并平行于中心线切线0dd , 02211 xxFx 2211 常常数数 剪流剪流，代表中心线单位长度上的剪力，代表中心线单位长度上的剪力应力公式.单辉祖：材料力学27Tsd AsOABd22d s 2d T2 minmax2 T 与与截面中心线所围面积截面中心线所围面积W W 成反比成反比 max发生在壁厚最薄处发生在壁厚最薄处Tsd 常常数数 .单辉祖：材料力学28扭转变形tGITl W WsId42t 3oo22ot22)(4R

12、RRI 302RGTl对于等截面、常值扭矩薄壁圆管对于等截面、常值扭矩薄壁圆管：证明见后证明见后.单辉祖：材料力学29开口薄壁杆的扭转变形与应力313iniihGTl 31minmax3iniihT hi狭长矩形截面狭长矩形截面 i 的长度的长度 i狭长矩形截面狭长矩形截面 i 的厚度的厚度 max发生在最薄矩形截面边缘发生在最薄矩形截面边缘将整个开口薄壁杆，视为由若干狭长矩形截面杆组成将整个开口薄壁杆，视为由若干狭长矩形截面杆组成的组合杆的组合杆, , 按扭转静不定问题求解，得各组成部分的按扭转静不定问题求解，得各组成部分的应力与变形。应力与变形。 n狭长矩形截面的总数狭长矩形截面的总数.单

13、辉祖：材料力学30 正负正负符号规定符号规定 使微段沿顺时针方使微段沿顺时针方向转动的剪力为正向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹使微段弯曲呈凹形的弯矩为正形的弯矩为正使横截面顶部受使横截面顶部受压的弯矩为正压的弯矩为正剪力和弯矩.单辉祖：材料力学31 F FS S ，M M 与与 q q 间的间的微分关系微分关系(a) 0)d(d 0SSS FFxqF,Fy(b) 0d2ddd 0S MxFxxqMM,MCqxF ddSSddFxM qxM 22ddq 向上为正向上为正x 向右为正向右为正注意：注意：梁微分平衡方程.单辉祖：材料力学32均布载荷下 FS 与 M 图特点直线直线 2次凹曲线 2次凹曲

14、线 2次凸曲线 2次凸曲线qxF ddSSddFxM qxM 22dd 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与M 图图.刚性接头，既可传递力，又可传递弯矩特点：铰链传力不传力偶矩，特点：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受压一侧弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受压一侧弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续.单辉祖：材料力学34试验现象 横线为直线横线为直线, 仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短靠顶部纵线

15、缩短, 靠底部纵靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区纵线伸长区, ,截面宽度截面宽度减小减小 纵线缩短区纵线缩短区, 截面截面宽度宽度增大增大弯曲假设 横截面横截面变形后变形后保持平面，仍与纵线正交保持平面，仍与纵线正交弯曲平弯曲平面假设面假设 各纵向各纵向“纤维纤维”处于单向受力状态处于单向受力状态单向受力假单向受力假设设（纯弯与正弯矩作用）（纯弯与正弯矩作用）.单辉祖：材料力学35MAyEAd2 (a)(b) 0d AAy0dAAyyAC中性轴通过横截面形心(a)(c) AzAyI d 2zIMyy )( zEIM 1(d)(a)zIMymaxmax zWMmax 抗弯截面系数抗弯截面系数m

16、axyIWzz(a) yE (b) 0d AA (c) dMAyA (d)惯性矩惯性矩.单辉祖：材料力学36结论结论中性轴过截面形心中性轴过截面形心zEIM 1zIMyy )( 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（zEIzWM max 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（zW 正正应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率：)()(yEy 0d AA MAyAd pmax , 对称弯曲对称弯曲, 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯 惯性矩）惯性矩）（zI 应用条件：应用条件：总总 结结假设假设平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设分析方法分析方法 综合考虑三方面综合考虑三方面 yy

17、 )(. 截面弯曲刚度与抗弯截面系数截面弯曲刚度与抗弯截面系数 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲强度代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响的影响.单辉祖：材料力学38 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 AzAySd静矩惯性矩 niizzSS1 niizzII1 AzAyId24L3LCAy 截面对截面对z轴的轴的静矩静矩截面对截面对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩 niCiiyA1 AyAzSdCAz CiniiyzAS 1 AyAzId2 niiyyII1 212211AAyAyAyCCC .单辉祖：材料力学3

18、9 简单截面惯性矩简单截面惯性矩矩形截面maxyIWzz AzAyId2圆形截面AIAd2p zII2p 6424pdIIz 3226434dddWz ybyhhd2/2-2 123bh 62bh AzyAd)(22 yzIII p2123hbh .单辉祖：材料力学40 平行轴定理平行轴定理平行轴定理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz 任意直角坐标系任意直角坐标系 AzAyId22020d2dAaAyaAyIAAz 20AaIIzz AyIAzd200 同理得：同理得：20AbIIyy 0d 0 AAy AzAayId20二者平行二者平行的关系的关系与与建立建立 0zzII.单辉祖：

19、材料力学41bISFyzz)()(S xMbISyzzdd)()( xFbydd1)( zzIMSF)( yhyhbSz2212)( 22S4123)(hybhFy AFSmax23 123bhIz 2242yhb Sz( )面积面积 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩.单辉祖：材料力学42截面翘曲与非纯弯推广 切应变切应变非均布非均布 截面翘曲截面翘曲（abab（=，弯曲，弯曲 仍保持线性分布仍保持线性分布切应力非均布切应力非均布 当梁上作用横向分布载荷时，只要当梁上作用横向分布载荷时，只要 l 5h，纯弯纯弯 公式仍足够精确公式仍足够精确当当FS= =常数时，常数时，.单辉祖：材料力学43

20、盒形薄壁梁 2)()(S zzISFy )4(2)(61)(22220SyhhhbIFyz 假设假设 : : / 腹腹板侧边板侧边, 并沿并沿腹板厚度均布腹板厚度均布.单辉祖：材料力学44圆形截面梁dISFzz max,Smax 1232832max,dddSzAF34Smax 分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布.单辉祖：材料力学45 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁a与与c 点点处单向应力处单向应力b 点点处纯剪切处纯剪切.单辉祖：材料力学46薄壁截面梁c 与与

21、d 点点处单向应力处单向应力a 点点处纯剪切处纯剪切b 点点处处 与与 联合作用联合作用d.单辉祖：材料力学47 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的强度特性差异与脆性材料的强度特性差异tct yyc上下上下对称对称塑性塑性材料材料脆性脆性材料材料 注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性避免剪切破坏避免剪切破坏与局部失稳与局部失稳.单辉祖：材料力学48 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁)()( xWxM弯曲等强条件弯曲等强条件FxxM)(6)()(2x

22、bhxW6)( bFxxh)(2)(3S xbhxF123)(hbFxh FxF)(S等强度梁各横截面具有同样强度的梁剪切等强条件剪切等强条件.单辉祖：材料力学49 弯曲正应力分析弯曲正应力分析非对称弯曲双对称截面梁双对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲非对称截面梁非对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲.单辉祖：材料力学50弯曲正应力分析zzyyIyMIzM 矢量沿坐标轴正矢量沿坐标轴正向的弯矩向的弯矩M为正为正利用叠加法分利用叠加法分析内力与应力析内力与应力弯曲正应力沿横截面线性分布.单辉祖：材料力学51 中性轴与最大弯曲正应力中性轴与最大弯曲正应力0yzzyIyMIzMyz tanyzzyMMII0)

23、0 , 0( zzyyIyMIzM 中性轴为通过横截面形心的直线中性轴为通过横截面形心的直线中性轴位置与方位0zzyyIyMIzM中性轴的方位角为：中性轴的方位角为：yzzyMMII1tan .单辉祖：材料力学52 max 发生发生在离中性在离中性轴最远的轴最远的各点处各点处zzyy,WMWMmaxcmaxt zazyay,IyMIzMmaxcmaxt 矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：最大弯曲正应力.单辉祖：材料力学53 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程小变形时：小变形时：12 wEIxMxw)(dd22 EIxMxw)(dd22 EIxMww)(1

24、3/2 2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程pmax 小变形小变形 坐标轴坐标轴 w 向上向上应用条件：应用条件：EIxMxw)(dd22 坐标轴坐标轴 w 向下时向下时：.单辉祖：材料力学54 挠曲轴微分方程的积分与边界挠曲轴微分方程的积分与边界条件条件EIxMxw)(dd22 CxEIxMxwd)(ddDCxxxEIxMwdd)(约束处位移应满足的约束处位移应满足的条件条件梁段交接处位移应满足梁段交接处位移应满足的条件的条件位移边界条件位移边界条件位移连续条件位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数利用位移边界条件与连续条件确定积分常数.单辉祖：材料力学55F=qa例 3-3

25、 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状F=qa.单辉祖：材料力学56 叠加法叠加法方法方法qAFAAwww, 分解载荷分解载荷分别计算位移分别计算位移求位移之和求位移之和)( 8343 EIqlEIFl)( 33, EIFlwFA)( 8 4, EIqlwqA? Aw当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和叠加法适用条件叠加法适用条件：小变形小变形，比例极限内，比例极限内.单辉祖：材料力学57 逐段分析求和法逐段分析求和法 分解梁分解梁 分别计算各梁段的变形分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移在需求位移处引起的位移awB 1EIlFaaEIFalw3321 EIFaw332 21www )( )(32 alEIFa 求总位移求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余