离散型随机变量的期望与方差(同步)

1、同步课程.离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差知识回顾1 .离散型随机变量的期望公式是什么，它反映了什么?E(X)=XiPi+X2P2+111+XnPn,离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.2 .离散型随机变量的方差公式是什么，它反映了什么？D(X)=(XiE(x)2Pi(X2E(x)2P2川(XnE(x)2Pn离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度)3 .二项分布的的期望与方差分别是什么？若离散型随机变量X服从参数为n和P的二项分布，则E(X)=nP,D(X)=nPq(q=1p).知识讲解LJ离散型随机变量

2、的期望与方差1 .离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是Xi,X2,，Xn,这些值对应的概率是Pi,P2,，Pn,则E(X)=XiPi+X2P2犬|+XnPn,叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.2,离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是Xi,X2,Xn，这些值对应的概率是Pi,P2,Pn,则D(X)6Xi佳X2P+(X-Ex22(p+|l(|)+XnEX26叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的

3、平均波动的大小(离散程度)D(X)的算术平方根JD而叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量.3 .X,a,b为帛，则E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)；4 .典型分布的期望与方差：1/16MIIIIIIIIIIIIIIIIIOO(1)二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量同步课程.离散型随机变量的期望与方差X的期望取值为p,在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np.(2)二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)=np,D(x)=npq(q=1-p).(3)超几何分布：若离散型随机变量X服从

4、参数为N,M,n的超几何分布，则E(X)咀，D(X)=n(NU)(N-M)M.NN(N-1)题型一选择填空【例1】 下面说法中正确的是()A.离散型随机变量 £的期望B.离散型随机变量自的方差C.离散型随机变量 U的期望D.离散型随机变量 £的方差E(0)反映了 取值的概率的平均值D(之区映了 取值的平均水平E(£)反映了上取值的平均水平D(Z)反映了 £取值的概率的平均值【例2】投掷1枚骰子的点数为4则七的数学期望为()A.3B.3.5C.4D.4.5【例3】已知随机变量x的分布列为X123P0.40.20.4则D(X)等于()A.0B.0.8C.2D

5、.1【例4】随机变量£的分布列如下：-101Pabc1.其中a,b,c成等差数列，若E=.则D的值是32/16同步课程.离散型随机变量的期望与方差智康15U【例5】样本共有五个个体，其值分别为an12Q若该样本的均值为1,则样本方差为（）a,0,123【例6】某射手射击所得环数七的分布列如下匕78910Px0.10.3y已知M的期望E仁）=8.9，则y的值为题型二、综合题【例7】 编号1 2 3的三位学生随意入座编号为位编号相同的学生的个数是 X .求随机变量X的概率分布；1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座求随机变量X的数学期望和方差.OOOIIIIIIIIIIIIII

6、IIIOO3/16ll|IIIIIIIIIOO智康【例8】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（I）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（n）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）.【来源】（2011天津理）【例9】某校组织T海世博会”知识竞赛.已知学生答对第一题的概率是0.6,答对第二题的概率是0.5,并且他们回答问题相互之间没有影响.（I）求一名学生至少答对第一、二两题

7、中一题的概率；（n）记g为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求亡的分布列及数学期望官.【来源】（2011年丰台区期末理）miiiiiiiIIIIIIHIOO4/16IIOIIIIIIIIIIIIIIHIOO【例10】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是1,且面试是否合格互不影响.求签约人数的数学期望.2【例11】某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获

8、得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为2，科目B每次考试成绩合格的概率均为1.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为乙求的数学期望匚七.EE匕【来源】（2008福建）IIOIIIIIIIIIIIIIIIIIO05/16100H0IIIimn智康【例12】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数七的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元;分4期或5期付款，其利润为300元.。表示经销一件该商品的利润.

9、(1)求事件A:购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2) 求”的分布列及期望E”.【例13】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4,0.5,0.8,在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响.(1)求甲、乙、丙三人均达标的概率；(2)求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；(3)设X表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X的概率分布及数学期望EX.IlliHI川U6/16Uli|»口智康【例14】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10

10、元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1)X的概率分布；(2)X的期望.miiiiiiiIIIIIIHIOO7/16IIOIIIIIIIIIIIIIIHIOO同步课程.离散型随机变量的期望与方差【例15】AB两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，B队队员是A)BAi,A2,A3RRR,按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：B1,B2,B3对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A对Bi2313A2对B22535A对B32535现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队

11、、B队最后总分分别为之门.求之尸的期望.IIOIIIIIIIIIIIIIIIIIO08/16miiiiiiii111111111同步课程.离散型随机变量的期望与方差【例16下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.空气质昌一指数（I）求此人到达当日空气重度污染的概率；（n）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（m）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【来源】（2013北京高考）10 / 1

12、6、智诔1对同步课程.离散型随机变量的期望与方差智诔【例17】甲、乙两支排球队进行比赛同步课程.离散型随机变量的期望与方差：,约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是1外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是-，假设各局比赛结果相互独立.23(I)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；(II)若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分,对方得。分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.【来源】(2013山东卷理)随堂练习J【练1】某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下:现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙

13、两组中共抽取3名同学进行学业检测.(I)求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；(n)记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【来源】(2013西城一模理)12 / 16同步课程.离散型随机变量的期望与方差智康【练2】某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1,2,3,4,5,6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.(I)求所得奖品个数达到最大时的概率；(n)记奖品个数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.C.3,5D.4,5【来源】(2013东城一模理)miii

14、iiiiIIIIIIHIOO12/161WHIiin区智康【练3】在某大学自主招生考13t中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(II)若等级A,B,C,D,E分另应5分,4分，3分,2分，1分.(i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列

15、和数学期望【来源】(2013海淀一模理)OOEIIIIIIIIIIIIIIIIIOO13/16hiim区智诔1对同步课程.离散型随机变量的期望与方差奇数或偶数的概率；(n)若从盒子中有放回的抽取(出)从盒子中依次抽取卡片，否则继续抽取卡片，求抽取次数B. I =A|jB【练4】一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5,现从盒子中随机抽取卡片.(I)从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取,X的

16、分布列和期望.C.I=BU(eiA)D.I=AU(eiB)【来源】(2011昌平二模理16)15 / 16、智诔1对同步课程.离散型随机变量的期望与方差【题1】一课后作业同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量七=1表示结果中有正面向上，0=0表示结果中没有正面向上，贝uE=【题2】已知离散型随机变量X的分布如下表.若e(x)=0，D(X)=1*=X-1012Pabc112【题3】在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮.现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是1,1.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮.假设每人每次投篮命中与否均互不影响.(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若投篮命中一次得1分，否则得。分.用E表示甲的总得分，求E的分布