大学物理答案第1～2章

1、第一早质点的运动y R(1 cos t),式中R,?为常量，试1 1质点运动方程为 x Rsi n t, 求质点作什么运动，并求其速度和加速度。Q vxdx dtRwcos wt, v ydy dtv'vlv:Rwdvx2dvyQ axdtRw sinwt,a ydt解:Rws in wt2Rw cos wt屆 ay Rw2Rs in wt, y R(1coswt)轨迹方程为 质点轨迹方x (y R) RR)点的圆的方程，即质点作匀速率圆周3程以运动，角速度为3； R为半径，圆心位于(0,速度v = R 3;加速度a = R高度h处所需时间为t2,求证: 解：设抛出点的速度为1 2竖直

2、上抛运动的物体上升到高度h处所需时间为ti,自抛出经最高点再回到同一h =gt i 12/2V0,从高度h到最高点的时间为t 3,贝uQ Vo g(tl t2)0,tl 2ta t2Vo g(tl t2)/21*2h v ° gt g2 2 2A(1 t?)1*2-t1 gt11-gtl1 3 一艘正以V。匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a= kv2, k为一常数，求证船在行驶距离x时的速率为v=v解：取汽艇行驶的方dvQ a dtdv2kv , vdvkvdt,dxdtkdxvv dvvo vxkdx0向为正方向，贝Vv In k

3、xvkxv voe1 4行人身高为h,假设人以匀速V。用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为 滑平台上，求小车移动的速度和加速度。H的光解：人前进的速度, 那么绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，QI2v(t2 (H h)2 v: tdldt,vot2 (H h)2(H h)2v:2 3/2(H h)v：t所以小车移动的速度Vot(H小车移动的加速度a(H(H h)?、2 2t 2h)vot2 2h) vo_2_2_3/_2vot1 5 一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a。，以后加速度以a a。O t均 b匀增加式中b为一常数解：,求经t秒后,质点的速度和位移。dvotdva。dt

4、，to(aoa tlbdvaot(ao°)dtaot22b主,vdt dtaot2dxaotaot22bdtdxdtdxaot2aot32b1 6 一足球运发动在正对球门前处以？ 垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门 ： 球足球可视为质点6b的初速率罚任意球，球门高为。假设要在 问 他应在与地面成什么角度的范围内踢出足解：由运动方程xvt cos , yvtsi ngt2,消去t得轨迹方程,y xtg以x = , v = 1,以及-A(tg22v3.44m y1)x2O代入后 得71.11 °68.99v = 25m/s,高h=13m的目标吗在此距离上他能击中的最大高度

5、是多少1 7 人扔石头的最大出手速率为27.92 °他能击中一个与他的手水平距离L=50m,解：由运动方程 x vt cos , y vt sin1 2-gt2,消去t得轨迹方程2y xtg 盍舌"1)x2以x = , v = 25ms 1代入后得y 50tg企(1 tg2 )2 252 20(1 tg2 )50250tg20(tg-)2 11.25411.25 13取g =，那么当tg 1.25时， ymax不能射中，能射中得最大高度为所以他ymax 11.25求：(1) 的时间。1-8质点做半径为r的圆周运动，t时刻质点的角速度和角加速度;1 2 一bt运动，式中b、c

6、为常数，22)当切向加速度等于法向加速度时，质点运 动经历其路程按规律s ct解:(1)质点做圆周运动的速率ds c bt dt bt角速度v/R切向加速度atd 2sdt2角加速度at(2)法向加速度当atan时,2vR(cbt)2Ran2(Cbt)R2(c bt) Rb1 -9 一质点作半径为恒定不变，求质点运动的速率随时间的变化解：速度沿着切向方向，加速度与速度成恒定的夹角，那么t- b庐R的圆周运动，初速为V。，假设其加速度a与速度v之间的夹角B v(t)， 及其切向加速度、法向加速度的大小。Q an a sindtt 1c ctg0R adtVoR(R v ° ctg亘at

7、 :tgdv,at a cos dt vvv dvv°RR v °t ctg)2/RVo2R(R v ° ctg )v。2 Rctg2(R Vot ctg )-11 - 10飞机以100m- s的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：1此时目标在飞机下方前多远2投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度3物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少v私dv4=2V0dtgt2.(gt)2Vo1.96m/ s2,g 10.0(或 1.88 m/s 2,g=9.8)解:arctg y 12.5x:2 2at 0

8、1ga2 9.80m/s 2,g 10.0(或 9.62m/s2, g=9.8)1 - 11 一无风的下雨天，一列火车以 V1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成 75°角下降，求雨滴下落的速度V2。设下降的雨滴作匀速运动解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2,旅客看到雨滴下落速度 V2 为相对速度，它们之间的关系为r r rV2 V2' V1V2 v-i /tg75 o 5.36ms 11- 12升降机以加速度 O0=? s 2上升，当上升速度为？s1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的

9、底面相距，试求：1螺帽从天花板落到底面所需时间；2螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。解：1以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a' =g+a,螺丝落到底面时，1 2 0 h - g a t有一t0.705s2由于升降机在t时间内的高度为h' V0t =at22贝U d h h' 0.716m1- 13飞机A相对地面以VA=1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vb=800 km/h的速率向东偏南30°方向飞行。求飞机 A相对飞机B的速度。解：rr rr -rVa lOOOjM 400j400,3ir r r v V a Vbr r r

10、=1000j 400j N00、3itg40 ° 52',方向西偏南v J6002 4002 3 916km/h1000m水流速度为？ s -1的大2如果希望用最短的时1 14 一人能在静水中以？ s-1的速度划船前进，今欲横渡一宽为 河。1，那么应如何确定划行方向到达正对岸需多少时间 间过河，应如何确定划行方向船到达对岸的位置在什么地方-0.55/1.10.5 sincos2空气的速度向东时，当飞机向东飞行时， 者刚好相反图2,故飞机来回飞行的时间为2 1土、2,2 /V'解：如图1 假设要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么划行速度和水流速度u的合速度的方向正

11、对着岸，设划行速度V 合速度V的夹角为au,v sin ut d1.05 10 3sV v cos3空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由如图2用最短的时间过河，那么划行速度的方向正对着岸dd(1t ， I ut u500mvvt0 tABtBAt1 tAB tBA1 15设有一架飞机从 A处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为V，而空气相对地面的速率为u, A、B2t °1 为1v' u v' uu可得为t°1v'22u，故飞机来回飞行的时间为_2I2I/v't2tAB tBA v vv'2 u2&#

12、163;2.2 2间的距离为I(1)假定空气是静止的(即 u=0)，求飞机来回飞行的时间；( 2)假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间；(3)假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。解：由相对速度的矢量关系 v V' 止有气的速度(1)空气时静止的，即 u= 0, 那么往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空 v' (图( 1) , 故飞机来回飞行的时间 丄丄 2.v' v' v'风速与飞机相对空气的速度同向；返回时,第二章质点动力学2- 1 一物体从一倾角为 面滑下，当滑到底部时速率30的斜面底部以初速 V0-10m-s向斜面上方冲去，到最

13、咼点后又沿斜v=7m-s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。解：物体与斜面间的摩擦力f = uN= umgcos30物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得212 mv mv o物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得mvof s mghf 2sof s mgss in 302s v_g(du 1)把式(2)代入式(1)得，2 2 0.1983 v2 voT.取如下图的自然坐标r。2-2如此题图，一质量为 m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧 ADCBF滑，试，一 .，、一， G和轨道对它的支持力解：小球在运动的过程中受到重力求小球在C点时的角速度和对圆弧外表的作用力，圆弧

14、半径为Ftmgsi nm dt(1)r FnrT mg cosds rd系，由牛顿定皐得dt2 vm 2R2rd得dt ，代入式：vD习题2-2图90o( rg sin )d并根据小球从点A运动到点C始末条件进行积分有vvdv0得 v 2gr cos那么小球在点C的角速度为=-2gcos /r r由式 2 得 Tmg cos3mg cosr由此可得小球对园轨道得作用力为m的木块，两T' T 3mgcos ,方向与2n反向2-3 如此题图，一倾角为 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为者间摩擦系数为解：如下图,为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a应满足的条件。a asi n ,a2N

15、 mg cosacosmai masi ng(s in ucos )mgsi n uNu得,m a2macosg(s in ucos )amin(cos usin ) u 得，g(sin ucos ) a(cos usin )maxg(s inucos )(cos usin )g(tg u)g(tg u)a(cos usin )g(tg u)1 utgg(tg u)1 utg1 utg2-4如此题图，m1 utgB两物体质量均为m用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦mgTamaA(1)TbmgmaB2aAaBTa2Tb1解得aA=g那么A和B的加速度大小各为多少 解：如图由受力分析得5Tam

16、gB mgT as2aB=g52-5如此题图所示，两物体物体B与桌面间的摩擦力。滑轮与连接绳的质量不计习题2-4图2A、B的质量均为 m=物体A以加速度a=s运动，求mAg Ft mAa F't1 FfmBa'(1)习题2-5图2解：分别对物体和滑轮受力分析如图，由牛顿定律和动力学方程得，m的木块放在斜面m相对M的加速2-6质量为M的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为上如此题图所示。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M的加速度和度。解：如图m相对M的相对加速度为am,那么amxam COS , amyam在水平方向,习题2-6图aMam COSamyamy在竖直万向

17、amyamS inN sinmamxmam cosmaM由牛顿定律可得，mg N cos ma my mam sinN sin Ma m解得aMmgs in cos2 m 2M msi n(M m)g sin am=M msi n2-7在一只半径为 R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球。当钢球以角速度 3在2ma n mR sinF coscosmg(R h)/R高在图示坐标中列动力学方程得，水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高 解：取钢球为隔离体，受力分析如下图，F sin解得钢球距碗底的高度h R -g22-8光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动

18、，其摩擦系数为。物体的初速率为Vo,求：1 t时刻物体的速率；2当物体速率从 Vo减少到Vo/2时，物体所经历的时间及经过的路程。解：1设物体质量为m,取图示的自然坐标系，由牛顿定律得,2F Nnm R2Ffmatdv m一 dtFfuFn由上三式可得2VdvudtR2v dv对4式积分得(一t=-/9v0 V2RvoR Vo t当物体速率从Vo减少到Vo/2时，由上式rv0可得物体所经历的时间R Vo tRVo经过的路程ovdttRvo 0 RVoR dt = In 2 t设其比例常2-9从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度 数为k。将质量为m的物体以竖直向

19、上的初速度 Vo抛出。(1)试证明物体的速度为证明物体将到达的最大高度为it mJkt1) voe mmvokvo"(1 鬲)tHmln(1rvo)mgmgdU)u证明：由牛顿定律可得(1)-mg-kv=m-,dttdtot 叫n k mg mg kv 0kvdv(2) -mg-kv=mvdx,dx令 mgu,dukdvkvmgduAmdukAdxmdvvo mg kv1) v kmvdvmg kvmg(mdumg kv o(3)证明到达最大高度的时间为mvoln(kVL) mg(3)Qt皿凶ok mg kv当v 0时，t= min町即为到达最高点的时间k mg k2- 10质量为m

20、的跳水运发动，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳水运发动视为质点，并略去空气阻力。运发动入水后垂直下沉，水对其阻力为一 bv2,其中b 为一常量。假设以水面上一点为坐标原点 0,竖直向下为0y轴，求：1运发动在水中的速 率v与y 的函数关系；2跳水运发动在水中下沉多少距离才能使其速率 v减少到落水速率 V。的1/10 假 定跳水运发动在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等解：运发动入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为vo2gh，入水后如图由牛顿定律的dvdv a=dtbv2dy dv mv 一 dyb dy mby/mv dvV2八he by/m2mg-f-F=ma mg=F

21、 f=bv将条件一0.4m 1,v 0.1 vo代入上式得,mm v y =In =5.76m b v °f = km/2,其中2- 11 一物体自地球外表以速率 V。竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为解：分别对物体上抛和下落时作受力分析如图2 dv mvdv=m =dt dy(1)-mg-k mv,2g kv2丿yodyg kvy2k 'g kv ln物体到达最高点时，v = 0,故2h=yma尸丄I门9也2k gk为常量，m为物体质量。试求：1 该物体能上升的咼度;v=v( 1(2)物体返回地面时速度 的值。0hdyv vdv2 dv mvdv(2)下洛过程中，-mg+k

22、mv =m =-dt dy0 g kv2,2kv 0 ) 1/2g受的最大张力为20N试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断I mvo 0解：由动量定理得|，如图受力分析并由牛顿定律得Vo2mvoT mgiT mg20mmg 12/l 20I 2.47Ns2- 13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为。爆炸后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100 m问第二块落在距抛出点多远的地面上设空气的阻力不计V0x x1t xg/2h1物体爆炸后，第一块碎片竖直下落的运动方程为Y1=h-V 1t- *gt2当碎片落地时，y1=0,t

23、=t 1,那么由上式得爆炸后第一块碎片抛出得速度为h- - gt2 v 尸 F又根据动量守恒定律,1mv °= mv2x210=mv12 1联立以上()12mv2y-(4)在最咼点处有3式得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为V 2x= 2v 0x= 2X1100ms1解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为h-1gt2V2y214.7ms1Vt1爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为X2= X1+V2xt2 51 2y2 = h+V 2yt2-Agt2落地时y2 0,由式5和6可解得第二块碎片落地点得水平位置x2=500m2- 14质量为M的

24、人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成 B角的速率vo向前跳去。当他到达最高点时， 他将物体以相对于人为 u 的水平速率向后抛出。问：由于人 抛出物体，他跳跃的距离增加了多少 ( 假设人可视为质点 )解：取如下图坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有m+M v 0 cos Mv m(v u) 式中v为人抛物后相对地面的水平速率，v- u为抛出物对地面得水平速率，得丄 muv = v0cos + m+M 人的水平速率得增量为muv = v-v0 cos =-m+M而人从最咼点到地面得运动时间为vosing所以人跳跃后增加的距离为, mvosi

25、nx _ vt _u(m+M g2- 15铁路上有一静止的平板车，其质量为M,设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m相对平板车的速度均为u。问：在以下两种情况下，(1) N个人同时跳离；(2)个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少所得的结果为何不同，其物理原因是什么解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，那么由动量守恒定律得0_ Mv+Nm( v u)v_ Nmu/(Nm+M)(1)又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有

26、n个人时的速度为 Vn,跳下一个人后的车速为 Vn 1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有(M+nr) Vn=M Vn1+(n-1)m v n 1+m(vn 1-u) (2)由式(2)得递推公式Vn-1=vn+mu/(M+nm)(3)当车上有N个人得时(即N_ n )，vn_ 0 ；当车上N个人完全跳完时，车速为V。，根据式 (3) 有，VN-1=0+mu/(Nm+M)VN-2= v N-1+mu/(N-1)m+M)vo= v i+mu/(M+nm)将上述各等式的两侧分别相加，整理后得muVo= n= i M+im由于 M nm M Nm,n 1,2,3. N故有，Vo f v即N个人一个接一

27、个地跳车时，平板车的末速度大于N个人同时跳下车的末速度。这是因为N个人逐一跳离车时，车对地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也逐次增加，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。2- 16 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是 A船停了下来，而B船以s的速度继续向前驶去。A B两船原有质量分别为500kg和1000kg，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)解：设A、B两船原有的速度分别为 vA和vB，传递重物后的速度分别为v' A和v' B,由动量守恒定律可得(mA m)

28、 vA+mvB=mava(mB m) VB+mvA二 mBVBmBmvB20.4ms(m) ( m a m) m将va= 0ms 1， vb= 3.4ms 1代入上面两式，可解得vb=mA m) mBVB1(mB m)5A m)- 3.6ms2 17 一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高 1m要漏去的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0,拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为G= mg-a gy其中a= m,人对水桶的拉力的功为10W 0 ( mg gy) dy = 882J2- 18如此题图

29、所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m和m问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。(设弹簧的劲度系数为k )解：选取如下图坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力 F时，根据受力平衡有Fi= Gi F当外力撤除以后，由机械能守恒定律得，1 2 1 2 qky i -mgy i=Aky 2 mgy ?yi和y为M、N两点对原点 O的位移。因为Fi= ky i,F2=ky2， Gi=mg上式可以写为，R-F 2=2G(2)由()和(2)式可得F= Gi G2(3)习题2- 18图当A板跳到N点时，

30、B板刚被提起，此时弹性力 由式(3)可得F= G+G=(m i+m2) gF2 =G ,且F =F22- 19如此题图所示，质量为 m速度为v的钢球，射向质量为 M的靶，靶中心有一小 孑L，内有 劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有mv (m M )V |又由机械能守恒定律，有1 2 1 2 1 2 mv = (m M 牧2 2 2 X0由()式和(2)式可得mMX0 k (m M)v习题 2- 19 图2-20以质量为m的弹丸，穿过如此题图

31、所示的摆锤后，速率由 v减少到v/2。摆 锤的质量 为M,摆线长度为I，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少解：习题2- 20图由水平方向的动量守恒有,vmv= m Mv'12为了使摆锤能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力F=0,那么，* Mv'2吨=亍式中v'h为摆线在圆周最高点的运动速率。又由机械能守恒定律得1 2-MV' 2M 一 f5giMgl + qMv' h 3解上述三个方程，可得担丸所需速率的最小值为v =m2-21如此题图所示，一质量为 M的物块放置在斜面的最底端 A处，斜面的倾角为a，高

32、度为h， 物块与斜面的滑动摩擦因数为卩，今有一质量为 m的子弹以速度vo沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。解：在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有mv 0 cos M mv, 1在物块上滑的过程中，假设令物块刚滑出斜面时的速度为V2,并取A点的u(m+M)gco shsin1(m+M)v22(m+M)gh(m+M) v2重力势能为0。由系统的功能原理可得由1、 2式可得V0COS 2gh m+M0ucot习题2 21图2 22如容器质量为 容器都处于1此题图所示，一个质量为 m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下。设M,

33、半径为R,内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和 止状态。 当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得mvm MVm 01 2 1 2 mvm mvM mgR2 2式中Vm,VM分别表示小球、容器相对桌面得速度。/2l4gRVm mm /2MgRM M m由式1 、 2可得习题2- 22图V由于小球相对地面运动的轨迹比拟复杂，为此，可改以容器为参考系在容器底部时，小球相对容器的运动速度为Vm VmVm，寫口创只在容器底部，小球所受惯性力为零，其法向方程为2Fn mg m*4R由3、 4式可得小球此

34、时所受到的支持力为2m、Fn mg 3 乔2- 23如此题图所示，质量分别为 01=和 2=的两小球A和B，用质量可略去不计的刚性细杆 连接，开 始时它们静止在 Oxy平面上，在图示的外力 Fi= i和F2 =j的作用下运动。试求:1它们质心的坐标 与时间的函数关系；2系统总动量与时间的函数关系。解：1 选如下图坐标，那么 t = 0时，系统的质心坐标为习题2-23图m2 X201.5mXcoycomi m2m2yio 1.9mmi m2FxFi 何 、dvx m2)2 dtFyF2(midVym2) dt根据初始条件,分别对()、(1)2)式积分得toFidtvx0 (mi m( 2) dV

35、xFitmi m2VyF2dtyg 叫根据初始条件t = 0时，x Xco, y对小球与杆整体应用质心运动定律得4)式再次积分可得Xyc及 dxcdyeX ye。co)ycxC000R肿(2)dV0叶mmi , m2F2tF1t21.S9m2(g2(g m2)2222(0.25m9sT)ts )t(2)利用动量定理并考虑到系统从初始状态为静止，可得r r t r r2 r2 rp p 0(F 1F2) dt (8.0kg mVxs )ti (6.0kg m s )tj2- 24质量为2X 10 3kg的子弹以500m-s 1的速率水平飞出，射入质量为1kg静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100m-s 1,而木块向前滑行了。 求：(1)木块与平面间的摩擦系数(2)子弹动能和动量的减少量解:(1在水平方向系统动量守恒，mvo mvo'