全国版2017版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.3基本不等式课件理

1、第三节基本不等式【知识梳理【知识梳理】1.1.重要不等式重要不等式a a2 2+b+b2 2_(a,bR)(_(a,bR)(当且仅当当且仅当_时等号成立时等号成立).).2ab2aba=ba=b2.2.基本不等式基本不等式: :(1)(1)基本不等式成立的条件是基本不等式成立的条件是_._.(2)(2)等号成立的条件是等号成立的条件是: :当且仅当当且仅当_时取等号时取等号. .(3)(3)其中其中 称为正数称为正数a,ba,b的的_, _, 称为称为正数正数a,ba,b的的_._.abab.2a0,b0a0,b0a=ba=ba b2ab算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数3.3.利用基本

2、不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题已知已知x0,y0,x0,y0,则则: :(1)(1)如果积如果积xyxy是定值是定值p,p,那么当且仅当那么当且仅当x=yx=y时时,x+y,x+y有有_值是值是2 (2 (简记简记:_).:_).(2)(2)如果和如果和x+yx+y是定值是定值p,p,那么当且仅当那么当且仅当x=yx=y时时,xy,xy有有_值是值是 ( (简记简记:_).:_).P2p4最小最小积定和最小积定和最小最大最大和定积最大和定积最大【特别提醒【特别提醒】1.1.运用基本不等式时的注意点运用基本不等式时的注意点“拆拆”“”“拼拼”“”“凑凑”等技巧等技巧, ,使其满足基本不

3、等式中使其满足基本不等式中“正正”“”“定定”“”“等等”的条件的条件. .2.2.常用的几个重要的不等式常用的几个重要的不等式(1)a(1)a2 2+b+b2 22ab(a,bR).2ab(a,bR).(2) 2(a,b(2) 2(a,b同号同号).).(3)ab (a,bR(3)ab (a,bR).).(4) (a,bR(4) (a,bR).).2a b()2222a bab()22baab【小题快练【小题快练】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(必修必修5P1005P100习题习题3.4A3.4A组组T1(2)T1(2)改编改编) )设设x0,y0,x0,y0,且且x+yx+y=18

4、,=18,则则xyxy的最大值为的最大值为( () )A.80A.80B.77B.77C.81C.81D.82D.82【解析【解析】选选C.xyC.xy =81, =81,当且仅当当且仅当x=y=9x=y=9时时等号成立等号成立, ,故选故选C.C.22x y18()()222.(2.(必修必修5P1005P100习题习题3.4A3.4A组组T2T2改编改编) )若把总长为若把总长为20m20m的篱的篱笆围成一个矩形场地笆围成一个矩形场地, ,则矩形场地的最大面积是则矩形场地的最大面积是. .【解析【解析】设一边长为设一边长为xmxm, ,则另一边长可表示为则另一边长可表示为(10-x)m,(

5、10-x)m,由题知由题知0 x10,0 x0,b0,ab=8,a0,b0,ab=8,则当则当a a的值为的值为时时,log,log2 2a aloglog2 2(2b)(2b)取得最大值取得最大值. .【解析【解析】loglog2 2a aloglog2 2(2b) (2b) =4, =4,当当a=2ba=2b时取等号时取等号, ,结合结合a0,b0,ab=8,a0,b0,ab=8,可得可得a=4,b=2.a=4,b=2.答案答案: :4 422222log a log (2b)1()(log 2ab)24221(log 16)45.(20145.(2014上海高考上海高考) )若实数若实数

6、x,yx,y满足满足xyxy=1,=1,则则x x2 2+2y+2y2 2的的最小值为最小值为. .【解析【解析】x x2 2+2y+2y2 2=x=x2 2+( y)+( y)2 22x( y)=2 ,2x( y)=2 ,所以所以x x2 2+2y+2y2 2的最小值为的最小值为2 .2 .答案答案: :2 2 22222考向一考向一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【典例【典例1 1】(2016(2016武汉模拟武汉模拟) )已知正数已知正数x,yx,y满足满足x+2y-x+2y-xy=0,xy=0,则则x+2yx+2y的最小值为的最小值为( () )A.8A.8B.4B.4C.2C

7、.2D.0D.0【解题导引【解题导引】依据题意由基本不等式得依据题意由基本不等式得x+2y=xyx+2y=xy 从而求得从而求得x+2yx+2y的最小值或者化简的最小值或者化简x+2y-x+2y-xyxy=0,=0,得得 =1,=1,然后变换然后变换x+2yx+2y的形式的形式, ,利用基本不等利用基本不等式求出式求出x+2yx+2y的最小值即可的最小值即可. .21x 2y() ,2221xy【规范解答【规范解答】选选A.A.因为因为x0,y0,x0,y0,所以所以xyxy= = 又又x+2y=xyx+2y=xy, ,所以所以x+2y x+2y 由由x0,y0,x0,y0,解得解得x+2y8

8、,x+2y8,当且仅当当且仅当x=2yx=2y时时, ,等号成立等号成立, ,所以所以x+2yx+2y的最小值为的最小值为8.8.211x 2y(x 2y)() ,222 21x 2y() ,22【一题多解【一题多解】解答本题解答本题, ,还有以下解法还有以下解法: :选选A.A.由由x+2y-xy=0,x+2y-xy=0,得得x+2y=xyx+2y=xy, , 当且仅当当且仅当x=2yx=2y时取等号时取等号. . 121,yx12x4yx 4yx 2yx 2y ()44 28yxyxy x 即，【母题变式【母题变式】1.1.若把本例的条件改为已知正数若把本例的条件改为已知正数x,yx,y满

9、足满足x+2y=1,x+2y=1,则则的最小值为的最小值为. .21xy【解析【解析】因为正数因为正数x,yx,y满足满足x+2y=1,x+2y=1,当且仅当当且仅当 即即x=2yx=2y时取等号时取等号. .答案答案: :8 821214yx4yx() x 2y22 4xyxyxyxy4y x4 28x y 所以，4yx,xy2.2.若把本例条件改为若把本例条件改为“已知已知x0,y0,lg2x0,y0,lg2x x+lg8+lg8y y=lg2”,=lg2”,求求 的最小值的最小值. .【解析【解析】因为因为lg2lg2x x+lg8+lg8y y=lg2,=lg2,所以所以lg(2lg(

10、2x x8 8y y)=lg2,)=lg2,所以所以2 2x+3yx+3y=2.=2.所以所以x+3y=1,x+3y=1,因为因为x0,y0,x0,y0,11x3y11113yxx 3y ()2x3yx3yx3y3y x12 24x 3y.x 3y2 所以，当且仅当时取等号【规律方法【规律方法】利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式求最值的方法(1)(1)知和求积的最值知和求积的最值:“:“和为定值和为定值, ,积有最大值积有最大值”. .但应但应注意以下两点注意以下两点: :具备条件具备条件正数正数; ;验证等号成立验证等号成立. .(2)(2)知积求和的最值知积求和的最值:“:“积为定值

11、积为定值, ,和有最小值和有最小值”, ,直接直接应用基本不等式求解应用基本不等式求解, ,但要注意利用基本不等式求最值但要注意利用基本不等式求最值的条件的条件. .(3)(3)构造不等式求最值构造不等式求最值: :在求解含有两个变量的代数式在求解含有两个变量的代数式的最值问题时的最值问题时, ,通常采用通常采用“变量替换变量替换”或或“常数常数1”1”的的替换替换, ,构造不等式求解构造不等式求解. .【变式训练【变式训练】(2015(2015陕西高考陕西高考) )设设f(xf(x)=lnx,0ab,)=lnx,0ab,若若 则下列关系式中则下列关系式中正确的是正确的是( () )A.q=r

12、pA.q=rpB.q=rpC.p=rqC.p=rqD.p=rq a b1p f( ab) q f(r(f af b )22，)，【解题提示【解题提示】根据对数的运算性质和不等式的基本性根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可质代入求解即可. .【解析【解析】选选C.C.由条件可得由条件可得p= p= = ln(ab)= (lna+lnb= ln(ab)= (lna+lnb),),r= (f(a)+f(b)= (lna+lnb)=p,r= (f(a)+f(b)= (lna+lnb)=p, 12f( ab) ln ab12121212 a b:0 a bab2f xln xa bp fab

13、q f().2 由不等式的性质 在的条件下，且函数是增函数，所以【加固训练【加固训练】1.1.已知已知a0,b0,c0,a0,b0,c0,且且a+b+ca+b+c=1,=1,则则 的最小值的最小值为为. . 1 1 1ab c 【解析【解析】因为因为a a0 0，b b0 0，c c0 0，且，且a+b+ca+b+c=1=1，当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 时，取等号时，取等号答案：答案：9 911 1a b ca b ca b cabcabcbcacab3aabbccbacacb3 () () () 3 2 2 2 9.abacbc 所以132.2.若正数若正数a,ba,b满足满

14、足abab=a+b+3,=a+b+3,则则abab的取值范围是的取值范围是. .【解析【解析】由由a,bRa,bR+ +, ,由基本不等式得由基本不等式得a+b2 ,a+b2 ,则则abab=a+b+32 +3,=a+b+32 +3,即即ab-2 -30ab-2 -30( -3)( +1)0( -3)( +1)0 3, 3,所以所以ab9.ab9.答案答案: :9,+)9,+) abababababab3.3.已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列aan n 满足满足a a7 7=a=a6 6+2a+2a5 5, ,若若存在两项存在两项a am m,a,an n, ,使得使得 则

15、则 的最小值为的最小值为. .mn1a a2 2a，14m n【解析【解析】设公比为设公比为q(qq(q0),0),由由a a7 7=a=a6 6+2a+2a5 5a a5 5q q2 2=a=a5 5q+2aq+2a5 5q q2 2-q-2=0(q0)-q-2=0(q0)q=2.q=2. a a1 12 2m-1m-1a a1 12 2n-1n-1=8a=8a1 12 22 2m-1m-12 2n-1n-1=8=8m+n-2=3m+n-2=3m+n=5,m+n=5,mn1a a2 2a141 141n4m() m n5 ()m n5 m n5mn195 2 455则，当且仅当当且仅当n=2

16、m= n=2m= 时等号成立时等号成立. .答案答案: : 951034.(20154.(2015浙江高考浙江高考) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=则则f(f(-2)=f(f(-2)=,f(x,f(x) )的最小值是的最小值是. .【解题提示【解题提示】利用分段函数求值利用分段函数求值, ,利用基本不等式求最利用基本不等式求最值值. .2x ,x 16x6,x 1x，【解析【解析】f(-2)=(-2)f(-2)=(-2)2 2=4,=4,所以所以f(f(-2)=f(4)=4+ -f(f(-2)=f(4)=4+ -6=- .6=- .当当x1x1时时,f(x)0,f(x)0,当当x1x1

17、时时,f(x)2 -6,f(x)2 -6,当当x= ,x= ,即即x= x= 时取到等号时取到等号, ,因为因为2 -60,2 -60,所以函数所以函数的最小值为的最小值为2 -6.2 -6.答案答案: :- - 2 -62 -6 641266x666126考向二考向二不等式的实际应用不等式的实际应用【典例【典例2 2】(2016(2016仙桃模拟仙桃模拟) )某工厂某种产品的年固定某工厂某种产品的年固定成本为成本为250250万元万元, ,每生产每生产x x千件千件, ,需另投入成本为需另投入成本为C(xC(x),),当当年产量不足年产量不足8080千件时千件时,C(x,C(x)= x)=

18、x2 2+10 x(+10 x(万元万元).).当年产量当年产量不小于不小于8080千件时千件时,C(x,C(x)=51x+ -1450()=51x+ -1450(万元万元).).每件每件商品售价为商品售价为0.050.05万元万元. .通过市场分析通过市场分析, ,该厂生产的商品该厂生产的商品能全部售完能全部售完. .1310 000 x(1)(1)写出年利润写出年利润L(xL(x)()(万元万元) )关于年产量关于年产量x(x(千件千件) )的函数的函数解析式解析式. .(2)(2)当年产量为多少千件时当年产量为多少千件时, ,该厂在这一商品的生产中该厂在这一商品的生产中所获利润最大所获利

19、润最大? ?【解题导引【解题导引】(1)(1)根据题意根据题意, ,分段列出函数解析式分段列出函数解析式. .(2)(2)分段讨论分段讨论, ,根据二次函数和基本不等式求解根据二次函数和基本不等式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)因为每件商品售价为因为每件商品售价为0.050.05万元万元, ,则则x x千件商品销售额为千件商品销售额为0.050.051000 x1000 x万元万元, ,依题意得依题意得: :当当0 x800 x80时时,L(x,L(x)=(0.05)=(0.051000 x)- x1000 x)- x2 2-10 x-250=-10 x-250=- x- x2 2

20、+40 x-250.+40 x-250.1313当当x80 x80时时,L(x,L(x)=(0.05)=(0.051000 x)-51x- +14501000 x)-51x- +1450-250=1200-250=1200-所以所以L(xL(x)=)=10 000 x10 000(x).x21x40 x 250,0 x 80,310 0001 200 (x),x 80.x (2)(2)当当0 x800 x80时时,L(x,L(x)=- (x-60)=- (x-60)2 2+950.+950.此时此时, ,当当x=60 x=60时时,L(x,L(x) )取得最大值取得最大值L(60)=950L(

21、60)=950万元万元. .当当x80 x80时时,L(x,L(x)=1200- )=1200- 1200-2 =1200-200=1000.1200-2 =1200-200=1000.此时此时x=x=1310 000(x)x10 000 xx10 000,x即即x=100 x=100时时,L(x,L(x) )取得最大值取得最大值10001000万元万元. .由于由于9501000,9500,b0)0,b0)的最大值为的最大值为35,35,则则a+ba+b的的最小值为最小值为. .y x 1,y 2x 1,x 0,y 0, 【解题导引【解题导引】(1)(1)求出二次函数的对称轴求出二次函数的对

22、称轴, ,判断单调区判断单调区间与对称轴的关系间与对称轴的关系, ,再利用基本不等式求最值再利用基本不等式求最值. .(2)(2)画出可行域画出可行域, ,利用基本不等式求解利用基本不等式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.f(xB.f(x)=(m-2)x+n-8=0)=(m-2)x+n-8=0得得x=- x=- 当当m2m2时时, ,抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x=- ,x=- ,据题意据题意, , 2,2,即即2m+n12.2m+n12.因为因为 所以所以m mn18,n18,由由2m+n=122m+n=12且且2m=n2m=n得得m=3,n=6.m=3,n=6.当当m

23、2m2时时, ,抛物线开口向下抛物线开口向下, ,据题意得据题意得: :n 8.m 2n 8m 2n 8m 22m n2mn62 ， 即即2n+m18,2n+m18,因为因为 所以所以m mn n 由由2n+m=182n+m=18且且2n=m2n=m得得m=9(m=9(舍舍).).要使得要使得mnmn取最取最大值大值, ,应有应有2n+m=18(m8),2n+m=18(m8),所以所以m mn n=(18-2n)=(18-2n)n(18-2n0,b0)0,b0)过点过点B(2,3)B(2,3)时时,z,z取最大值取最大值2ab+3,2ab+3,于是有于是有2ab+3=35,ab=16,2ab+

24、3=35,ab=16,所以所以a+b2 =2 =8,a+b2 =2 =8,当且仅当当且仅当a=b=4a=b=4时等号成立时等号成立, ,所以所以(a+b)(a+b)minmin=8.=8.答案答案: :8 8ab16命题方向命题方向2:2:求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围【典例【典例4 4】(2016(2016太原模拟太原模拟) )正数正数a,ba,b满足满足 =1,=1,若若不等式不等式a+b-xa+b-x2 2+4x+18-m+4x+18-m对任意实数对任意实数x x恒成立恒成立, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是( () )A.3,+)A.3,+)B.(-,3B.(-

25、,3C.(-,6C.(-,6D.6,+)D.6,+)1 9ab【解题导引【解题导引】先求出先求出a+ba+b的最小值的最小值, ,然后将不等式转化然后将不等式转化, ,转化为求二次函数的最值问题转化为求二次函数的最值问题, ,求出求出m m的取值范围的取值范围. .【规范解答【规范解答】选选D.D.因为因为a0,b0, a0,b0, 所以所以由题意由题意, ,得得16-x16-x2 2+4x+18-m,+4x+18-m,即即x x2 2-4x-2-m-4x-2-m对任意实数对任意实数x x恒成立恒成立, ,19b 9aa ba b () 1010 2 9 16abab ，191,ab而而x x

26、2 2-4x-2=(x-2)-4x-2=(x-2)2 2-6,-6,所以所以x x2 2-4x-2-4x-2的最小值为的最小值为-6,-6,所以所以-6-m,-6-m,即即m6.m6.【技法感悟【技法感悟】1.1.求与其他知识交汇的最值问题的策略求与其他知识交汇的最值问题的策略(1)(1)应用基本不等式判断不等式是否成立应用基本不等式判断不等式是否成立: :对所给不等对所给不等式式( (或式子或式子) )变形变形, ,然后利用基本不等式求解然后利用基本不等式求解. .(2)(2)条件不等式的最值问题条件不等式的最值问题: :通过条件转化成能利用基通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解本不等式

27、的形式求解. .2.2.求参数的值或取值范围的策略求参数的值或取值范围的策略观察题目特点观察题目特点, ,利用基本不等式确定相关成立条件利用基本不等式确定相关成立条件, ,从从而得参数的值或取值范围而得参数的值或取值范围. .【题组通关【题组通关】1.(20161.(2016岳阳模拟岳阳模拟) )已知向量已知向量a=(3,-2),=(3,-2),b=(x,y-1)=(x,y-1)且且ab, ,若若x,yx,y均为正数均为正数, ,则则 的最小值是的最小值是( () )32xy58A. B. C.8 D.2433【解析【解析】选选C.C.因为因为ab, ,所以所以-2x-3(y-1)=0,-2x-3(y-1)=0,化为化为2x+3y=3,2x+3y=3,所以所以 当且仅当当且仅当2x=3y= 2x=3y= 时取等号时取等号. .所以所以 的最小值是的最小值是8.8.3213219y 4x2x 3y ()(12)xy3xy3xy19y 4x(12 2) 83x y ，3232xy2.(20162.(2016厦门模拟厦门模拟) )已知已知f(xf(x)=3)=32x2x-(k+1)3-(k+1)3x x+2,+2,当当xRxR时时,f(x,f(x) )恒为正值恒为正值, ,则则k k的取值范围是的